Номер 443, страница 115 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.1. Делители и кратные. Глава 6. Делимость чисел - номер 443, страница 115.

443 ИССЛЕДУЕМ Верно ли утверждение: если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме двух крайних, то это число делится на 11?

Совет. Вы можете это проверить путём перебора всех трёхзначных чисел, обладающих указанным свойством. Это, например, такие числа, как 121, 440, 396. (Всего таких чисел 45.) Обсудите в классе способ перебора и разделите работу между группами. Потом подведите итоги.

Для проверки данного утверждения воспользуемся алгебраическим методом. Представим любое трёхзначное число в виде $\overline{abc}$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, и $c$ — цифра единиц. В десятичной системе счисления значение этого числа можно записать как сумму разрядных слагаемых: $100a + 10b + c$. Важно учесть, что $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, а $b$ и $c$ могут быть любыми цифрами от 0 до 9.

Согласно условию задачи, средняя цифра равна сумме двух крайних. Запишем это математически: $b = a + c$.

Теперь подставим это выражение для $b$ в формулу, представляющую наше трёхзначное число:

$100a + 10b + c = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:

$100a + 10a + 10c + c = 110a + 11c$

В полученном выражении можно вынести за скобки общий множитель 11:

$110a + 11c = 11(10a + c)$

Так как $a$ и $c$ — это цифры (целые числа), то выражение в скобках $(10a + c)$ также является целым числом. Вся сумма $11(10a + c)$ представляет собой произведение числа 11 на целое число, что по определению означает, что она делится на 11 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что любое трёхзначное число, удовлетворяющее заданному условию, делится на 11.

Этот же результат можно получить, используя признак делимости на 11. Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр делится на 11. Для числа $\overline{abc}$ эта сумма равна $a - b + c$. Подставив в неё условие $b = a + c$, мы получим: $a - (a + c) + c = a - a - c + c = 0$. Поскольку 0 делится на 11, то и само число делится на 11, что подтверждает наш вывод.

Ответ: Да, утверждение верно.