Страница 250 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1036. Найдите среднюю оценку по математике учащихся вашего класса за II четверть. Ответ округлите до единиц.

Поскольку для решения этой задачи требуются реальные данные об оценках учащихся конкретного класса, которых у меня нет, я приведу общий алгоритм решения и подробный пример его применения. Вам нужно будет подставить в этот алгоритм данные своего класса.

Чтобы найти среднюю оценку, необходимо вычислить среднее арифметическое всех оценок по математике за II четверть.

Порядок действий:

1. Соберите итоговые оценки по математике за II четверть всех учеников вашего класса.
2. Найдите сумму всех оценок. Для удобства можно сгруппировать одинаковые оценки: количество «пятёрок» умножить на 5, количество «четвёрок» — на 4, «троек» — на 3, и сложить полученные результаты.
3. Посчитайте общее количество учеников в классе.
4. Разделите сумму всех оценок на количество учеников. Это и будет средняя оценка.
   Формула для вычисления:
   $ \text{Средняя оценка} = \frac{\text{Сумма всех оценок}}{\text{Количество учащихся}} $
5. Округлите полученное значение до ближайшего целого числа. По правилам округления, если первая цифра после запятой 5 или больше, то целая часть увеличивается на 1. Если она меньше 5, то целая часть остаётся без изменений.

Пример решения для гипотетического класса.

Предположим, в классе 30 учеников. Их итоговые оценки по математике за II четверть распределились так:

• Оценку «5» получили 10 учеников.
• Оценку «4» получили 12 учеников.
• Оценку «3» получили 8 учеников.

1. Найдём сумму всех оценок в классе:
$ (10 \cdot 5) + (12 \cdot 4) + (8 \cdot 3) = 50 + 48 + 24 = 122 $

2. Общее количество учеников — 30.

3. Вычислим среднюю оценку:
$ \text{Средняя оценка} = \frac{122}{30} \approx 4,066... $

4. Округлим полученный результат до единиц. Первая цифра после запятой — 0, что меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону (отбрасываем дробную часть).
$ 4,066... \approx 4 $

Ответ: В приведенном примере средняя оценка по математике, округленная до единиц, равна 4. Для получения точного ответа для вашего класса необходимо использовать ваши реальные данные.

1037.1) Поезд ехал 4 ч со скоростью $64 \text{ км/ч}$ и 5 ч со скоростью $53,2 \text{ км/ч}$.

Найдите среднюю скорость поезда на протяжении всего пути.

2) В автомастерской работает 10 человек. У двоих из них месячная зарплата составляет 22 800 р., у четверых — 28 000 р., у троих 31 000 р., а у одного 32 000 р.

Какова средняя зарплата работников мастерской?

1) Средняя скорость движения находится по формуле: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.
Сначала вычислим расстояние, пройденное на каждом из двух участков пути.
1. Расстояние, пройденное за первые 4 часа: $S_1 = 64 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 256 \text{ км}$.
2. Расстояние, пройденное за следующие 5 часов: $S_2 = 53,2 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 266 \text{ км}$.
Теперь найдем общий путь и общее время.
3. Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 256 \text{ км} + 266 \text{ км} = 522 \text{ км}$.
4. Общее время: $t_{общ} = 4 \text{ ч} + 5 \text{ ч} = 9 \text{ ч}$.
Наконец, вычислим среднюю скорость.
5. Средняя скорость: $V_{ср} = \frac{522 \text{ км}}{9 \text{ ч}} = 58 \text{ км/ч}$.
Ответ: 58 км/ч.

