Страница 257 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1073. Дед Устим собрал со своего огорода 1 200 кг овощей. Из них $26 \text{ %}$ составляли огурцы, $48 \text{ %}$ — картофель, а остальное — капуста.

Сколько килограммов капусты собрал дед Устим?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала найдем, какой процент от всего урожая составляют огурцы и картофель вместе. Для этого сложим их процентные доли:

$26\% + 48\% = 74\%$

2. Весь урожай овощей составляет 100%. Оставшаяся часть урожая — это капуста. Чтобы найти процентную долю капусты, нужно из 100% вычесть суммарную долю огурцов и картофеля:

$100\% - 74\% = 26\%$

Таким образом, капуста составляет 26% от всего урожая.

3. Теперь, зная процентную долю капусты, мы можем вычислить ее массу в килограммах. Общий вес всех овощей — 1200 кг. Найдем 26% от 1200 кг. Для этого можно умножить общее количество на процент, выраженный в виде десятичной дроби ($26\% = 0.26$):

$1200 \times 0.26 = 312$ кг

Ответ: 312 кг.

1074.В магазин поступило 200 банок варенья. 24 % этого количества составляли банки с клубничным вареньем, 32 % — с малиновым, а остальное — с вишнёвым. Сколько банок вишнёвого варенья поступило в магазин?

Для того чтобы найти количество банок с вишнёвым вареньем, сначала определим, какую процентную долю они составляют от общего количества.

1. Все поступившее варенье составляет 100%. Известно, что клубничное варенье составляет 24%, а малиновое — 32%. Найдем их общую долю:

$24\% + 32\% = 56\%$

Таким образом, клубничное и малиновое варенье вместе составляют 56% от всех банок.

2. Оставшаяся часть — это вишнёвое варенье. Вычтем из 100% долю клубничного и малинового варенья, чтобы найти долю вишнёвого:

$100\% - 56\% = 44\%$

Значит, вишнёвое варенье составляет 44% от общего количества банок.

3. Теперь найдем, сколько именно банок составляет 44% от общего числа в 200 банок. Для этого умножим общее количество банок на долю вишнёвого варенья, выраженную в виде десятичной дроби ($44\% = 0.44$):

$200 \cdot \frac{44}{100} = 2 \cdot 44 = 88$ (банок)

Ответ: 88 банок вишнёвого варенья поступило в магазин.

1075. В 2007 г. потребление мяса и мясопродуктов в Российской Федерации составляло 60 кг на душу населения. В 2013 г. потребление мяса и мясопродуктов на душу населения составило 125 % по отношению к 2007 г. Сколько килограммов составило потребление мяса и мясопродуктов на душу населения в 2013 г.?

Для того чтобы найти потребление мяса и мясопродуктов в 2013 году, необходимо вычислить 125% от значения 2007 года, которое составляло 60 кг.

Сначала представим 125% в виде десятичной дроби, разделив на 100:
$125\% = \frac{125}{100} = 1.25$

Теперь умножим потребление 2007 года на эту величину:
$60 \text{ кг} \times 1.25 = 75 \text{ кг}$

Следовательно, потребление мяса и мясопродуктов на душу населения в 2013 году составило 75 кг.

Ответ: 75 кг.

1076.B В 2005 г. потребление яиц в Российской Федерации составляло 250 штук на душу населения. В 2013 г. потребление яиц на душу населения составило 107,2 % по отношению к 2005 г. Каким было потребление яиц на душу населения в 2013 г.?

Для решения задачи необходимо найти, сколько составляет 107,2% от числа 250. Потребление яиц в 2005 году является базовым значением (100%).

1. Переведем проценты в десятичную дробь.

Чтобы перевести проценты в дробь, нужно разделить их на 100:

$107,2\% = \frac{107,2}{100} = 1,072$

2. Найдем потребление в 2013 году.

Умножим потребление в 2005 году (250 штук) на полученный десятичный коэффициент:

$250 \times 1,072 = 268$

Таким образом, потребление яиц на душу населения в 2013 году составило 268 штук.

Ответ: 268 штук.

1077. Во время Русско-турецкой войны 1787–1791 гг. состоялось сражение при реке Рымник. 11 сентября 1789 г. объединённое русско-австрийское войско под командованием великого русского полководца А. В. Суворова разбило стотысячную турецкую армию. Численность войск под руководством Суворова составляла 25 % численности турецкой армии, а численность русских полков составляла 28 % численности русско-австрийского войска. Сколько русских воинов принимало участие в битве при Рымнике?

