Страница 262 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1110. За два дня проложили кабель. В первый день проложили $68 \text{ %}$ кабеля, а во второй — на 115,2 м меньше, чем в первый. Сколько всего метров кабеля проложили за два дня? Сколько метров кабеля проложили в первый день?

Пусть $x$ (метров) — это общая длина кабеля, которую проложили за два дня. Эту величину примем за 100%.

В первый день проложили 68% всего кабеля. В долях от общей длины это составляет $0.68x$ метров.

Следовательно, во второй день проложили оставшуюся часть кабеля. Вычислим эту часть в процентах:
$100\% - 68\% = 32\%$
В долях от общей длины это составляет $0.32x$ метров.

По условию задачи, во второй день проложили на 115,2 м кабеля меньше, чем в первый. Это значит, что разница между длиной кабеля, проложенного в первый день, и длиной, проложенной во второй, равна 115,2 м. На основе этого составим уравнение:
$0.68x - 0.32x = 115,2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти общую длину кабеля $x$:
$0.36x = 115,2$
$x = \frac{115,2}{0,36}$
$x = \frac{11520}{36}$
$x = 320$

Итак, мы определили общую длину кабеля. Теперь можем ответить на оба вопроса задачи.

Сколько всего метров кабеля проложили за два дня?
Общая длина кабеля, которую мы нашли, решая уравнение ($x$), составляет 320 метров.
Ответ: 320 м.

Сколько метров кабеля проложили в первый день?
В первый день проложили 68% от общей длины. Чтобы найти эту величину, умножим общую длину на долю, соответствующую 68%:
$320 \cdot 0,68 = 217,6$ м.
Ответ: 217,6 м.

1111. В саду растут красные, розовые и белые розы. Красные розы составляют 40 % всех роз, розовые — 58 % остальных роз, а белых роз растёт 126. Сколько всего роз растёт в саду?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество роз, растущих в саду.

1. Красные розы составляют 40% от всех роз. В долях от единицы это $0,4$. Таким образом, количество красных роз равно $0,4x$.

2. Оставшиеся розы (розовые и белые) составляют $100\% - 40\% = 60\%$ от общего числа. Их количество равно $x - 0,4x = 0,6x$.

3. Розовые розы составляют 58% от остальных роз. Чтобы найти их долю от общего числа, нужно умножить долю розовых роз на долю остальных роз: $0,58 \cdot 0,6x = 0,348x$. Значит, розовые розы составляют 34,8% от всех роз.

4. Белые розы составляют оставшуюся часть от 60% роз. Их доля среди "остальных" составляет $100\% - 58\% = 42\%$. Найдем, какую долю белые розы составляют от общего числа роз: $0,42 \cdot 0,6x = 0,252x$. Таким образом, белые розы составляют 25,2% от всех роз.

5. В условии сказано, что белых роз растёт 126. Теперь мы можем составить уравнение, зная, что это количество составляет $0,252$ от общего числа роз: $0,252x = 126$

6. Решим уравнение, чтобы найти $x$: $x = \frac{126}{0,252} = \frac{126000}{252} = 500$

Следовательно, всего в саду растёт 500 роз.

Ответ: 500 роз.

1112. В первый день Саша прочитал 25 % всей книги, во второй — 68 % оставшихся страниц, а в третий — последние 96 страниц. Сколько всего страниц в книге?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — общее количество страниц в книге.

1. Определим, сколько страниц осталось прочитать после первого дня.
В первый день Саша прочитал 25% всей книги, то есть $0.25x$ страниц. Следовательно, после первого дня ему осталось прочитать: $x - 0.25x = 0.75x$ страниц.

2. Определим, какую часть книги Саша прочитал в третий день.
Во второй день он прочитал 68% от оставшихся страниц, то есть $0.68 \cdot (0.75x)$. Значит, на третий день остались страницы, составляющие $100\% - 68\% = 32\%$ от остатка после первого дня. Выразим эту часть от всей книги: $0.32 \cdot (0.75x) = 0.24x$.

3. Составим уравнение и найдем общее количество страниц.
Из условия известно, что в третий день Саша прочитал 96 страниц. Мы выяснили, что это составляет $0.24x$ от всей книги. Составим уравнение: $0.24x = 96$
Чтобы найти $x$, разделим 96 на 0.24: $x = \frac{96}{0.24} = \frac{9600}{24} = 400$. Таким образом, в книге 400 страниц.

Проверка:
1. Всего страниц: 400.
2. В первый день прочитано: $400 \cdot 0.25 = 100$ страниц. Осталось: $400 - 100 = 300$ страниц.
3. Во второй день прочитано: $300 \cdot 0.68 = 204$ страницы. Осталось: $300 - 204 = 96$ страниц.
4. В третий день прочитано 96 страниц. Все данные сходятся с условием задачи.

