Страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1096. Михаил купил справочник по математике, потратив на него 45 % имевшихся у него денег. Сколько денег было у Михаила, если справочник стоит 144 р.?

Пусть $x$ — это общее количество денег, которое было у Михаила. Эта сумма составляет 100%.

Из условия задачи известно, что стоимость справочника, равная 144 рублям, составляет 45% от общей суммы денег.

Для решения задачи можно составить пропорцию:

144 руб. — 45%
$x$ руб. — 100%

На основе пропорции составим уравнение:

$ \frac{144}{45} = \frac{x}{100} $

Теперь найдем $x$:

$ x = \frac{144 \cdot 100}{45} $

Выполним вычисления:

$ x = \frac{14400}{45} = 320 $

Таким образом, у Михаила было 320 рублей.

Ответ: 320 р.

1097. Руда содержит 60 % железа. Сколько тонн руды надо взять, чтобы получить 72 т железа?

Пусть $x$ — это искомое количество тонн руды. По условию задачи, руда содержит 60% железа. Это означает, что масса железа составляет 60% от общей массы руды.

Для начала переведем проценты в десятичную дробь:
$60\% = \frac{60}{100} = 0.6$

Теперь мы можем составить уравнение. Масса железа, которую необходимо получить (72 т), равна произведению общей массы руды ($x$) на долю содержания в ней железа (0.6):
$0.6 \cdot x = 72$

Чтобы найти $x$, решим это уравнение, разделив обе его части на 0.6:
$x = \frac{72}{0.6}$
Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{720}{6}$
$x = 120$

Следовательно, чтобы получить 72 тонны железа, необходимо взять 120 тонн руды.

Ответ: 120 т.

1098. Раствор содержит 14 % соли. Сколько килограммов раствора надо взять, чтобы получить 49 кг соли?

Для решения этой задачи обозначим искомую массу раствора через $x$ (в килограммах).

По условию, концентрация соли в растворе составляет 14%. Это значит, что масса соли равна 14% от общей массы раствора. Чтобы работать с процентами в вычислениях, переведем их в десятичную дробь:

$14\% = \frac{14}{100} = 0.14$

Теперь мы можем составить уравнение. Масса соли в растворе ($0.14 \cdot x$) должна быть равна 49 кг:

$0.14 \cdot x = 49$

Чтобы найти $x$, нужно разделить массу соли на её долю в растворе:

$x = \frac{49}{0.14}$

Для удобства вычислений избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{49 \cdot 100}{0.14 \cdot 100} = \frac{4900}{14}$

Выполним деление:

$x = 350$

Таким образом, чтобы получить 49 кг соли, необходимо взять 350 кг раствора.

Ответ: 350 кг.

1099. Банк выплачивает своим вкладчикам 8 % годовых. Сколько денег надо положить в банк, чтобы через год получить 600 р. прибыли?

Пусть $x$ — это искомая сумма денег, которую нужно положить в банк. Эта сумма принимается за 100%.
Согласно условию, банк выплачивает 8% годовых, и эта прибыль за год составляет 600 рублей. Следовательно, 600 рублей — это 8% от первоначальной суммы $x$.
Чтобы найти всю сумму (100%), зная, что ее часть (8%) равна 600 рублям, можно составить пропорцию:
$x$ рублей — 100%
600 рублей — 8%
Из данной пропорции следует соотношение:
$\frac{x}{600} = \frac{100}{8}$
Теперь выразим $x$, чтобы найти искомую сумму:
$x = \frac{600 \cdot 100}{8}$
$x = \frac{60000}{8}$
$x = 7500$
Таким образом, для получения прибыли в размере 600 рублей через год, необходимо положить в банк 7500 рублей.
Ответ: 7500 рублей.

1100. Масса сушёных слив составляет $15\%$ массы свежих. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить $36 \text{ кг}$ сушёных?

Пусть $x$ — это масса свежих слив, которую необходимо взять. Согласно условию задачи, масса сушёных слив составляет 15% от массы свежих.

