Номер 1050, страница 251 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1050. На сколько среднее арифметическое всех чётных чисел от 1 до 1 000 включительно больше, чем среднее арифметическое всех нечётных чисел от 1 до 1 000 включительно?

Для решения этой задачи нам нужно найти два значения: среднее арифметическое всех чётных чисел от 1 до 1000 и среднее арифметическое всех нечётных чисел в том же диапазоне, а затем найти их разность.

Среднее арифметическое нечётных чисел

Сначала рассмотрим все нечётные числа от 1 до 1000 включительно. Это последовательность: 1, 3, 5, ..., 999.Эта последовательность является арифметической прогрессией.Первый член прогрессии $a_1 = 1$.Последний член прогрессии $a_n = 999$.Количество нечётных чисел в диапазоне от 1 до 1000 равно $1000 / 2 = 500$.Среднее арифметическое для арифметической прогрессии равно полусумме её первого и последнего членов.Обозначим среднее арифметическое нечётных чисел как $M_{нечет}$.

$M_{нечет} = \frac{a_1 + a_n}{2} = \frac{1 + 999}{2} = \frac{1000}{2} = 500$.

Среднее арифметическое чётных чисел

Теперь рассмотрим все чётные числа от 1 до 1000 включительно. Это последовательность: 2, 4, 6, ..., 1000.Эта последовательность также является арифметической прогрессией.Первый член прогрессии $b_1 = 2$.Последний член прогрессии $b_n = 1000$.Количество чётных чисел также равно $1000 / 2 = 500$.Обозначим среднее арифметическое чётных чисел как $M_{чет}$.

$M_{чет} = \frac{b_1 + b_n}{2} = \frac{2 + 1000}{2} = \frac{1002}{2} = 501$.

Разность средних арифметических

Чтобы найти, на сколько среднее арифметическое чётных чисел больше, чем среднее арифметическое нечётных, вычтем второе из первого:

$M_{чет} - M_{нечет} = 501 - 500 = 1$.

Заметим, что этот результат можно было получить и логически. Каждое чётное число в последовательности (2, 4, ..., 1000) ровно на 1 больше соответствующего ему по порядку нечётного числа (1, 3, ..., 999). Поскольку количество чисел в обеих группах одинаково, разница между их средними арифметическими также будет равна 1.

Ответ: 1.