2) Средняя зарплата — это общая сумма всех зарплат, деленная на количество работников. Это можно найти как среднее арифметическое взвешенное.
Сначала найдем общий фонд заработной платы мастерской.
1. Суммарная зарплата двоих работников: $2 \times 22\ 800 \text{ р.} = 45\ 600 \text{ р.}$
2. Суммарная зарплата четверых работников: $4 \times 28\ 000 \text{ р.} = 112\ 000 \text{ р.}$
3. Суммарная зарплата троих работников: $3 \times 31\ 000 \text{ р.} = 93\ 000 \text{ р.}$
4. Зарплата одного работника: $1 \times 32\ 000 \text{ р.} = 32\ 000 \text{ р.}$
Теперь сложим эти суммы, чтобы получить общий фонд.
5. Общий фонд зарплаты: $45\ 600 + 112\ 000 + 93\ 000 + 32\ 000 = 282\ 600 \text{ р.}$
Общее количество работников в мастерской — 10 человек ($2+4+3+1=10$).
6. Разделим общий фонд на количество работников, чтобы найти среднюю зарплату:
$ЗП_{ср} = \frac{282\ 600 \text{ р.}}{10} = 28\ 260 \text{ р.}$
Ответ: 28 260 р.

1038.1) Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 56,4 км/ч и 4 ч со скоростью 62,7 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.

2) Фермер собрал с каждого гектара поля площадью 30 га по 30,2 ц пшеницы, а с каждого гектара поля площадью 20 га — по 32,3 ц пшеницы. Какой средний урожай с одного гектара собрал фермер?

1) Чтобы найти среднюю скорость автомобиля, нужно разделить весь пройденный путь на всё время движения.
1. Сначала найдем расстояние, которое автомобиль проехал за первые 3 часа:
$56,4 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 169,2 \text{ км}$
2. Затем найдем расстояние, которое он проехал за следующие 4 часа:
$62,7 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 250,8 \text{ км}$
3. Теперь найдем весь пройденный путь, сложив эти два расстояния:
$169,2 \text{ км} + 250,8 \text{ км} = 420 \text{ км}$
4. Общее время в пути составляет:
$3 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 7 \text{ ч}$
5. Наконец, найдем среднюю скорость, разделив весь путь на всё время:
$V_{ср} = \frac{420 \text{ км}}{7 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$
Ответ: 60 км/ч.

2) Чтобы найти средний урожай с одного гектара, нужно разделить весь собранный урожай на общую площадь полей.
1. Сначала найдем, сколько всего пшеницы собрали с первого поля площадью 30 га:
$30 \text{ га} \cdot 30,2 \text{ ц/га} = 906 \text{ ц}$
2. Затем найдем, сколько пшеницы собрали со второго поля площадью 20 га:
$20 \text{ га} \cdot 32,3 \text{ ц/га} = 646 \text{ ц}$
3. Теперь найдем общий урожай, собранный с двух полей:
$906 \text{ ц} + 646 \text{ ц} = 1552 \text{ ц}$
4. Общая площадь двух полей составляет:
$30 \text{ га} + 20 \text{ га} = 50 \text{ га}$
5. Наконец, найдем средний урожай, разделив весь собранный урожай на общую площадь:
$\frac{1552 \text{ ц}}{50 \text{ га}} = 31,04 \text{ ц/га}$
Ответ: 31,04 ц.

1039. Среднее арифметическое чисел $7.8$ и $x$ равно $7.2$. Найдите $x$.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, деленная на их количество. В данном случае у нас есть два числа: 7,8 и x. Их среднее арифметическое равно 7,2.

Чтобы найти неизвестное число x, составим и решим уравнение, исходя из определения среднего арифметического:

$ \frac{7,8 + x}{2} = 7,2 $

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму чисел:

$ 7,8 + x = 7,2 \cdot 2 $

$ 7,8 + x = 14,4 $

Теперь найдем x, вычтя 7,8 из полученной суммы:

$ x = 14,4 - 7,8 $

$ x = 6,6 $

Для проверки можно найти среднее арифметическое чисел 7,8 и 6,6:

$ \frac{7,8 + 6,6}{2} = \frac{14,4}{2} = 7,2 $

Результат совпадает с условием задачи, значит, значение x найдено верно.

Ответ: 6,6

1040. Среднее арифметическое чисел 6,4 и y равно 8,5. Найдите y.

