Страница 259 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1091.В 5 классе диктант по русскому языку писали 30 учеников. Петя Ленивцев сделал больше всех ошибок — 14. Покажите, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок (в этом классе могли быть ученики, которые не сделали ни одной ошибки).

Для решения этой задачи используется принцип Дирихле. Ученики в данном случае выступают в роли «объектов», а различное количество сделанных ошибок — в роли «групп», по которым эти объекты распределяются.

По условию, в классе $30$ учеников. Один ученик, Петя Ленивцев, сделал $14$ ошибок, и это больше, чем у всех остальных. Это означает, что все остальные ученики, которых $30 - 1 = 29$, сделали меньшее количество ошибок.

Возможные значения количества ошибок для этих $29$ учеников лежат в диапазоне от $0$ (если ученик не сделал ни одной ошибки) до $13$ (поскольку $14$ — это максимальное значение, достигнутое только Петей). Таким образом, у нас есть следующие возможные варианты количества ошибок: $0, 1, 2, \ldots, 13$.

Общее число таких вариантов (или «групп») равно $13 - 0 + 1 = 14$.

Теперь нам нужно распределить $29$ учеников по $14$ возможным группам (по количеству ошибок). Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что никакие три ученика не сделали одинаковое количество ошибок. Это значит, что в каждой из $14$ групп находится не более двух учеников.

В таком случае максимальное количество учеников (не считая Петю), которое можно было бы разместить по этим группам, составило бы:

$14 \text{ групп} \times 2 \text{ ученика в группе} = 28 \text{ учеников}$.

Однако у нас $29$ учеников (кроме Пети). Мы получили противоречие: $29 > 28$. Это означает, что невозможно распределить $29$ учеников по $14$ группам так, чтобы в каждой было не более двух человек. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Таким образом, должна существовать как минимум одна группа (то есть одно и то же количество ошибок), в которой оказалось по меньшей мере три ученика.

Ответ: Утверждение доказано. По крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок.