Страница 251 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1048. Среднее арифметическое семи чисел равно 10,2, а среднее арифметическое трёх других чисел — 6,8. Найдите среднее арифметическое этих десяти чисел.

Чтобы найти среднее арифметическое десяти чисел, необходимо найти их общую сумму и разделить эту сумму на их количество, то есть на 10.

1. Найдем сумму первых семи чисел. По определению, сумма чисел равна их среднему арифметическому, умноженному на их количество.

$10,2 \times 7 = 71,4$

Таким образом, сумма первых семи чисел равна 71,4.

2. Найдем сумму трех других чисел.

$6,8 \times 3 = 20,4$

Сумма этих трех чисел равна 20,4.

3. Теперь найдем общую сумму всех десяти чисел, сложив суммы, полученные в предыдущих шагах.

$71,4 + 20,4 = 91,8$

Общая сумма десяти чисел равна 91,8.

4. Наконец, найдем среднее арифметическое этих десяти чисел. Для этого разделим их общую сумму на их количество.

$\frac{91,8}{10} = 9,18$

Ответ: 9,18

1049. Средний возраст одиннадцати футболистов команды равен 22 годам. Во время игры одного из футболистов удалили с поля, после чего средний возраст оставшихся игроков составил 21 год. Сколько лет было футболисту, который покинул поле?

Для решения этой задачи найдем суммарный возраст игроков до и после удаления одного из них.

1. Изначально в команде было 11 футболистов, и их средний возраст составлял 22 года. Найдем их суммарный возраст, умножив количество игроков на средний возраст:
Суммарный возраст (11 игроков) = $11 \cdot 22 = 242$ года.

2. После удаления одного игрока в команде осталось $11 - 1 = 10$ футболистов. Их средний возраст стал 21 год. Найдем новый суммарный возраст:
Суммарный возраст (10 игроков) = $10 \cdot 21 = 210$ лет.

3. Возраст футболиста, который покинул поле, равен разнице между суммарным возрастом одиннадцати и десяти игроков:
Возраст удаленного футболиста = $242 - 210 = 32$ года.

Ответ: 32 года.

1050. На сколько среднее арифметическое всех чётных чисел от 1 до 1 000 включительно больше, чем среднее арифметическое всех нечётных чисел от 1 до 1 000 включительно?

Для решения этой задачи нам нужно найти два значения: среднее арифметическое всех чётных чисел от 1 до 1000 и среднее арифметическое всех нечётных чисел в том же диапазоне, а затем найти их разность.

Среднее арифметическое нечётных чисел

Сначала рассмотрим все нечётные числа от 1 до 1000 включительно. Это последовательность: 1, 3, 5, ..., 999.Эта последовательность является арифметической прогрессией.Первый член прогрессии $a_1 = 1$.Последний член прогрессии $a_n = 999$.Количество нечётных чисел в диапазоне от 1 до 1000 равно $1000 / 2 = 500$.Среднее арифметическое для арифметической прогрессии равно полусумме её первого и последнего членов.Обозначим среднее арифметическое нечётных чисел как $M_{нечет}$.

$M_{нечет} = \frac{a_1 + a_n}{2} = \frac{1 + 999}{2} = \frac{1000}{2} = 500$.

Среднее арифметическое чётных чисел

Теперь рассмотрим все чётные числа от 1 до 1000 включительно. Это последовательность: 2, 4, 6, ..., 1000.Эта последовательность также является арифметической прогрессией.Первый член прогрессии $b_1 = 2$.Последний член прогрессии $b_n = 1000$.Количество чётных чисел также равно $1000 / 2 = 500$.Обозначим среднее арифметическое чётных чисел как $M_{чет}$.

$M_{чет} = \frac{b_1 + b_n}{2} = \frac{2 + 1000}{2} = \frac{1002}{2} = 501$.

Разность средних арифметических

Чтобы найти, на сколько среднее арифметическое чётных чисел больше, чем среднее арифметическое нечётных, вычтем второе из первого:

$M_{чет} - M_{нечет} = 501 - 500 = 1$.

