Номер 461, страница 120 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.2. Простые и составные числа. Глава 6. Делимость чисел - номер 461, страница 120.

461 Исследуем

1) Найдите с помощью перебора все делители числа 6, числа 10 и числа 21. Сколько делителей имеет каждое из этих чисел?

Подсказка. $6 = 2 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$, $21 = 3 \cdot 7$.

2) Каким общим свойством обладают все эти числа? Укажите ещё какое-нибудь число, обладающее тем же свойством. Сколько у него делителей?

3) Сколько делителей имеет число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ - различные простые числа? Перечислите их все.

1)

Найдем все делители для каждого числа методом перебора и посчитаем их количество. Делители — это натуральные числа, на которые заданное число делится без остатка.

Для числа 6:
Проверяем деление на числа от 1 до 6: $6 \div 1 = 6$, $6 \div 2 = 3$, $6 \div 3 = 2$, $6 \div 6 = 1$.
Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Для числа 10:
Проверяем деление на числа от 1 до 10: $10 \div 1 = 10$, $10 \div 2 = 5$, $10 \div 5 = 2$, $10 \div 10 = 1$.
Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.

Для числа 21:
Проверяем деление на числа от 1 до 21: $21 \div 1 = 21$, $21 \div 3 = 7$, $21 \div 7 = 3$, $21 \div 21 = 1$.
Делители числа 21: 1, 3, 7, 21.

Ответ: Число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3, 6. Число 10 имеет 4 делителя: 1, 2, 5, 10. Число 21 имеет 4 делителя: 1, 3, 7, 21.

2)

Общее свойство этих чисел (6, 10, 21) заключается в том, что каждое из них является произведением двух различных простых чисел. Это видно из разложения на множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
$21 = 3 \cdot 7$
Следствием этого свойства является то, что у каждого из этих чисел ровно 4 делителя.

В качестве еще одного примера числа, обладающего тем же свойством, можно взять число 14. Оно является произведением двух различных простых чисел: $14 = 2 \cdot 7$.
Его делители: 1, 2, 7, 14. У числа 14 тоже 4 делителя.

Ответ: Общее свойство этих чисел — каждое из них является произведением двух различных простых чисел, и поэтому имеет ровно 4 делителя. Пример другого такого числа — 14, у него 4 делителя (1, 2, 7, 14).

3)

Рассмотрим число $N$, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа. Делителями такого числа могут быть только 1, само число $N$, и его простые множители $a$ и $b$.

Перечислим все делители числа $N = a \cdot b$:
1) 1 (единица является делителем любого натурального числа).
2) $a$ (первый простой множитель).
3) $b$ (второй простой множитель).
4) $a \cdot b$ (само число).
Так как $a$ и $b$ — простые числа, других комбинаций множителей для составления делителей нет. Следовательно, у такого числа всегда ровно 4 делителя.

Ответ: Число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа, имеет 4 делителя. Эти делители: 1, $a$, $b$, $a \cdot b$.