Страница 264 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сколько цифр записано справа от запятой в произведении чисел 2,64 и 3,72?

А) две цифры

Б) три цифры

В) четыре цифры

Г) пять цифр

Чтобы определить, сколько цифр записано справа от запятой в произведении двух десятичных дробей, необходимо сложить количество цифр, стоящих справа от запятой у каждого из множителей.

В первом множителе, числе $2,64$, две цифры записаны справа от запятой.

Во втором множителе, числе $3,72$, также две цифры записаны справа от запятой.

Общее количество цифр справа от запятой в произведении будет равно сумме количеств цифр у множителей:

$2 + 2 = 4$

Таким образом, в произведении будет четыре цифры справа от запятой.

Проверим, выполнив умножение:

$2,64 \times 3,72 = 9,8208$

В полученном числе $9,8208$ четыре цифры после запятой, что подтверждает правило.

Ответ: В) четыре цифры

2. Чему равна половина одной сотой?

А) $0,5$ Б) $0,002$ В) $0,02$ Г) $0,005$

Чтобы найти половину от одной сотой, необходимо сначала представить "одну сотую" в виде числа, а затем разделить это число на 2.

Шаг 1: Представление "одной сотой" в виде числа. "Одна сотая" — это дробь $ \frac{1}{100} $. В виде десятичной дроби это записывается как $0,01$.

Шаг 2: Вычисление половины. Найти половину числа означает разделить его на 2. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Работа с десятичными дробями. Разделим десятичную дробь $0,01$ на 2: $ 0,01 \div 2 = 0,005 $

Способ 2: Работа с обыкновенными дробями. Разделим обыкновенную дробь $ \frac{1}{100} $ на 2. Деление на 2 равносильно умножению на $ \frac{1}{2} $: $ \frac{1}{100} \div 2 = \frac{1}{100} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{200} $ Теперь переведем полученную дробь $ \frac{1}{200} $ в десятичную. Для этого можно домножить числитель и знаменатель на 5, чтобы в знаменателе получить 1000: $ \frac{1 \times 5}{200 \times 5} = \frac{5}{1000} = 0,005 $

Оба способа дают одинаковый результат $0,005$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту Г).

Ответ: Г) 0,005

3. Упростите выражение $0.2a : 1.5b$.

А) $3ab$

Б) $0.3ab$

В) $0.03ab$

Г) $30ab$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные отдельно.

Исходное выражение: $0,2a \cdot 1,5b$.

Мы можем перегруппировать множители, чтобы отдельно умножить числа и отдельно переменные:

$(0,2 \cdot 1,5) \cdot (a \cdot b)$

Сначала вычислим произведение числовых коэффициентов:

$0,2 \cdot 1,5$

Чтобы перемножить десятичные дроби, можно умножить их как целые числа, а затем в результате отделить запятой столько знаков, сколько их было в обоих множителях вместе.

$2 \cdot 15 = 30$

В числе $0,2$ один знак после запятой, и в числе $1,5$ тоже один. Всего $1+1=2$ знака. Отделяем в результате ($30$) два знака справа, получаем $0,30$, что равно $0,3$.

Таким образом, $0,2 \cdot 1,5 = 0,3$.

Теперь перемножим переменные:

$a \cdot b = ab$

Объединим результаты:

$0,3 \cdot ab = 0,3ab$

Сравнивая полученный результат $0,3ab$ с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту Б.

Ответ: Б) $0,3ab$

4. Чему равно значение выражения $48 : (1,07 + 0,53) - 1,6$?

А) 28,4 Б) 1,4 В) 27,4 Г) 1,54

Для нахождения значения выражения $48 : (1,07 + 0,53) - 1,6$ необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций. Сначала выполняются действия в скобках, затем деление и в последнюю очередь вычитание.

1. Выполним действие в скобках:
$1,07 + 0,53 = 1,6$

2. Выполним деление:
Теперь выражение выглядит как $48 : 1,6 - 1,6$. Разделим 48 на результат, полученный в первом действии:
$48 : 1,6 = 480 : 16 = 30$

3. Выполним вычитание:
Наконец, из результата деления вычтем 1,6:
$30 - 1,6 = 28,4$

Таким образом, значение выражения равно 28,4, что соответствует варианту А).
Ответ: 28,4

5. Упростите выражение $2,1c - 0,6c + 3,9c$.

