Номер 1051, страница 251 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1051. Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.

Обозначим рост семи гномов, сидящих по кругу, как $h_1, h_2, h_3, h_4, h_5, h_6, h_7$. Поскольку они сидят в кругу, соседями гнома с ростом $h_i$ являются гномы с ростом $h_{i-1}$ и $h_{i+1}$ (при этом для гнома $h_1$ соседи — $h_7$ и $h_2$, а для гнома $h_7$ — $h_6$ и $h_1$).

По условию задачи, рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Математически это можно записать так:

$h_i = \frac{h_{i-1} + h_{i+1}}{2}$ для всех $i$ от 1 до 7.

Докажем утверждение от противного. Предположим, что не все гномы одного роста. Это означает, что среди их ростов есть как минимум один максимальный и один минимальный, и они не равны друг другу.

Пусть самый высокий гном (или один из самых высоких, если их несколько) имеет рост $H_{max}$. Допустим, это гном с номером $k$, то есть $h_k = H_{max}$.

По определению максимального значения, рост его соседей не может быть больше, чем $H_{max}$:

$h_{k-1} \le H_{max}$ и $h_{k+1} \le H_{max}$.

Теперь рассмотрим условие для гнома $k$:

$h_k = \frac{h_{k-1} + h_{k+1}}{2}$

Подставим $h_k = H_{max}$:

$H_{max} = \frac{h_{k-1} + h_{k+1}}{2}$

Среднее арифметическое двух чисел ($h_{k-1}$ и $h_{k+1}$) может быть равно максимальному из возможных значений ($H_{max}$) только в том случае, если оба этих числа сами равны этому максимальному значению. Если хотя бы одно из них было бы строго меньше $H_{max}$, то их среднее арифметическое также было бы строго меньше $H_{max}$.

Следовательно, из этого равенства следует, что:

$h_{k-1} = H_{max}$ и $h_{k+1} = H_{max}$.

Это означает, что оба соседа самого высокого гнома тоже имеют максимальный рост.

Теперь мы можем применить тот же самый аргумент к одному из соседей, например, к гному с номером $k+1$. Его рост $h_{k+1}$ также равен $H_{max}$. Его соседи — это гномы с номерами $k$ и $k+2$. Так как $h_{k+1}$ — максимальный рост, то и его соседи должны иметь максимальный рост. Мы уже знаем, что $h_k = H_{max}$, значит, и $h_{k+2}$ тоже должен быть равен $H_{max}$.

Продолжая это рассуждение по кругу, мы последовательно доказываем, что рост каждого следующего гнома ($h_{k+2}, h_{k+3}$, и так далее) также равен $H_{max}$. В итоге мы приходим к выводу, что все семь гномов должны иметь один и тот же максимальный рост $H_{max}$.

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что не все гномы были одного роста. Следовательно, наше предположение было неверным, и все гномы должны быть одного роста.

Ответ: Доказано, что все гномы были одного роста.