Страница 260 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

$0,8 \xrightarrow{\cdot \text{?}} 0,96 \xrightarrow{+ \text{?}} \bigcirc \xrightarrow{: 0,06} 20$

$0,8 \xrightarrow{: 20} \bigcirc \xrightarrow{\cdot \text{?}} 20$

Чтобы найти пропущенные числа, выполним вычисления для каждой цепочки. В некоторых случаях для нахождения неизвестного числа нужно будет выполнять обратные арифметические действия.

Верхняя цепочка

Для нахождения пропущенных чисел в этой цепочке будем двигаться в обратном порядке, справа налево.

1. Найдем число в правом кружке. Из схемы видно, что это число при делении на 0,06 дает в результате 20. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:

$20 \cdot 0,06 = 1,2$

Ответ: число в правом верхнем кружке — 1,2.

2. Найдем число, которое нужно прибавить к 0,96, чтобы получить 1,2 (число, найденное на предыдущем шаге). Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$1,2 - 0,96 = 0,24$

Ответ: пропущенное слагаемое — 0,24.

3. Найдем число, на которое умножается 0,8, чтобы получить 0,96. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:

$0,96 : 0,8 = 1,2$

Ответ: пропущенный множитель — 1,2.

Нижняя цепочка

Для нахождения пропущенных чисел в этой цепочке будем двигаться в прямом порядке, слева направо.

1. Найдем число в нижнем кружке. Для этого выполним указанное действие — разделим 0,8 на 20:

$0,8 : 20 = 0,04$

Ответ: число в нижнем кружке — 0,04.

2. Найдем число, на которое нужно умножить 0,04, чтобы получить 20. Для этого выполним деление:

$20 : 0,04 = 500$

Ответ: пропущенный множитель — 500.

2. Золотую медаль за успехи в учёбе получили 14 выпускников, что составляет $\frac{1}{100}$ всех учащихся школы. Сколько учащихся в этой школе?

Чтобы найти общее количество учащихся в школе, нужно знать, что если известна часть числа, выраженная дробью, то чтобы найти всё число, можно эту часть разделить на данную дробь.

В данной задаче нам известно, что 14 выпускников — это $\frac{1}{100}$ от всех учащихся. Обозначим общее количество учащихся за $x$. Тогда можно составить следующее уравнение:

$\frac{1}{100} \cdot x = 14$

Чтобы найти $x$, нужно 14 разделить на $\frac{1}{100}$. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$x = 14 \div \frac{1}{100} = 14 \cdot \frac{100}{1} = 14 \cdot 100$

$x = 1400$

Таким образом, всего в школе 1400 учащихся.

Ответ: 1400 учащихся.

3. Возраст Светы составляет $ \frac{2}{9} $ возраста её отца. Сколько лет отцу, если Свете 8 лет?

Пусть возраст отца равен $x$ лет. Согласно условию задачи, возраст Светы составляет $\frac{2}{9}$ от возраста отца. Известно, что Свете 8 лет. Составим уравнение на основе этих данных:

$\frac{2}{9} \cdot x = 8$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (8) разделить на известный множитель ($\frac{2}{9}$). Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 8 \div \frac{2}{9} = 8 \cdot \frac{9}{2}$

Выполним вычисление:

$x = \frac{8 \cdot 9}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Таким образом, возраст отца составляет 36 лет.

Ответ: 36 лет.

4. Какую часть числа составляют:

1) $50\%$ этого числа;

2) $25\%$ этого числа;

3) $10\%$ этого числа;

4) $2\%$ этого числа?

Чтобы найти, какую часть от числа составляют проценты, необходимо представить проценты в виде обыкновенной дроби и, если возможно, сократить её. Процент — это одна сотая часть, поэтому, чтобы перевести проценты в дробь, нужно число процентов разделить на 100. Общая формула: $p\% = \frac{p}{100}$.

1) 50 % этого числа;

Представим 50% в виде дроби: $50\% = \frac{50}{100}$. Сократим полученную дробь, разделив и числитель, и знаменатель на 50: $\frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$. Таким образом, 50% числа составляют половину этого числа.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) 25 % этого числа;

Представим 25% в виде дроби: $25\% = \frac{25}{100}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 25: $\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$. Таким образом, 25% числа составляют четверть этого числа.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) 10 % этого числа;

Представим 10% в виде дроби: $10\% = \frac{10}{100}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10: $\frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$. Таким образом, 10% числа составляют десятую часть этого числа.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

4) 2 % этого числа?

Представим 2% в виде дроби: $2\% = \frac{2}{100}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2 \div 2}{100 \div 2} = \frac{1}{50}$. Таким образом, 2% числа составляют одну пятидесятую этого числа.
Ответ: $\frac{1}{50}$.