A) $5,4c$ Б) $6,6c$ В) $5,8c$ Г) $5,2c$

Чтобы упростить выражение $2,1c - 0,6c + 3,9c$, нужно сложить и вычесть коэффициенты при переменной $c$, так как все слагаемые являются подобными.

Сгруппируем коэффициенты:

$(2,1 - 0,6 + 3,9)c$

Выполним действия в скобках по порядку.

1. Сначала выполним вычитание:

$2,1 - 0,6 = 1,5$

2. Затем к результату прибавим оставшееся число:

$1,5 + 3,9 = 5,4$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит как $5,4c$.

Среди предложенных вариантов ответов этот результат соответствует варианту А).

Ответ: $5,4c$

6. Чему равно значение выражения $(36 - 1,8 \cdot 2,7) : 0,9$?

А) 14

Б) 1,4

В) 3,46

Г) 34,6

Для нахождения значения выражения $(36 - 1,8 \cdot 2,7) : 0,9$ необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках (в первую очередь умножение, а затем вычитание), и только после этого — деление.

1. Первым действием выполним умножение внутри скобок:

$1,8 \cdot 2,7 = 4,86$

2. Вторым действием выполним вычитание внутри скобок:

$36 - 4,86 = 31,14$

3. Третьим и последним действием выполним деление результата, полученного в скобках, на 0,9:

$31,14 : 0,9$

Чтобы упростить деление на десятичную дробь, можно умножить и делимое, и делитель на 10. Это не изменит результат, но сделает делитель целым числом:

$31,14 : 0,9 = (31,14 \cdot 10) : (0,9 \cdot 10) = 311,4 : 9$

Выполнив деление, получаем:

$311,4 : 9 = 34,6$

Таким образом, значение исходного выражения равно 34,6. Этот результат соответствует варианту ответа Г.

Ответ: 34,6

7. В стаде было 200 животных, из них $34 \text{ \%}$ составляли овцы.

Сколько овец было в стаде?

А) 54 овцы

Б) 68 овец

В) 72 овцы

Г) 86 овец

Чтобы найти количество овец в стаде, необходимо вычислить, чему равны 34% от общего числа животных, которое составляет 200.

Для начала представим проценты в виде десятичной дроби. Для этого нужно разделить процентное число на 100:

$34\% = \frac{34}{100} = 0.34$

Теперь умножим общее количество животных на эту десятичную дробь, чтобы найти количество овец:

$200 \cdot 0.34 = 68$

Таким образом, в стаде было 68 овец. Этот результат соответствует варианту Б).

Ответ: 68 овец

8. Сплав содержит 28 % меди. Какова масса сплава, если он содержит 56 т меди?

А) 350 т

Б) 300 т

В) 250 т

Г) 200 т

Пусть $M$ - это общая масса сплава. Из условия задачи известно, что процентное содержание меди в этом сплаве составляет 28%. Также нам дана масса меди в сплаве - 56 тонн.

Для нахождения общей массы сплава можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Через десятичные дроби
Сначала переведем проценты в десятичную дробь. Для этого разделим число процентов на 100:
$28\% = 28 / 100 = 0.28$
Это означает, что масса меди составляет 0.28 от общей массы сплава. Мы можем составить уравнение:
$M \times 0.28 = 56$
Чтобы найти общую массу сплава $M$, нужно массу меди разделить на ее долю в сплаве:
$M = \frac{56}{0.28}$
Выполним вычисление:
$M = \frac{5600}{28} = 200$
Следовательно, масса сплава составляет 200 тонн.

Способ 2: С помощью пропорции
Примем общую массу сплава $M$ за 100%. По условию, масса меди в 56 тонн составляет 28% от общей массы. Составим пропорцию:
$M$ тонн - 100%
56 тонн - 28%
Из этой пропорции можно составить уравнение:
$\frac{M}{56} = \frac{100}{28}$
Теперь выразим $M$:
$M = \frac{56 \times 100}{28}$
Сократим 56 и 28 (так как $56 / 28 = 2$):
$M = 2 \times 100 = 200$
Таким образом, общая масса сплава равна 200 тонн.