Заметим, что этот результат можно было получить и логически. Каждое чётное число в последовательности (2, 4, ..., 1000) ровно на 1 больше соответствующего ему по порядку нечётного числа (1, 3, ..., 999). Поскольку количество чисел в обеих группах одинаково, разница между их средними арифметическими также будет равна 1.

Ответ: 1.

1051. Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.

Обозначим рост семи гномов, сидящих по кругу, как $h_1, h_2, h_3, h_4, h_5, h_6, h_7$. Поскольку они сидят в кругу, соседями гнома с ростом $h_i$ являются гномы с ростом $h_{i-1}$ и $h_{i+1}$ (при этом для гнома $h_1$ соседи — $h_7$ и $h_2$, а для гнома $h_7$ — $h_6$ и $h_1$).

По условию задачи, рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Математически это можно записать так:

$h_i = \frac{h_{i-1} + h_{i+1}}{2}$ для всех $i$ от 1 до 7.

Докажем утверждение от противного. Предположим, что не все гномы одного роста. Это означает, что среди их ростов есть как минимум один максимальный и один минимальный, и они не равны друг другу.

Пусть самый высокий гном (или один из самых высоких, если их несколько) имеет рост $H_{max}$. Допустим, это гном с номером $k$, то есть $h_k = H_{max}$.

По определению максимального значения, рост его соседей не может быть больше, чем $H_{max}$:

$h_{k-1} \le H_{max}$ и $h_{k+1} \le H_{max}$.

Теперь рассмотрим условие для гнома $k$:

$h_k = \frac{h_{k-1} + h_{k+1}}{2}$

Подставим $h_k = H_{max}$:

$H_{max} = \frac{h_{k-1} + h_{k+1}}{2}$

Среднее арифметическое двух чисел ($h_{k-1}$ и $h_{k+1}$) может быть равно максимальному из возможных значений ($H_{max}$) только в том случае, если оба этих числа сами равны этому максимальному значению. Если хотя бы одно из них было бы строго меньше $H_{max}$, то их среднее арифметическое также было бы строго меньше $H_{max}$.

Следовательно, из этого равенства следует, что:

$h_{k-1} = H_{max}$ и $h_{k+1} = H_{max}$.

Это означает, что оба соседа самого высокого гнома тоже имеют максимальный рост.

Теперь мы можем применить тот же самый аргумент к одному из соседей, например, к гному с номером $k+1$. Его рост $h_{k+1}$ также равен $H_{max}$. Его соседи — это гномы с номерами $k$ и $k+2$. Так как $h_{k+1}$ — максимальный рост, то и его соседи должны иметь максимальный рост. Мы уже знаем, что $h_k = H_{max}$, значит, и $h_{k+2}$ тоже должен быть равен $H_{max}$.

Продолжая это рассуждение по кругу, мы последовательно доказываем, что рост каждого следующего гнома ($h_{k+2}, h_{k+3}$, и так далее) также равен $H_{max}$. В итоге мы приходим к выводу, что все семь гномов должны иметь один и тот же максимальный рост $H_{max}$.

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что не все гномы были одного роста. Следовательно, наше предположение было неверным, и все гномы должны быть одного роста.

Ответ: Доказано, что все гномы были одного роста.

1052. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

1) 9,88 $\xrightarrow{ : a } 3,8$ $\xrightarrow{ - b } 1,74$ $\xrightarrow{ \cdot c } 6,09;$

2) 6,2 $\xrightarrow{ \cdot x } 17,36$ $\xrightarrow{ + y } 20,1$ $\xrightarrow{ : z } 1,5.$

1)

В данной цепочке вычислений: $9,88 \xrightarrow{:a} 3,8 \xrightarrow{-b} 1,74 \xrightarrow{\cdot c} 6,09$. Необходимо найти неизвестные числа $a$, $b$ и $c$, последовательно выполняя обратные действия.

Чтобы найти $a$, нужно решить уравнение $9,88 : a = 3,8$. Делитель $a$ равен частному от деления делимого $9,88$ на частное $3,8$:
$a = 9,88 : 3,8 = 2,6$.