Ответ: 400 страниц.

1113. Сколько килограммов картофеля продал магазин за три дня, если в первый день продали 32 % всего картофеля, во второй — 45 % оставшегося, а в третий — 561 кг?

Пусть $x$ кг — это общее количество картофеля, которое было в магазине.

1. В первый день продали 32% всего картофеля. Найдем, сколько картофеля (в процентах) осталось после первого дня:
$100\% - 32\% = 68\%$
Это составляет $0.68x$ кг от всего количества.

2. Во второй день продали 45% от оставшегося количества. Картофель, оставшийся после первого дня ($68\%$), теперь принимается за 100%. Найдем, какая часть от этого остатка была продана в третий день:
$100\% - 45\% = 55\%$
Эта часть, проданная в третий день, составляет 55% от остатка после первого дня. Выразим это через $x$:
$0.55 \cdot (0.68x) = 0.374x$

3. Мы знаем, что в третий день продали 561 кг картофеля. Это и есть та часть, которую мы рассчитали в предыдущем шаге ($0.374x$). Составим и решим уравнение:
$0.374x = 561$
$x = \frac{561}{0.374}$
$x = 1500$

Таким образом, общее количество картофеля, проданного за три дня, составляет 1500 кг.

Ответ: 1500 кг.

1114. На новогодний праздник в школу завезли три вида мороженого: шоколадное, клубничное и ванильное. Шоколадное составляло $52 \%$ всего мороженого, клубничное — $25 \%$ шоколадного, а ванильное — остальные 140 кг. Сколько килограммов мороженого завезли в школу?

Для решения задачи примем общую массу всего мороженого за 100%.

1. Сначала найдем, какую долю от общего количества составляет клубничное мороженое. По условию, его количество составляет 25% от шоколадного, а шоколадное — 52% от всего мороженого. Чтобы найти долю клубничного от общего количества, нужно перемножить эти доли (предварительно переведя проценты в десятичные дроби):

$0,25 \times 52\% = 13\%$

Таким образом, клубничное мороженое составляет 13% от всей массы мороженого.

2. Теперь найдем, какую долю от общего количества составляет ванильное мороженое. Оно составляет остальную часть после шоколадного и клубничного. Вычтем их доли из 100%:

$100\% - (52\% + 13\%) = 100\% - 65\% = 35\%$

Значит, ванильное мороженое составляет 35% от общей массы.

3. В условии сказано, что масса ванильного мороженого равна 140 кг. Поскольку мы знаем, что 140 кг — это 35% от общего количества, мы можем найти общую массу мороженого. Обозначим общую массу за $x$ и составим пропорцию:

140 кг — 35%

$x$ кг — 100%

Решим пропорцию:

$x = \frac{140 \times 100}{35}$

Разделим 140 на 35:

$140 \div 35 = 4$

Теперь умножим результат на 100:

$x = 4 \times 100 = 400$ кг

Таким образом, всего в школу завезли 400 кг мороженого.

Ответ: 400 кг

1115. В саду растут розы, гладиолусы и георгины. Розы составляют 60 % всех цветов, гладиолусы — 40 % количества роз, а георгинов растёт 32. Сколько роз растёт в саду?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество всех цветов в саду.

1. Найдем долю каждого вида цветов от общего количества.
- Розы составляют 60% всех цветов, что в виде десятичной дроби равно $0.6$. Таким образом, количество роз равно $0.6x$.
- Гладиолусы составляют 40% от количества роз. Найдем, какую долю они составляют от всех цветов: $40\%$ от $60\%$.
$0.40 \times 0.6x = 0.24x$.
Значит, гладиолусы составляют 24% от всех цветов в саду.
- Георгины составляют оставшуюся часть. Вычислим их долю в процентах:
$100\% - (\text{процент роз}) - (\text{процент гладиолусов}) = 100\% - 60\% - 24\% = 16\%$.
Таким образом, георгины составляют 16% (или $0.16$) от общего количества цветов.

2. Найдем общее количество цветов в саду.
По условию, в саду растет 32 георгина, что составляет 16% от всех цветов. Можем составить пропорцию или уравнение:
$0.16x = 32$
Чтобы найти $x$, разделим количество георгинов на их долю:
$x = \frac{32}{0.16} = \frac{3200}{16} = 200$.
Всего в саду 200 цветов.

3. Найдем количество роз.
Розы составляют 60% от общего количества цветов. Теперь мы можем вычислить их точное количество:
Количество роз = $0.6 \times 200 = 120$.

Ответ: 120.

1116. Заполните пропуски в цепочке вычислений, если:

1) $x = 2,6$;

2) $x = 8$.