$ (6.4 + y) / 2 = 8.5 $

Среднее арифметическое — это сумма чисел, деленная на их количество. По условию задачи, среднее арифметическое двух чисел, 6,4 и y, равно 8,5. Можем составить уравнение:

$$ \frac{6,4 + y}{2} = 8,5 $$

Чтобы найти сумму чисел (6,4 + y), умножим среднее арифметическое на количество чисел (2):

$$ 6,4 + y = 8,5 \cdot 2 $$

$$ 6,4 + y = 17 $$

Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое y, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$$ y = 17 - 6,4 $$

$$ y = 10,6 $$

Проверка: найдем среднее арифметическое чисел 6,4 и 10,6.

$$ \frac{6,4 + 10,6}{2} = \frac{17}{2} = 8,5 $$

Результат совпадает с условием, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 10,6

1041. Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых в 4 раза меньше второго, равно 10. Найдите эти числа.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть меньшее из двух чисел будет $x$.

Из условия известно, что одно число в 4 раза меньше второго. Это значит, что второе число в 4 раза больше первого. Следовательно, второе число можно выразить как $4x$.

Среднее арифметическое двух чисел вычисляется как их сумма, деленная на 2. По условию, среднее арифметическое наших чисел равно 10. Составим уравнение:

$\frac{x + 4x}{2} = 10$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала упростим числитель дроби:

$\frac{5x}{2} = 10$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$5x = 10 \cdot 2$

$5x = 20$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{20}{5}$

$x = 4$

Мы нашли меньшее число, оно равно 4.

Теперь найдем второе, большее число, которое равно $4x$:

$4 \cdot 4 = 16$

Таким образом, искомые числа — это 4 и 16.

Проверим: одно число (4) действительно в 4 раза меньше другого (16), а их среднее арифметическое равно $\frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 4 и 16.

1042. Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых на 4,6 больше второго, равно 8,2. Найдите эти числа.

Обозначим одно из чисел через $x$.

По условию задачи, другое число на 4,6 больше первого. Следовательно, второе число будет равно $x + 4,6$.

Среднее арифметическое двух чисел находится по формуле: сумма чисел, деленная на их количество. В нашем случае, среднее арифметическое равно 8,2. Составим уравнение, исходя из этих данных:

$\frac{x + (x + 4,6)}{2} = 8,2$

Решим полученное уравнение:

1. Сначала упростим выражение в числителе дроби:

$\frac{2x + 4,6}{2} = 8,2$

2. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2x + 4,6 = 8,2 \cdot 2$

$2x + 4,6 = 16,4$

3. Перенесем 4,6 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 16,4 - 4,6$

$2x = 11,8$

4. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{11,8}{2}$

$x = 5,9$

Таким образом, первое (меньшее) число равно 5,9.

Теперь найдем второе (большее) число, которое на 4,6 больше первого:

$5,9 + 4,6 = 10,5$

Проверим полученные числа: их среднее арифметическое должно быть равно 8,2.

$\frac{5,9 + 10,5}{2} = \frac{16,4}{2} = 8,2$

Условие выполняется, значит числа найдены верно.

Ответ: 5,9 и 10,5.

1043. Отметьте на координатном луче числа $a$ и $b$ и их среднее арифметическое, если:

1) $a = 2, b = 6$;

2) $a = 4, b = 7$.

Как расположена точка, соответствующая среднему арифметическому чисел $a$ и $b$, относительно точек, соответствующих числам $a$ и $b$?

1) a = 2, b = 6

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, нужно сложить эти числа и результат разделить на 2. Обозначим среднее арифметическое буквой $m$.

Формула для нахождения среднего арифметического: $m = \frac{a+b}{2}$.

Подставим значения $a = 2$ и $b = 6$:
$m = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Теперь отметим числа $a=2$, $b=6$ и их среднее арифметическое $m=4$ на координатном луче.

Ответ: Среднее арифметическое чисел 2 и 6 равно 4.

2) a = 4, b = 7

Найдем среднее арифметическое для чисел $a = 4$ и $b = 7$ по той же формуле:

$m = \frac{4+7}{2} = \frac{11}{2} = 5,5$.

