Страница 258 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1084.Отправившись в морское путешествие, экипаж яхты взял с собой 2 400 л пресной воды. Каждую неделю он тратил $15\%$ того запаса воды, который у него был в начале этой недели. Сколько литров воды осталось через неделю путешествия? Через две недели?

Сколько литров воды осталось через неделю путешествия?

Для того чтобы найти, сколько воды осталось через неделю, нужно сначала рассчитать, сколько воды было израсходовано. Изначальный запас воды — 2400 л. Расход за неделю составляет 15% от запаса на начало недели.

1. Вычисляем количество израсходованной воды за первую неделю. Для этого находим 15% от 2400 л:
$2400 \cdot \frac{15}{100} = 2400 \cdot 0,15 = 360$ л.

2. Теперь вычитаем израсходованное количество из начального запаса, чтобы найти остаток:
$2400 - 360 = 2040$ л.

Также можно решить задачу, вычислив, какая часть воды осталась. Если израсходовано 15%, то осталось $100\% - 15\% = 85\%$.
$2400 \cdot 0,85 = 2040$ л.

Ответ: 2040 л.

Через две недели?

К началу второй недели запас воды составлял 2040 л. Расход за вторую неделю также составляет 15%, но уже от нового запаса — 2040 л.

1. Вычисляем количество израсходованной воды за вторую неделю:
$2040 \cdot \frac{15}{100} = 2040 \cdot 0,15 = 306$ л.

2. Вычитаем это количество из запаса, который был в начале второй недели:
$2040 - 306 = 1734$ л.

Аналогично первому пункту, можно сразу найти остаток:
$2040 \cdot 0,85 = 1734$ л.

Ответ: 1734 л.

1085. За четыре дня яхта прошла 800 км. В первый день было пройдено $30 \%$ всего расстояния, во второй день – $\frac{5}{8}$ того, что было пройдено в первый день, а в третий день – $128 \%$ того, что было пройдено во второй. Сколько километров прошла яхта в четвёртый день?

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить расстояние, пройденное яхтой в каждый из первых трех дней, а затем найти оставшееся расстояние для четвертого дня.

1. Найдем расстояние, пройденное в первый день.
В первый день яхта прошла 30% от всего расстояния в 800 км. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, представляющую проценты:
$800 \cdot \frac{30}{100} = 800 \cdot 0.3 = 240$ км.

2. Найдем расстояние, пройденное во второй день.
Во второй день было пройдено $\frac{5}{8}$ от расстояния, пройденного в первый день (240 км):
$240 \cdot \frac{5}{8} = \frac{240 \cdot 5}{8} = 30 \cdot 5 = 150$ км.

3. Найдем расстояние, пройденное в третий день.
В третий день было пройдено 128% от расстояния, пройденного во второй день (150 км):
$150 \cdot \frac{128}{100} = 150 \cdot 1.28 = 192$ км.

4. Найдем расстояние, пройденное в четвертый день.
Сначала вычислим общее расстояние, пройденное за первые три дня, сложив полученные результаты:
$240 + 150 + 192 = 582$ км.
Теперь, чтобы найти, сколько километров яхта прошла в четвертый день, вычтем из общего расстояния (800 км) расстояние, пройденное за первые три дня:
$800 - 582 = 218$ км.

Ответ: в четвёртый день яхта прошла 218 км.

1086. Четыре предприятия перевели на счёт краеведческого музея 1 800 000 р. Первое предприятие перечислило 24 % этой суммы, второе — 125 % того, что перечислило первое предприятие, третье — $\frac{4}{9}$ того, что перечислило второе предприятие, а остальную сумму — четвёртое предприятие. Сколько рублей перечислило четвёртое предприятие?

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить, какую сумму перечислило каждое из первых трех предприятий, а затем найти оставшуюся сумму для четвертого предприятия.

1. Сумма, перечисленная первым предприятием.

Первое предприятие перечислило 24% от общей суммы 1 800 000 рублей. Рассчитаем эту сумму:

$1\ 800\ 000 \cdot \frac{24}{100} = 1\ 800\ 000 \cdot 0.24 = 432\ 000$ рублей.

2. Сумма, перечисленная вторым предприятием.

Второе предприятие перечислило 125% от суммы, которую внесло первое предприятие (432 000 рублей). Рассчитаем эту сумму:

$432\ 000 \cdot \frac{125}{100} = 432\ 000 \cdot 1.25 = 540\ 000$ рублей.

3. Сумма, перечисленная третьим предприятием.

Третье предприятие перечислило $\frac{4}{9}$ от суммы, которую внесло второе предприятие (540 000 рублей). Рассчитаем эту сумму:

$540\ 000 \cdot \frac{4}{9} = \frac{540\ 000 \cdot 4}{9} = 60\ 000 \cdot 4 = 240\ 000$ рублей.

4. Сумма, перечисленная четвёртым предприятием.

Четвертое предприятие перечислило оставшуюся часть. Чтобы её найти, нужно из общей суммы вычесть суммы, перечисленные первыми тремя предприятиями:

$1\ 800\ 000 - (432\ 000 + 540\ 000 + 240\ 000) = 1\ 800\ 000 - 1\ 212\ 000 = 588\ 000$ рублей.

Ответ: 588 000 рублей.

1087. Инна испекла пирожки с повидлом и угостила ими своих друзей.

Они съели 24 пирожка, после чего у Инны осталась $\frac{1}{5}$ всех пирожков. Сколько всего пирожков испекла девочка?

Обозначим общее количество пирожков, которые испекла Инна, за $x$.