Чтобы найти $b$, нужно решить уравнение $3,8 - b = 1,74$. Вычитаемое $b$ равно разности уменьшаемого $3,8$ и разности $1,74$:
$b = 3,8 - 1,74 = 2,06$.

Чтобы найти $c$, нужно решить уравнение $1,74 \cdot c = 6,09$. Неизвестный множитель $c$ равен частному от деления произведения $6,09$ на известный множитель $1,74$:
$c = 6,09 : 1,74 = 3,5$.

Ответ: $a = 2,6$; $b = 2,06$; $c = 3,5$.

2)

В данной цепочке вычислений: $6,2 \xrightarrow{\cdot x} 17,36 \xrightarrow{+y} 20,1 \xrightarrow{:z} 1,5$. Необходимо найти неизвестные числа $x$, $y$ и $z$.

Чтобы найти $x$, нужно решить уравнение $6,2 \cdot x = 17,36$. Неизвестный множитель $x$ равен частному от деления произведения $17,36$ на известный множитель $6,2$:
$x = 17,36 : 6,2 = 2,8$.

Чтобы найти $y$, нужно решить уравнение $17,36 + y = 20,1$. Неизвестное слагаемое $y$ равно разности суммы $20,1$ и известного слагаемого $17,36$:
$y = 20,1 - 17,36 = 2,74$.

Чтобы найти $z$, нужно решить уравнение $20,1 : z = 1,5$. Делитель $z$ равен частному от деления делимого $20,1$ на частное $1,5$:
$z = 20,1 : 1,5 = 13,4$.

Ответ: $x = 2,8$; $y = 2,74$; $z = 13,4$.

Периметр прямоугольника равен 36,8 см, а одна из его сторон — 13,8 см. Вычислите площадь прямоугольника.

2) Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 7,2 см, что составляет 0,8 его длины и 0,18 его высоты. Вычислите объём параллелепипеда.

1)

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — его стороны. По условию, периметр $P = 36,8$ см, а одна из сторон, пусть это будет $a$, равна $13,8$ см. Найдем вторую сторону $b$.

Сначала найдем полупериметр (сумму двух смежных сторон):
$a + b = P / 2 = 36,8 / 2 = 18,4$ см.

Теперь можем найти неизвестную сторону $b$:
$b = 18,4 - a = 18,4 - 13,8 = 4,6$ см.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.
$S = 13,8 \cdot 4,6 = 63,48$ см².

Ответ: 63,48 см².

2)

Пусть ширина, длина и высота прямоугольного параллелепипеда равны $b$, $a$ и $c$ соответственно. По условию, ширина $b = 7,2$ см.

Ширина составляет 0,8 его длины, то есть $b = 0,8 \cdot a$. Отсюда найдем длину $a$:
$a = b / 0,8 = 7,2 / 0,8 = 72 / 8 = 9$ см.

Ширина составляет 0,18 его высоты, то есть $b = 0,18 \cdot c$. Отсюда найдем высоту $c$:
$c = b / 0,18 = 7,2 / 0,18 = 720 / 18 = 40$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.
$V = 9 \cdot 7,2 \cdot 40 = 9 \cdot (7,2 \cdot 40) = 9 \cdot 288 = 2592$ см³.

Ответ: 2592 см³.

1054. В 25 банок разлили поровну 32 кг мёда. Сколько мёда налили в каждую банку? Ответ округлите до десятых.

1054.В

Чтобы найти, сколько мёда налили в каждую банку, необходимо общее количество мёда разделить на количество банок, так как мёд разливали поровну.

Выполним деление:
$32 \div 25 = 1,28$ кг.

По условию задачи, ответ нужно округлить до десятых. Для этого смотрим на цифру, следующую за разрядом десятых, то есть на цифру в разряде сотых. В числе 1,28 это цифра 8.
Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (2) мы должны увеличить на единицу.

$1,28 \approx 1,3$ кг.

Ответ: 1,3 кг.