Отметим числа $a=4$, $b=7$ и их среднее арифметическое $m=5,5$ на координатном луче.

Ответ: Среднее арифметическое чисел 4 и 7 равно 5,5.

Как расположена точка, соответствующая среднему арифметическому чисел a и b, относительно точек, соответствующих числам a и b?

На основе выполненных заданий можно сделать вывод о расположении среднего арифметического. В обоих случаях точка, соответствующая среднему арифметическому, находится ровно посередине между точками, соответствующими исходным числам $a$ и $b$.

Это можно проверить, вычислив расстояние от среднего арифметического до каждого из чисел:

• Для первого случая: расстояние от 4 до 2 равно $4 - 2 = 2$; расстояние от 6 до 4 равно $6 - 4 = 2$. Расстояния равны.
• Для второго случая: расстояние от 5,5 до 4 равно $5,5 - 4 = 1,5$; расстояние от 7 до 5,5 равно $7 - 5,5 = 1,5$. Расстояния снова равны.

Таким образом, точка среднего арифметического является серединой отрезка, концами которого являются точки, соответствующие числам $a$ и $b$.

Ответ: Точка, соответствующая среднему арифметическому чисел $a$ и $b$, расположена ровно посередине между точками, соответствующими числам $a$ и $b$.

1044. Принимая участие в математической олимпиаде, Дима решил 10 за-дач. За каждую задачу он мог получить не более 12 баллов. За пер-вые восемь задач мальчик получил среднюю оценку 7 баллов. Сколько баллов получил Дима за каждую из оставшихся двух задач, если среднее количество баллов за одну задачу составляло 8 баллов?

Для того чтобы найти, сколько баллов Дима получил за каждую из двух оставшихся задач, выполним следующие вычисления по шагам.

1. Сначала определим общее количество баллов, которое Дима набрал за все 10 задач. Поскольку среднее количество баллов за одну задачу составляло 8, общее количество баллов равно:

$10 \times 8 = 80 \text{ баллов}$

2. Далее вычислим, сколько баллов Дима получил за первые восемь задач. Средняя оценка за эти задачи была 7 баллов, значит, их сумма составляет:

$8 \times 7 = 56 \text{ баллов}$

3. Теперь мы можем найти, сколько баллов в сумме Дима получил за две оставшиеся задачи (девятую и десятую). для этого вычтем из общей суммы баллов сумму за первые восемь задач:

$80 - 56 = 24 \text{ балла}$

4. Итак, за две последние задачи Дима в сумме получил 24 балла. По условию, за каждую задачу он мог получить не более 12 баллов. Обозначим баллы за девятую задачу как $x$, а за десятую — как $y$. Тогда получаем уравнение $x + y = 24$ при условиях $x \le 12$ и $y \le 12$.

Единственным решением, удовлетворяющим этим условиям, является $x = 12$ и $y = 12$. Если предположить, что за одну из задач Дима получил меньше 12 баллов (например, $x < 12$), то для выполнения равенства $x + y = 24$ за вторую задачу он должен был бы получить больше 12 баллов ($y > 12$), что противоречит условию задачи.

Следовательно, за каждую из двух последних задач Дима получил по 12 баллов.

Ответ: за каждую из оставшихся двух задач Дима получил 12 баллов.

1045. Автомобиль ехал 3,4 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч и 1,6 ч по грунтовой дороге. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если средняя скорость на протяжении всего пути составляла 75,6 км/ч?

Для решения задачи воспользуемся формулой средней скорости: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — все время движения.