$x$

$\cdot 0,8$

$- 0,19$

если

$> 3$

$- 0,45$

$: 0,9$

$< 3$

$: 0,9$

$+ 1,1$

1) x = 2,6
Выполним вычисления по заданной схеме для $x = 2,6$:
1. Умножаем начальное значение на 0,8:
$2,6 \cdot 0,8 = 2,08$.
2. Из полученного результата вычитаем 0,19:
$2,08 - 0,19 = 1,89$.
3. Сравниваем результат с числом 3. Поскольку $1,89 < 3$, мы следуем по нижней ветке алгоритма.
4. Делим полученное число на 0,9:
$1,89 : 0,9 = 2,1$.
5. К результату прибавляем 1,1:
$2,1 + 1,1 = 3,2$.
Конечный результат вычислений равен 3,2.
Ответ: 3,2.

2) x = 8
Выполним вычисления по заданной схеме для $x = 8$:
1. Умножаем начальное значение на 0,8:
$8 \cdot 0,8 = 6,4$.
2. Из полученного результата вычитаем 0,19:
$6,4 - 0,19 = 6,21$.
3. Сравниваем результат с числом 3. Поскольку $6,21 > 3$, мы следуем по верхней ветке алгоритма.
4. Из полученного числа вычитаем 0,45:
$6,21 - 0,45 = 5,76$.
5. Результат делим на 0,9:
$5,76 : 0,9 = 6,4$.
Конечный результат вычислений равен 6,4.
Ответ: 6,4.

1117. Решите уравнение:

1) $0,31x + 1,2 = 1,2124;$

2) $0,5x - 17 = 40,52;$

3) $4,6 - 0,03x = 1,3;$

4) $0,4x + 0,24x - 0,26 = 0,764.$

1) $0,31x + 1,2 = 1,2124$

Для решения этого линейного уравнения, сначала перенесем свободный член (1,2) из левой части в правую, изменив его знак:

$0,31x = 1,2124 - 1,2$

$0,31x = 0,0124$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 0,31:

$x = \frac{0,0124}{0,31}$

Выполним деление:

$x = 0,04$

Ответ: $0,04$.

2) $0,5x - 17 = 40,52$

Перенесем свободный член (-17) из левой части в правую со знаком плюс:

$0,5x = 40,52 + 17$

$0,5x = 57,52$

Разделим обе части уравнения на 0,5. Деление на 0,5 равносильно умножению на 2:

$x = \frac{57,52}{0,5}$

$x = 57,52 \cdot 2$

$x = 115,04$

Ответ: $115,04$.

3) $4,6 - 0,03x = 1,3$

Сначала перенесем 4,6 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-0,03x = 1,3 - 4,6$

$-0,03x = -3,3$

Теперь разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на -0,03:

$x = \frac{-3,3}{-0,03}$

Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число:

$x = \frac{3,3}{0,03}$

Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{330}{3}$

$x = 110$

Ответ: $110$.

4) $0,4x + 0,24x - 0,26 = 0,764$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения (сложим члены с $x$):

$(0,4 + 0,24)x - 0,26 = 0,764$

$0,64x - 0,26 = 0,764$

Теперь перенесем свободный член (-0,26) в правую часть со знаком плюс:

$0,64x = 0,764 + 0,26$

$0,64x = 1,024$

Наконец, разделим обе части на коэффициент 0,64, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1,024}{0,64}$

Выполним деление:

$x = 1,6$

Ответ: $1,6$.

1118. Ширина Красной площади в Москве равна 130 м. Длина её в 5,34 раза больше ширины. Сколько квадратных метров составляет её площадь? Ответ округлите до тысяч.

Для решения задачи необходимо выполнить три действия: найти длину Красной площади, вычислить ее площадь и округлить полученное значение до тысяч.

1. Нахождение длины Красной площади.
Из условия известно, что ширина площади равна 130 м, а длина в 5,34 раза больше. Чтобы найти длину, необходимо умножить ширину на это значение:
$130 \text{ м} \times 5,34 = 694,2 \text{ м}$.

2. Вычисление площади Красной площади.
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($a$) на ширину ($b$): $S = a \times b$. Подставим известные значения:
$S = 694,2 \text{ м} \times 130 \text{ м} = 90246 \text{ м}^2$.

3. Округление результата до тысяч.
Полученную площадь 90246 м² необходимо округлить до тысяч. Для этого смотрим на цифру в разряде сотен. В числе 90246 это цифра 2. Так как $2 < 5$, мы округляем в меньшую сторону (разряд тысяч не меняется), а все последующие разряды (сотни, десятки и единицы) заменяем нулями.
$90246 \approx 90000$.

Ответ: 90000 квадратных метров.