Для решения задачи необходимо выполнить два последовательных действия: сначала найти общую численность объединённого русско-австрийского войска, а затем из этого числа вычислить количество русских воинов.

1. Найдём общую численность русско-австрийского войска.

В условии сказано, что численность турецкой армии составляла 100 000 человек, а объединённое русско-австрийское войско составляло 25% от этого числа. Для нахождения процента от числа, нужно умножить это число на значение процента, поделённое на 100.

Численность русско-австрийского войска: $100\ 000 \cdot \frac{25}{100} = 100\ 000 \cdot 0,25 = 25\ 000$ (воинов).

2. Найдём количество русских воинов.

Далее, по условию, численность русских полков составляла 28% от общей численности русско-австрийского войска, которую мы определили в предыдущем шаге (25 000 воинов). Вычислим это количество:

Количество русских воинов: $25\ 000 \cdot \frac{28}{100} = 250 \cdot 28 = 7\ 000$ (воинов).

Ответ: 7 000 русских воинов принимало участие в битве при Рымнике.

1078. В саду росло 1 500 деревьев, из них $60\%$ составляли фруктовые деревья. Вишнёвые деревья составляли $52\%$ фруктовых деревьев. Сколько вишнёвых деревьев росло в саду?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти общее количество фруктовых деревьев, а затем из этого количества вычислить число вишнёвых деревьев.

1. Найдём количество фруктовых деревьев в саду.
Всего в саду 1500 деревьев. Фруктовые деревья составляют 60% от общего числа. Чтобы найти 60% от 1500, нужно общее количество деревьев умножить на долю, соответствующую процентам:
$1500 \cdot \frac{60}{100} = 1500 \cdot 0.6 = 900$ (фруктовых деревьев).

2. Найдём количество вишнёвых деревьев.
Вишнёвые деревья составляют 52% от количества фруктовых деревьев. Мы уже знаем, что фруктовых деревьев в саду 900. Теперь найдём 52% от этого числа:
$900 \cdot \frac{52}{100} = 9 \cdot 52 = 468$ (вишнёвых деревьев).

Ответ: 468.

1079. Убытки акционерного общества «Лебедь, рак и щука» за три летних месяца составили 246 000 р. В июне убытки составили 35 % этой суммы, а финансовые потери за июль составили 110 % июньских потерь. Сколько рублей составили потери акционерного общества в июле?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два последовательных действия: сначала рассчитать сумму убытков за июнь, а затем, на основе полученного результата, вычислить потери за июль.

1. Вычисление убытков за июнь.
Общая сумма убытков за три летних месяца составляет 246 000 рублей. Убытки за июнь составили 35% от этой суммы. Для нахождения процента от числа, нужно умножить это число на соответствующую долю.

Представим 35% в виде десятичной дроби: $35\% = \frac{35}{100} = 0.35$.

Теперь рассчитаем сумму убытков за июнь:

$246\,000 \times 0.35 = 86\,100$ рублей.

2. Вычисление потерь за июль.
По условию, финансовые потери за июль составили 110% от июньских потерь. Возьмем найденную сумму убытков за июнь (86 100 рублей) за 100% и найдем 110% от нее.

Представим 110% в виде десятичной дроби: $110\% = \frac{110}{100} = 1.1$.

Рассчитаем сумму потерь за июль:

$86\,100 \times 1.1 = 94\,710$ рублей.

Ответ: 94 710 рублей.

1080. Длина прямоугольника равна 80 см, его ширина составляет 80 % длины. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

По условию задачи, длина прямоугольника $a$ равна 80 см. Ширина $b$ составляет 80% от длины. Сначала найдем ширину прямоугольника. Для этого переведем проценты в десятичную дробь и умножим на длину:

$80\% = \frac{80}{100} = 0.8$

$b = 80 \text{ см} \cdot 0.8 = 64 \text{ см}$

Теперь, когда известны и длина (80 см), и ширина (64 см), мы можем найти периметр и площадь.

Периметр

Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон, которая вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$.

Подставим значения длины и ширины:

$P = 2 \cdot (80 + 64) = 2 \cdot 144 = 288 \text{ см}$

Ответ: периметр прямоугольника равен 288 см.

Площадь

Площадь прямоугольника ($S$) — это произведение его длины на ширину, которое вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Подставим значения длины и ширины:

$S = 80 \cdot 64 = 5120 \text{ см}^2$

Ответ: площадь прямоугольника равна 5120 см$^2$.

1081.Длина прямоугольного параллелепипеда равна 60 см, его ширина составляет 70 % длины, а высота — 125 % длины. Вычислите объём параллелепипеда.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда используется формула $V = a \cdot b \cdot c$, где $V$ – объём, $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

1. Найдём ширину параллелепипеда.
По условию, длина $a = 60$ см. Ширина $b$ составляет 70% от длины. Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число.
$70\% = \frac{70}{100} = 0.7$
$b = 60 \text{ см} \cdot 0.7 = 42 \text{ см}$

2. Найдём высоту параллелепипеда.
Высота $c$ составляет 125% от длины. Аналогично, переводим проценты в десятичную дробь.
$125\% = \frac{125}{100} = 1.25$
$c = 60 \text{ см} \cdot 1.25 = 75 \text{ см}$

3. Вычислим объём параллелепипеда.
Теперь, зная все три измерения (длину, ширину и высоту), можем вычислить объём.
$V = a \cdot b \cdot c = 60 \text{ см} \cdot 42 \text{ см} \cdot 75 \text{ см} = 189000 \text{ см}^3$

Ответ: 189000 см³.

1082. Ширина прямоугольника равна 40 см, его длина составляет 135 % ширины. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

Для решения задачи сначала необходимо найти длину прямоугольника. По условию, ширина $w$ равна 40 см, а длина $l$ составляет 135% от ширины. Чтобы найти длину, переведем проценты в десятичную дробь и умножим на ширину:

$135\% = \frac{135}{100} = 1,35$

$l = 40 \text{ см} \cdot 1,35 = 54$ см.

Теперь, зная длину ($l = 54$ см) и ширину ($w = 40$ см) прямоугольника, можем вычислить его периметр и площадь.

Периметр прямоугольника

Периметр $P$ прямоугольника — это сумма длин всех его сторон, которая находится по формуле $P = 2 \cdot (l + w)$.

Подставим известные значения:

$P = 2 \cdot (54 + 40) = 2 \cdot 94 = 188$ см.

Ответ: 188 см.

Площадь прямоугольника

Площадь $S$ прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину по формуле $S = l \cdot w$.

Подставим известные значения:

$S = 54 \cdot 40 = 2160$ см$^2$.

Ответ: 2160 см$^2$.

1083. Сергей Иванович положил в банк 14 000 р. под 10 % годовых. Какая сумма будет на его счёте через год? Через два года?

Какая сумма будет на его счёте через год?

Чтобы найти сумму на счете через год, необходимо рассчитать проценты, которые будут начислены за этот год, и прибавить их к начальной сумме вклада.

Начальная сумма вклада: $S_0 = 14 000$ рублей.
Годовая процентная ставка: $p = 10\%$.

Сначала найдем, сколько рублей составят 10% от 14 000. Это и будет сумма процентов за первый год.

$14 000 \cdot \frac{10}{100} = 14 000 \cdot 0.1 = 1400$ рублей.

Теперь прибавим эту сумму к начальному вкладу, чтобы узнать, какая сумма будет на счете через год:

$S_1 = 14 000 + 1400 = 15 400$ рублей.

Этот же результат можно получить, используя формулу сложных процентов:

$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$, где $n$ - количество лет.

Для одного года ($n=1$):

$S_1 = 14 000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^1 = 14 000 \cdot (1 + 0.1) = 14 000 \cdot 1.1 = 15 400$ рублей.

Ответ: 15 400 рублей.

Через два года?

При расчете процентов за второй год, они начисляются на новую сумму, которая была на счете в конце первого года (15 400 рублей). Этот процесс называется капитализацией процентов.

Сумма на начало второго года: $S_1 = 15 400$ рублей.

Рассчитаем проценты за второй год (10% от 15 400 рублей):

$15 400 \cdot \frac{10}{100} = 15 400 \cdot 0.1 = 1540$ рублей.

Теперь прибавим эту сумму к сумме на начало второго года, чтобы получить итоговую сумму через два года:

$S_2 = 15 400 + 1540 = 16 940$ рублей.

Или воспользуемся формулой сложных процентов для двух лет ($n=2$):

$S_2 = 14 000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^2 = 14 000 \cdot (1.1)^2 = 14 000 \cdot 1.21 = 16 940$ рублей.

Ответ: 16 940 рублей.