5. Решите уравнение:

1) $4x - 2,6x = 42;$

2) $3,9x + 4,2x = 0,81.$

1) Дано уравнение $4x - 2,6x = 42$.
Это линейное уравнение с одной переменной. Для его решения сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(4 - 2,6)x = 42$
$1,4x = 42$
Теперь, чтобы найти неизвестную $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 1,4.
$x = 42 : 1,4$
Для удобства деления можно представить делимое и делитель в виде целых чисел, умножив их на 10:
$x = 420 : 14$
$x = 30$
Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$4 \cdot 30 - 2,6 \cdot 30 = 120 - 78 = 42$
$42 = 42$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 30.

2) Дано уравнение $3,9x + 4,2x = 0,81$.
Это также линейное уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив подобные слагаемые:
$(3,9 + 4,2)x = 0,81$
$8,1x = 0,81$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8,1:
$x = \frac{0,81}{8,1}$
$x = 0,1$
Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$3,9 \cdot 0,1 + 4,2 \cdot 0,1 = 0,39 + 0,42 = 0,81$
$0,81 = 0,81$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 0,1.

6. Сравните $40\%$ числа 80 и $80\%$ числа 40.

Для того чтобы сравнить два выражения, необходимо вычислить значение каждого из них.

1. Вычислим 40 % от числа 80.

Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число. 40 % — это 0,4 в виде десятичной дроби.

Выполним умножение:

$40\% \text{ от } 80 = \frac{40}{100} \cdot 80 = 0.4 \cdot 80 = 32$

Таким образом, 40 % от числа 80 равны 32.

2. Вычислим 80 % от числа 40.

Аналогично, переведем 80 % в десятичную дробь, что составит 0,8.

Выполним умножение:

$80\% \text{ от } 40 = \frac{80}{100} \cdot 40 = 0.8 \cdot 40 = 32$

Таким образом, 80 % от числа 40 равны 32.

3. Сравним полученные результаты.

В первом случае мы получили число 32, и во втором случае мы также получили число 32.

$32 = 32$

Следовательно, 40 % от числа 80 равны 80 % от числа 40.

Это иллюстрирует общее свойство процентов: $a\%$ от числа $b$ всегда равно $b\%$ от числа $a$, так как $\frac{a}{100} \cdot b = \frac{b}{100} \cdot a$.

Ответ: 40 % числа 80 равны 80 % числа 40.

7. Одно число составляет 50 % второго. Во сколько раз второе число больше первого?

Пусть первое число — это $x$, а второе число — это $y$.

По условию задачи, первое число составляет 50% от второго. Чтобы работать с процентами в вычислениях, переведем их в десятичную дробь:

$50\% = \frac{50}{100} = 0.5$

Теперь мы можем записать условие задачи в виде математического равенства:

$x = 0.5 \cdot y$

Вопрос задачи: "Во сколько раз второе число больше первого?". Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно найти отношение второго числа к первому, то есть найти значение дроби $\frac{y}{x}$.

Возьмем наше равенство $x = 0.5 \cdot y$ и выразим из него искомое отношение $\frac{y}{x}$. Для этого разделим обе части равенства на $x$ (мы можем это сделать, так как числа не равны нулю):

$1 = 0.5 \cdot \frac{y}{x}$

Теперь, чтобы найти $\frac{y}{x}$, разделим обе части уравнения на 0.5:

$\frac{y}{x} = \frac{1}{0.5}$

Вычислим значение:

$\frac{1}{0.5} = \frac{1}{1/2} = 1 \cdot 2 = 2$

Таким образом, второе число в 2 раза больше первого.

Ответ: в 2 раза.

1092. Заполните таблицу.

Чтобы найти целое число, зная величину его одного процента (1%), нужно эту величину умножить на 100. Это следует из определения процента: 1% – это одна сотая часть ($ \frac{1}{100} $) числа. Если 1% от числа $x$ равен $y$, то само число $x$ можно найти по формуле: $x = y \cdot 100$.

Применим это правило для каждого столбца таблицы:

1% числа равен 6

Чтобы найти исходное число, умножаем 6 на 100:

$6 \cdot 100 = 600$

Ответ: 600

1% числа равен 3

Чтобы найти исходное число, умножаем 3 на 100:

$3 \cdot 100 = 300$

Ответ: 300

1% числа равен 4,2

Чтобы найти исходное число, умножаем 4,2 на 100:

$4,2 \cdot 100 = 420$

Ответ: 420

1% числа равен 7,68

Чтобы найти исходное число, умножаем 7,68 на 100:

$7,68 \cdot 100 = 768$

Ответ: 768

Таким образом, заполненная таблица выглядит следующим образом:

1093. Найдите число, если:

1) $20 \%$ этого числа равны 40;

2) $54 \%$ этого числа равны 81;

3) $280 \%$ этого числа равны 70;

4) $320 \%$ этого числа равны 16.