1. Найдем общее время движения автомобиля. Для этого сложим время движения по шоссе и по грунтовой дороге:

$t_{общ} = 3,4 \text{ ч} + 1,6 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

2. Зная среднюю скорость и общее время, найдем весь путь, который проехал автомобиль:

$S_{общ} = v_{ср} \times t_{общ} = 75,6 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 378 \text{ км}$

3. Вычислим расстояние, которое автомобиль проехал по шоссе:

$S_{шоссе} = v_{шоссе} \times t_{шоссе} = 90 \text{ км/ч} \times 3,4 \text{ ч} = 306 \text{ км}$

4. Теперь найдем расстояние, которое автомобиль проехал по грунтовой дороге. Для этого из общего пути вычтем путь, пройденный по шоссе:

$S_{грунт} = S_{общ} - S_{шоссе} = 378 \text{ км} - 306 \text{ км} = 72 \text{ км}$

5. Наконец, найдем скорость автомобиля на грунтовой дороге, разделив пройденное по ней расстояние на время движения:

$v_{грунт} = \frac{S_{грунт}}{t_{грунт}} = \frac{72 \text{ км}}{1,6 \text{ ч}} = 45 \text{ км/ч}$

Ответ: 45 км/ч.

1046. Купили 2 кг конфет одного вида по 255 р. за килограмм, 4 кг конфет второго вида по 285 р. за килограмм и ещё 3 кг конфет третьего вида. Средняя цена купленных конфет составляла 260 р. за килограмм. Сколько стоил килограмм конфет третьего вида?

Для решения этой задачи нам нужно найти цену за килограмм конфет третьего вида. Обозначим эту цену как $x$ рублей.

Средняя цена всех купленных конфет вычисляется по формуле:

Средняя цена = $\frac{\text{Общая стоимость всех конфет}}{\text{Общая масса всех конфет}}$

1. Найдем общую массу купленных конфет.

Сложим массу конфет каждого вида:

$2 \text{ кг} + 4 \text{ кг} + 3 \text{ кг} = 9 \text{ кг}$

2. Выразим общую стоимость всех конфет.

Общая стоимость складывается из стоимости конфет каждого вида:

• Стоимость конфет первого вида: $2 \text{ кг} \times 255 \text{ р./кг} = 510 \text{ р.}$
• Стоимость конфет второго вида: $4 \text{ кг} \times 285 \text{ р./кг} = 1140 \text{ р.}$
• Стоимость конфет третьего вида: $3 \text{ кг} \times x \text{ р./кг} = 3x \text{ р.}$

Общая стоимость всех конфет равна: $510 + 1140 + 3x = 1650 + 3x$ рублей.

3. Составим и решим уравнение.

Мы знаем, что средняя цена составляет 260 р. за килограмм. Подставим все известные значения в формулу средней цены:

$\frac{1650 + 3x}{9} = 260$

Чтобы найти общую стоимость, умножим среднюю цену на общую массу:

$1650 + 3x = 260 \times 9$

$1650 + 3x = 2340$

Теперь найдем стоимость 3 кг конфет третьего вида:

$3x = 2340 - 1650$

$3x = 690$

Наконец, найдем цену одного килограмма конфет третьего вида:

$x = \frac{690}{3}$

$x = 230$

Таким образом, килограмм конфет третьего вида стоил 230 рублей.

Ответ: 230 рублей.

1047. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 2,1, а среднее арифметическое трёх других чисел – 2,8. Найдите среднее арифметическое этих семи чисел.

Среднее арифметическое — это сумма чисел, делённая на их количество. Чтобы найти среднее арифметическое всех семи чисел, нам нужно сначала найти их общую сумму, а затем разделить на их общее количество.

1. Найдём сумму первых четырёх чисел. Из условия известно, что их среднее арифметическое равно 2,1.
Сумма первых четырёх чисел = $2,1 \cdot 4 = 8,4$.

2. Найдём сумму трёх других чисел. Их среднее арифметическое равно 2,8.
Сумма трёх других чисел = $2,8 \cdot 3 = 8,4$.

3. Теперь найдём общую сумму всех семи чисел ($4 + 3 = 7$).
Общая сумма = $8,4 + 8,4 = 16,8$.

4. Наконец, найдём среднее арифметическое этих семи чисел, разделив их общую сумму на их количество.
Среднее арифметическое семи чисел = $\frac{16,8}{7} = 2,4$.

Ответ: 2,4