Чтобы найти долю от числа, выраженную в процентах, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число. Переведем 15% в десятичную дробь:

$15\% = \frac{15}{100} = 0.15$

Таким образом, масса сушёных слив, полученных из $x$ кг свежих, составляет $0.15 \cdot x$. Нам известно, что нужно получить 36 кг сушёных слив. Составим уравнение:

$0.15 \cdot x = 36$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (36) разделить на известный множитель (0.15):

$x = \frac{36}{0.15}$

Для удобства вычислений можно избавиться от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{36 \cdot 100}{0.15 \cdot 100} = \frac{3600}{15}$

Выполним деление:

$x = 240$

Следовательно, для получения 36 кг сушёных слив необходимо взять 240 кг свежих.

Ответ: 240 кг.

1101. За неделю бригада рабочих отремонтировала 138 м дороги, что составляет 115 % плана. Сколько метров дороги планировали отремонтировать за неделю?

Пусть $x$ — это количество метров дороги, которое планировали отремонтировать. Это значение соответствует 100% плана.

Согласно условию, 138 метров отремонтированной дороги составляют 115% плана.

Чтобы найти первоначальное значение (100%), можно составить пропорцию:

$138$ м — $115\%$
$x$ м — $100\%$

Из этой пропорции следует равенство отношений: $ \frac{138}{115} = \frac{x}{100} $

Чтобы найти $x$, выразим его из уравнения: $ x = \frac{138 \times 100}{115} $

Теперь выполним вычисления: $ x = \frac{13800}{115} $

$ x = 120 $

Таким образом, планировали отремонтировать 120 метров дороги.

Ответ: 120 м.

1102. За обедом Пончик съел 28,8 кг варенья, что составило 120 % того, что он планировал съесть. Сколько варенья планировал съесть Пончик за обедом?

Пусть $x$ кг — это количество варенья, которое Пончик планировал съесть. Это количество мы принимаем за 100%.

По условию задачи, Пончик съел 28,8 кг варенья, что составляет 120% от запланированного. Чтобы найти запланированное количество, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование пропорции.

Составим пропорцию, где $x$ кг соответствуют 100%, а 28,8 кг соответствуют 120%:

$x$ кг — 100%
28,8 кг — 120%

Из пропорции следует равенство отношений:

$x / 28,8 = 100 / 120$

Теперь выразим $x$:

$x = (28,8 \cdot 100) / 120$

$x = 2880 / 120$

$x = 288 / 12$

$x = 24$ кг.

Способ 2: Через нахождение 1%.

Если 28,8 кг это 120%, то мы можем найти, сколько килограммов составляет 1%:

$28,8 / 120 = 0,24$ кг.

Запланированное количество составляет 100%, поэтому умножим значение 1% на 100:

$0,24 \cdot 100 = 24$ кг.

Оба способа дают одинаковый результат. Пончик планировал съесть 24 кг варенья.

Ответ: 24 кг.

1103. Во время сушки яблоки теряют $84 \%$ своей массы. Сколько килограммов свежих яблок надо взять, чтобы получить $24 \text{ кг}$ сушёных?

Пусть $x$ — это искомая масса свежих яблок в килограммах.

Согласно условию, во время сушки яблоки теряют 84% своей массы. Это означает, что после сушки остаётся некоторая часть от их первоначальной массы. Вычислим эту часть в процентах:

$100\% - 84\% = 16\%$

Таким образом, масса сушёных яблок составляет 16% от массы свежих яблок. Нам известно, что нужно получить 24 кг сушёных яблок.

Чтобы найти исходное число (массу свежих яблок) по его проценту, можно составить уравнение. Переведём проценты в десятичную дробь: $16\% = 0.16$.

Теперь составим уравнение, где $x$ — масса свежих яблок:

$0.16 \cdot x = 24$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 24 на 0.16:

$x = \frac{24}{0.16}$

Для удобства вычислений можно избавиться от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{24 \cdot 100}{0.16 \cdot 100} = \frac{2400}{16}$

$x = 150$

Следовательно, для получения 24 кг сушёных яблок необходимо взять 150 кг свежих.