1) 20 % этого числа равны 40;
Чтобы найти число, зная, что 20% от него равны 40, мы можем составить пропорцию или решить уравнение. Пусть искомое число — это $x$. Тогда 20% от $x$ — это $x \cdot (20/100)$ или $0,2 \cdot x$.Составим уравнение:$0,2 \cdot x = 40$Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,2:$x = 40 / 0,2$$x = 400 / 2$$x = 200$Таким образом, искомое число равно 200.Ответ: 200

2) 54 % этого числа равны 81;
Пусть искомое число — это $x$. По условию, 54% от этого числа равны 81. Переведем проценты в десятичную дробь: $54~\% = 54/100 = 0,54$.Составим уравнение:$0,54 \cdot x = 81$Чтобы найти $x$, разделим 81 на 0,54:$x = 81 / 0,54$$x = 8100 / 54$Для упрощения можно разделить числитель и знаменатель на 27 ($81 = 3 \cdot 27$, $54 = 2 \cdot 27$):$x = (3 \cdot 100) / 2$$x = 300 / 2 = 150$Следовательно, искомое число равно 150.Ответ: 150

3) 280 % этого числа равны 70;
Пусть искомое число — это $x$. По условию, 280% от этого числа равны 70. Переведем проценты в десятичную дробь: $280~\% = 280/100 = 2,8$.Составим уравнение:$2,8 \cdot x = 70$Чтобы найти $x$, разделим 70 на 2,8:$x = 70 / 2,8$$x = 700 / 28$Разделим числитель и знаменатель на 7:$x = 100 / 4 = 25$Таким образом, искомое число равно 25.Ответ: 25

4) 320 % этого числа равны 16.
Пусть искомое число — это $x$. По условию, 320% от этого числа равны 16. Переведем проценты в десятичную дробь: $320~\% = 320/100 = 3,2$.Составим уравнение:$3,2 \cdot x = 16$Чтобы найти $x$, разделим 16 на 3,2:$x = 16 / 3,2$$x = 160 / 32$$x = 5$Следовательно, искомое число равно 5.Ответ: 5

1094. Найдите число, если:

1) 1 % этого числа равен 7;

2) 1 % этого числа равен 0,36;

3) 12 % этого числа равны 4,8;

4) 104 % этого числа равны 260.

1) По определению, 1% — это одна сотая часть числа. Если 1% от искомого числа равен 7, то для нахождения всего числа (которое составляет 100%) необходимо это значение умножить на 100.
$7 \cdot 100 = 700$.
Ответ: 700

2) Аналогично первому пункту, если 1% от числа равен 0,36, то для нахождения всего числа (100%) нужно данное значение умножить на 100.
$0.36 \cdot 100 = 36$.
Ответ: 36

3) Дано, что 12% некоторого числа равны 4,8. Чтобы найти всё число (100%), можно сначала найти значение 1% этого числа, а затем умножить результат на 100.
1) Найдём значение 1%, разделив известную часть на её процентное выражение:
$4.8 : 12 = 0.4$.
2) Теперь, зная, что 1% равен 0.4, найдём всё число:
$0.4 \cdot 100 = 40$.
Альтернативный способ — составить пропорцию. Пусть искомое число это $x$:
$x$ — $100\%$
$4.8$ — $12\%$
Из пропорции получаем: $x = \frac{4.8 \cdot 100}{12} = \frac{480}{12} = 40$.
Ответ: 40

4) Дано, что 104% некоторого числа равны 260. Метод решения такой же: сначала найдём 1%, а затем 100%.
1) Найдём значение 1% числа:
$260 : 104 = 2.5$.
2) Теперь найдём искомое число (100%):
$2.5 \cdot 100 = 250$.
Другой способ — через уравнение. Пусть искомое число — $x$. 104% можно представить в виде десятичной дроби 1.04.
$1.04 \cdot x = 260$
$x = \frac{260}{1.04} = \frac{26000}{104} = 250$.
Ответ: 250

1095. За первую неделю турист прошёл 32 км, что составляет 40 % туристского маршрута. Какова длина всего маршрута?

Для того чтобы найти общую длину маршрута, обозначим её как $x$ км. Эта полная длина соответствует 100%.

По условию задачи, турист прошел 32 км, и это расстояние составляет 40% от всего маршрута.

Мы можем составить пропорцию, в которой отношение пройденной части пути ко всему пути равно отношению соответствующих им процентных долей:

$ \frac{32}{x} = \frac{40}{100} $

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{32 \cdot 100}{40} $

Выполним вычисления:

$ x = \frac{3200}{40} = \frac{320}{4} = 80 $

Следовательно, общая длина туристского маршрута составляет 80 км.

Ответ: 80 км.