Страница 263 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1119. Часовая стрелка курантов на Спасской башне Московского Кремля на 0,31 м короче минутной. Когда часы показывают 18.00, то расстояние между концами стрелок равно 6,25 м. Вычислите длину каждой стрелки.

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $L_м$ — длина минутной стрелки в метрах.

Пусть $L_ч$ — длина часовой стрелки в метрах.

Исходя из условия, часовая стрелка на 0,31 м короче минутной. Это можно выразить уравнением:

$L_ч = L_м - 0.31$

Когда часы показывают 18:00 (или 6 часов вечера), минутная стрелка указывает ровно на 12, а часовая — ровно на 6. Это означает, что стрелки направлены в противоположные стороны и вместе образуют прямую линию, проходящую через центр циферблата.

В этом положении расстояние между концами стрелок равно сумме их длин. По условию, это расстояние составляет 6,25 м. Таким образом, мы можем составить второе уравнение:

$L_ч + L_м = 6.25$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} L_ч = L_м - 0.31 \\ L_ч + L_м = 6.25 \end{cases}$

Подставим выражение для $L_ч$ из первого уравнения во второе:

$(L_м - 0.31) + L_м = 6.25$

Решим полученное уравнение относительно $L_м$:

$2L_м - 0.31 = 6.25$

$2L_м = 6.25 + 0.31$

$2L_м = 6.56$

$L_м = \frac{6.56}{2}$

$L_м = 3.28$ (м)

Итак, длина минутной стрелки составляет 3,28 м.

Теперь найдем длину часовой стрелки, подставив значение $L_м$ в первое уравнение:

$L_ч = 3.28 - 0.31$

$L_ч = 2.97$ (м)

Таким образом, длина часовой стрелки составляет 2,97 м.

Ответ: Длина минутной стрелки составляет 3,28 м, а длина часовой стрелки — 2,97 м.

1120. От двух пристаней, расстояние между которыми равно $63 \text{ км}$, навстречу друг другу одновременно отплыли две моторные лодки. Скорость одной из них равна $16 \text{ км/ч}$. Лодки встретились через $2 \text{ ч } 6 \text{ мин}$ после начала движения. Найдите скорость второй лодки.

Для решения этой задачи необходимо найти скорость второй моторной лодки. Нам известны расстояние между пристанями, скорость одной из лодок и время, через которое они встретились.

1. Переведем время в часы.
Время движения лодок составляет 2 часа 6 минут. Поскольку скорость дана в км/ч, удобнее выразить время также в часах. В одном часе 60 минут, поэтому 6 минут — это $6/60$ часа.

$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч} = 0.1 \text{ ч}$

Таким образом, общее время в пути до встречи:

$t = 2 \text{ ч} + 0.1 \text{ ч} = 2.1 \text{ ч}$

2. Найдем скорость сближения лодок.
Скорость сближения — это скорость, с которой сокращается расстояние между объектами, движущимися навстречу друг другу. Она равна сумме их скоростей. Общее расстояние $S$, которое лодки прошли вместе, равно начальному расстоянию между ними. Это расстояние можно найти по формуле $S = v_{сбл} \times t$, где $v_{сбл}$ — скорость сближения, а $t$ — время.

Выразим скорость сближения из этой формулы:

$v_{сбл} = \frac{S}{t}$

Подставим известные значения: $S = 63$ км и $t = 2.1$ ч.

$v_{сбл} = \frac{63}{2.1} = \frac{630}{21} = 30 \text{ км/ч}$

3. Найдем скорость второй лодки.
Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме скоростей первой ($v_1$) и второй ($v_2$) лодок:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Отсюда можем выразить скорость второй лодки:

$v_2 = v_{сбл} - v_1$

Подставим известные значения: $v_{сбл} = 30$ км/ч и $v_1 = 16$ км/ч.

$v_2 = 30 - 16 = 14 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость второй лодки 14 км/ч.

1121. Сколько существует двузначных чисел, для записи которых используются только:

1) цифры 0, 2, 4, 6 и 8;

2) цифры 1, 3, 5, 7 и 9?

(Цифры могут повторяться.)

1) Двузначное число состоит из двух цифр. Первая цифра (разряд десятков) не может быть нулем. Из предложенного набора цифр {0, 2, 4, 6, 8} для первой позиции можно выбрать любую, кроме 0. Следовательно, есть 4 варианта для первой цифры: 2, 4, 6, 8.
Для второй цифры (разряд единиц) можно использовать любую из пяти предложенных цифр {0, 2, 4, 6, 8}, так как в условии сказано, что цифры могут повторяться. Следовательно, есть 5 вариантов для второй цифры.
Чтобы найти общее количество таких двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции: $4 \times 5 = 20$.
Ответ: 20.

2) В этом случае мы используем набор цифр {1, 3, 5, 7, 9}.
Для первой цифры (разряд десятков) можно выбрать любую из предложенных пяти цифр, так как среди них нет нуля. Следовательно, есть 5 вариантов.
Для второй цифры (разряд единиц) также можно выбрать любую из пяти предложенных цифр. Следовательно, есть 5 вариантов.
Общее количество таких двузначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции: $5 \times 5 = 25$.
Ответ: 25.

1122. Для просмотра кинофильма в зрительном зале собрались ученики нескольких школ. Оказалось, что ученики одной из школ составляют $47 \%$ количества зрителей. Сколько всего зрителей было в зале, если в нём 280 мест и более половины мест было занято?

Пусть $N$ — общее количество зрителей в зале.

Согласно условию, ученики одной из школ составляют 47% от общего числа зрителей. Количество учеников из этой школы можно вычислить как $0,47 \times N$. Поскольку количество учеников должно быть целым числом, произведение $0,47 \times N$ должно быть целым.

Запишем 47% в виде дроби: $0,47 = \frac{47}{100}$. Тогда количество учеников равно $\frac{47}{100} \times N$. Так как 47 — простое число, а 100 не делится на 47, для того чтобы произведение было целым числом, общее количество зрителей $N$ должно быть кратно 100.

Из условия также известно, что в зале 280 мест, и более половины из них было занято.
Половина мест — это $280 \div 2 = 140$.
Следовательно, количество зрителей $N$ больше 140, но не превышает 280. Это можно записать в виде двойного неравенства: $140 < N \le 280$.

Теперь нам нужно найти число, которое одновременно кратно 100 и находится в интервале $(140; 280]$.
Выпишем числа, кратные 100, и проверим их:
- $100$: не удовлетворяет условию $N > 140$.
- $200$: удовлетворяет условию $140 < 200 \le 280$.
- $300$: не удовлетворяет условию $N \le 280$.

Единственное подходящее значение для $N$ — это 200.

Ответ: 200.