Согласно условию, после того как друзья съели часть пирожков, у Инны осталась $\frac{1}{5}$ от всего количества. Следовательно, съеденная часть составляет разницу между целым (1) и оставшейся частью:

$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Таким образом, друзья съели $\frac{4}{5}$ всех пирожков. Из условия мы знаем, что это количество равно 24 пирожкам. Теперь мы можем составить уравнение, чтобы найти общее количество пирожков $x$:

$\frac{4}{5} \cdot x = 24$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 24 на дробь $\frac{4}{5}$:

$x = 24 \div \frac{4}{5}$

Для деления на дробь, мы умножаем на обратную ей дробь:

$x = 24 \cdot \frac{5}{4} = \frac{24 \cdot 5}{4} = 6 \cdot 5 = 30$

Итак, всего Инна испекла 30 пирожков.

Ответ: 30 пирожков.

1088. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

1) $m \xrightarrow{\cdot 0,75} 15 \xrightarrow{- x} 2,56 \xrightarrow{: n} 3,2;$

2) $a \xrightarrow{\cdot 2,6} 27,04 \xrightarrow{+ b} 30 \xrightarrow{: c} 125.$

1)

Для того, чтобы найти неизвестные числа в первой цепочке вычислений, необходимо составить и решить уравнения для каждого шага, двигаясь по цепочке слева направо.

Первый шаг представлен уравнением $m \cdot 0,75 = 15$. Чтобы найти неизвестный множитель $m$, нужно произведение (15) разделить на известный множитель (0,75).

$m = 15 : 0,75 = 20$.

Второй шаг представлен уравнением $15 - x = 2,56$. Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого (15) вычесть разность (2,56).

$x = 15 - 2,56 = 12,44$.

Третий шаг представлен уравнением $2,56 : n = 3,2$. Чтобы найти неизвестный делитель $n$, нужно делимое (2,56) разделить на частное (3,2).

$n = 2,56 : 3,2 = 0,8$.

Таким образом, недостающие числа в первой цепочке: $m = 20$, $x = 12,44$ и $n = 0,8$.

Ответ: $m=20; x=12,44; n=0,8$.

2)

Аналогично найдем неизвестные числа во второй цепочке вычислений.

Первый шаг: $a \cdot 2,6 = 27,04$. Находим неизвестный множитель $a$.

$a = 27,04 : 2,6 = 10,4$.

Второй шаг: $27,04 + b = 30$. Находим неизвестное слагаемое $b$.

$b = 30 - 27,04 = 2,96$.

Третий шаг: $30 : c = 125$. Находим неизвестный делитель $c$.

$c = 30 : 125 = 0,24$.

Таким образом, недостающие числа во второй цепочке: $a = 10,4$, $b = 2,96$ и $c = 0,24$.

Ответ: $a=10,4; b=2,96; c=0,24$.

1089. Иван Трудолюб собрал по 1 200 ц кукурузы с одного гектара поля, площадь которого составляла 12,5 га. Для перевозки урожая он арендовал грузовики, каждый из которых перевозил по 2,5 т и сделал по 15 рейсов. Сколько грузовиков арендовал Иван Трудолюб?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Рассчитаем общую массу урожая, собранного с поля.

Известно, что с одного гектара собирали 1200 центнеров (ц) кукурузы, а общая площадь поля составляет 12,5 гектара (га). Чтобы найти общую массу урожая, умножим урожайность на площадь поля:

$1200 \text{ ц/га} \times 12,5 \text{ га} = 15 \ 000 \text{ ц}$

2. Переведем массу урожая в тонны.

Грузоподъемность грузовиков указана в тоннах (т), поэтому для удобства расчетов переведем общую массу урожая из центнеров в тонны. В одной тонне содержится 10 центнеров ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$).

$15 \ 000 \text{ ц} \div 10 = 1 \ 500 \text{ т}$

3. Вычислим, сколько всего груза мог перевезти один грузовик.

Каждый грузовик за один рейс перевозил 2,5 т и сделал 15 рейсов. Чтобы найти общую массу, перевезенную одним грузовиком, умножим его грузоподъемность на количество рейсов:

$2,5 \text{ т} \times 15 = 37,5 \text{ т}$

4. Найдем количество арендованных грузовиков.

Теперь, зная общую массу урожая и то, сколько мог перевезти один грузовик, мы можем найти необходимое количество грузовиков. Для этого разделим общую массу урожая на грузоподъемность одного грузовика за все рейсы:

$1500 \text{ т} \div 37,5 \text{ т} = 40$

Таким образом, Ивану Трудолюбу потребовалось 40 грузовиков для перевозки всего урожая.

Ответ: 40 грузовиков.

1090. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 260 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного автомобиля равна 70 км/ч, а скорость второго — 60 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 2,5 ч после начала движения?

Для решения этой задачи мы можем использовать понятие скорости сближения. Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Найдем скорость сближения автомобилей.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме скоростей первого $v_1$ и второго $v_2$ автомобилей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 70 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$

2. Найдем общее расстояние, на которое автомобили сократят дистанцию между собой за 2,5 часа.

Для этого умножим скорость сближения на время в пути $t$:

$S_{сбл} = v_{сбл} \times t = 130 \text{ км/ч} \times 2,5 \text{ ч} = 325 \text{ км}$

3. Определим расстояние между автомобилями.

Поскольку общее пройденное расстояние (325 км) больше начального расстояния между пунктами (260 км), это означает, что автомобили уже встретились и продолжили движение, удаляясь друг от друга. Чтобы найти расстояние между ними через 2,5 часа, нужно из общего пройденного ими расстояния вычесть начальное расстояние между пунктами.

$S_{конечное} = S_{сбл} - S_{начальное} = 325 \text{ км} - 260 \text{ км} = 65 \text{ км}$

Ответ: через 2,5 часа расстояние между автомобилями будет 65 км.