Ответ: 150 кг.

1104. При тушении мясо теряет 24 % своей массы. Сколько килограммов сырого мяса надо взять, чтобы получить 19 кг тушёного?

Пусть $x$ кг — это первоначальная масса сырого мяса, которую необходимо взять. Эта масса составляет 100%.

Согласно условию, при тушении мясо теряет 24% своей массы. Это означает, что масса готового (тушёного) мяса составляет процент от первоначальной массы:

$100\% - 24\% = 76\%$

Мы знаем, что масса тушёного мяса равна 19 кг. Следовательно, эти 19 кг составляют 76% от массы сырого мяса.

Чтобы найти первоначальную массу ($x$), можно составить уравнение. Для этого переведём 76% в десятичную дробь: $76\% = 0.76$.

Уравнение будет выглядеть так:

$0.76 \cdot x = 19$

Теперь найдём $x$, разделив 19 на 0.76:

$x = \frac{19}{0.76}$

Для удобства вычислений избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{19 \cdot 100}{0.76 \cdot 100} = \frac{1900}{76}$

Выполним деление:

$x = 25$

Таким образом, для того чтобы получить 19 кг тушёного мяса, необходимо взять 25 кг сырого мяса.

Ответ: 25 кг.

1105. На обед в харчевне «Три пескаря» лиса Алиса и кот Базилио заказали салат «Оливье», жареного поросёнка и торт-мороженое. Когда им принесли счёт, оказалось, что за салат надо заплатить 28 % суммы, за поросёнка — 54 %, а за торт — остальные 108 сольдо. Сколько сольдо стоил обед Алисы и Базилио?

Для решения задачи примем всю стоимость обеда за 100%.

1. Сначала определим, какую часть от общей суммы в процентах составляют салат и жареный поросёнок вместе. Для этого сложим их процентные доли:

$28\% + 54\% = 82\%$

2. Теперь найдем, какая часть стоимости в процентах приходится на торт-мороженое. Для этого вычтем из общей суммы (100%) долю, приходящуюся на салат и поросёнка:

$100\% - 82\% = 18\%$

3. Из условия задачи известно, что стоимость торта-мороженого составляет 108 сольдо. Следовательно, 18% от общей стоимости обеда равны 108 сольдо.

4. Чтобы найти полную стоимость обеда (100%), можно составить пропорцию. Пусть $x$ — это полная стоимость обеда в сольдо. Тогда:

$\frac{18}{100} = \frac{108}{x}$

Выразим $x$ из этой пропорции:

$x = \frac{108 \cdot 100}{18}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{10800}{18} = 600$

Таким образом, полная стоимость обеда Алисы и Базилио составила 600 сольдо.

Ответ: 600 сольдо.

1106. Трое друзей собирали грибы. Первый собрал $37\%$ всех грибов, второй — $25\%$, а третий — остальные 152 гриба. Сколько всего грибов они собрали?

Примем общее количество грибов, собранных тремя друзьями, за 100%.

1. Найдем долю грибов, собранную первым и вторым другом вместе.

Для этого сложим их процентные доли:

$37\% + 25\% = 62\%$

2. Найдем долю грибов, которую собрал третий друг.

Для этого из общего количества (100%) вычтем долю, собранную первыми двумя друзьями:

$100\% - 62\% = 38\%$

3. Найдем общее количество собранных грибов.

Из условия известно, что третий друг собрал 152 гриба, что составляет 38% от общего количества. Обозначим общее количество грибов за $x$. Тогда можно составить пропорцию:

$152 \text{ гриба} — 38\%$

$x \text{ грибов} — 100\%$

Решим эту пропорцию:

$x = \frac{152 \cdot 100}{38}$

$x = \frac{15200}{38}$

$x = 400$

Следовательно, всего друзья собрали 400 грибов.

Ответ: 400 грибов.

1107. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 50 см, а ширина составляет 24 % длины. Вычислите объём параллелепипеда, если ширина составляет 30 % высоты.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо знать его длину, ширину и высоту. Объём вычисляется по формуле $V = L \cdot W \cdot H$, где $L$ — длина, $W$ — ширина, $H$ — высота.

