Номер 439, страница 115 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.1. Делители и кратные. Глава 6. Делимость чисел - номер 439, страница 115.

439 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Найдите НОД (5; 6) и НОК (5; 6).

2) Известно, что наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен 1. Чему равно их наименьшее общее кратное? Приведите три примера, иллюстрирующие это свойство.

1)

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 5 и 6, выпишем все их натуральные делители.
Делители числа 5: 1, 5.
Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.
Единственным общим делителем для этих чисел является 1. Следовательно, это и есть их наибольший общий делитель.
$НОД(5; 6) = 1$.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 5 и 6, можно выписать первые несколько кратных для каждого из них и найти первое совпадение.
Кратные числа 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
Наименьшим общим кратным является число 30.
$НОК(5; 6) = 30$.

Числа, у которых НОД равен 1, называются взаимно простыми. Для таких чисел НОК всегда равен их произведению: $НОК(5; 6) = 5 \cdot 6 = 30$.
Ответ: НОД(5; 6) = 1; НОК(5; 6) = 30.

2)

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ существует фундаментальное свойство, связывающее их наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК):
$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$.
Это означает, что произведение НОД и НОК двух чисел равно произведению самих этих чисел.

По условию задачи, нам известно, что $НОД(a; b) = 1$. Подставим это значение в формулу:
$1 \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$
Отсюда следует, что $НОК(a; b) = a \cdot b$.
Таким образом, если наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен 1 (то есть числа взаимно простые), то их наименьшее общее кратное равно их произведению.

Примеры, иллюстрирующие это свойство:

Пример 1: числа 4 и 9.
Делители 4: {1, 2, 4}. Делители 9: {1, 3, 9}.
$НОД(4; 9) = 1$.
$НОК(4; 9) = 4 \cdot 9 = 36$.

Пример 2: числа 7 и 15.
Число 7 простое, и 15 на 7 не делится.
$НОД(7; 15) = 1$.
$НОК(7; 15) = 7 \cdot 15 = 105$.

Пример 3: числа 11 и 12.
Число 11 простое, и 12 на 11 не делится.
$НОД(11; 12) = 1$.
$НОК(11; 12) = 11 \cdot 12 = 132$.
Ответ: Наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению ($a \cdot b$).