1. Найдём ширину параллелепипеда
По условию, длина $L = 50$ см. Ширина $W$ составляет 24% от длины. Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число.
$24\% = \frac{24}{100} = 0,24$
$W = 50 \cdot 0,24 = 12$ см.

2. Найдём высоту параллелепипеда
Известно, что ширина $W$ (12 см) составляет 30% от высоты $H$.
$30\% = \frac{30}{100} = 0,3$
Это означает, что $12 = H \cdot 0,3$.
Чтобы найти высоту, разделим ширину на соответствующую ей долю:
$H = \frac{12}{0,3} = \frac{120}{3} = 40$ см.

3. Вычислим объём параллелепипеда
Теперь у нас есть все три измерения: длина $L = 50$ см, ширина $W = 12$ см и высота $H = 40$ см. Вычислим объём:
$V = L \cdot W \cdot H = 50 \cdot 12 \cdot 40$
$V = 600 \cdot 40 = 24000$ см³.

Ответ: 24000 см³.

1108. В первый день турист прошёл 7,2 км, во второй день — 150 % того, что в первый. Сколько километров прошёл турист за три дня, если во второй день он прошёл 90 % того, что прошёл в третий?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий:

1. Вычислим расстояние, которое турист прошёл во второй день.

По условию, в первый день турист прошёл 7,2 км, а во второй — 150% от этого расстояния. Чтобы найти 150% от числа, необходимо это число умножить на 1,5 (поскольку $150\% = \frac{150}{100} = 1.5$).

$7.2 \cdot 1.5 = 10.8$ (км).

Таким образом, во второй день турист прошёл 10,8 км.

2. Вычислим расстояние, которое турист прошёл в третий день.

Известно, что расстояние, пройденное во второй день (10,8 км), составляет 90% от пути, пройденного в третий день. Обозначим расстояние за третий день буквой $x$. Тогда можно составить уравнение, где $90\%$ это 0,9:

$0.9 \cdot x = 10.8$

Чтобы найти $x$, разделим 10,8 на 0,9:

$x = \frac{10.8}{0.9} = \frac{108}{9} = 12$ (км).

Следовательно, в третий день турист прошёл 12 км.

3. Вычислим общее расстояние, которое турист прошёл за три дня.

Для этого сложим расстояния, пройденные в каждый из трёх дней:

$7.2 \text{ (первый день)} + 10.8 \text{ (второй день)} + 12 \text{ (третий день)} = 18 + 12 = 30$ (км).

Ответ: 30 км.

1109.В саду росли яблони и вишни, причём яблони составляли $41 \%$ всех деревьев. Вишнёвых деревьев было на 54 больше, чем яблонь. Сколько деревьев росло в саду? Сколько среди них было вишнёвых деревьев?

Примем общее количество деревьев в саду за 100%. По условию, яблони составляют 41% от всех деревьев. Поскольку в саду растут только яблони и вишни, можем найти процентное содержание вишнёвых деревьев:

$100\% - 41\% = 59\%$

Теперь вычислим, на сколько процентов вишнёвых деревьев больше, чем яблонь:

$59\% - 41\% = 18\%$

Из условия задачи известно, что эта разница в 18% соответствует 54 деревьям. Теперь мы можем найти ответы на поставленные вопросы.

Сколько деревьев росло в саду?

Пусть $x$ — общее количество деревьев в саду. Тогда 18% от $x$ равно 54. Составим и решим уравнение:

$0.18 \cdot x = 54$

$x = \frac{54}{0.18}$

$x = 300$

Таким образом, всего в саду росло 300 деревьев.

Ответ: 300 деревьев.

Сколько среди них было вишнёвых деревьев?

Мы знаем, что вишнёвые деревья составляют 59% от общего числа деревьев. Вычислим их количество:

$300 \cdot 0.59 = 177$

Следовательно, в саду росло 177 вишнёвых деревьев.

Ответ: 177 вишнёвых деревьев.