Ответ: 200 т

9. Велосипедист проехал $20 \text{ км}$ со скоростью $10 \text{ км/ч}$ и $15 \text{ км}$ со скоростью $5 \text{ км/ч}$. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста.

А) $6 \text{ км/ч}$

Б) $7 \text{ км/ч}$

В) $7,5 \text{ км/ч}$

Г) $9 \text{ км/ч}$

Средняя скорость движения ($v_{ср}$) вычисляется как отношение всего пройденного пути ($S_{общ}$) ко всему времени движения ($t_{общ}$). Формула для расчета средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Вычисление общего расстояния

Общее расстояние — это сумма расстояний, пройденных на каждом из двух участков пути:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 20 \text{ км} + 15 \text{ км} = 35 \text{ км}$

2. Вычисление общего времени в пути

Сначала найдем время, затраченное на каждый участок, используя формулу $t = \frac{S}{v}$.

Время на первом участке:

$t_1 = \frac{20 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 2 \text{ часа}$

Время на втором участке:

$t_2 = \frac{15 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$

Теперь сложим время, затраченное на оба участка, чтобы найти общее время в пути:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ часов}$

3. Вычисление средней скорости

Подставим найденные значения общего расстояния и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{35 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 7 \text{ км/ч}$

Таким образом, средняя скорость движения велосипедиста составляет 7 км/ч, что соответствует варианту Б).

Ответ: 7 км/ч

10. Десять автобусных остановок расположены на прямой улице так, что расстояния между любыми соседними остановками одинаковы. Расстояние между первой и третьей остановками равно 1,2 км. Каково расстояние между первой и последней остановками?

А) 12 км

Б) 10,8 км

В) 5,4 км

Г) 6 км

Поскольку расстояния между любыми соседними остановками одинаковы, мы можем найти длину одного такого промежутка. Расстояние между первой и третьей остановками включает в себя два промежутка (от 1-й до 2-й и от 2-й до 3-й). Зная, что это расстояние равно 1,2 км, найдем длину одного промежутка:
$1,2 \text{ км} \div (3 - 1) = 1,2 \text{ км} \div 2 = 0,6 \text{ км}$.

Теперь необходимо найти расстояние между первой и последней (десятой) остановками. Всего на улице 10 остановок, следовательно, между ними есть $10 - 1 = 9$ одинаковых промежутков.

Чтобы вычислить общее расстояние, умножим количество промежутков на длину одного промежутка:
$9 \times 0,6 \text{ км} = 5,4 \text{ км}$.

Ответ: В) 5,4 км

11. На какое наименьшее натуральное число надо умножить число 3,6, чтобы произведение было натуральным числом?

А) 2

Б) 5

В) 10

Г) 20

Чтобы найти наименьшее натуральное число, на которое нужно умножить число 3,6 для получения натурального числа, сначала представим десятичную дробь 3,6 в виде обыкновенной несократимой дроби.

$3,6 = \frac{36}{10}$

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\frac{36 \div 2}{10 \div 2} = \frac{18}{5}$

Теперь задача сводится к поиску наименьшего натурального числа x, для которого произведение $\frac{18}{5} \cdot x$ будет натуральным числом. Чтобы произведение стало натуральным, необходимо, чтобы знаменатель дроби, равный 5, полностью сократился. Это возможно только в том случае, если множитель x делится на 5 без остатка.

Следовательно, нам нужно найти наименьшее натуральное число, кратное 5. Таким числом является само число 5.

Проверим этот вывод, а также другие варианты, предложенные в задаче.

А) 2
$3,6 \cdot 2 = 7,2$. Результат не является натуральным числом.

Б) 5
$3,6 \cdot 5 = 18$. Результат является натуральным числом.

В) 10
$3,6 \cdot 10 = 36$. Результат является натуральным числом, но 10 больше, чем 5, поэтому оно не является наименьшим.

Г) 20
$3,6 \cdot 20 = 72$. Результат является натуральным числом, но 20 больше, чем 5, поэтому оно не является наименьшим.

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию задачи, это 5.

Ответ: 5

12. В магазин завезли яблоки и груши, причём груши составляли $35 \%$ завезённых фруктов. Яблок было на 126 кг больше, чем груш. Сколько килограммов яблок и груш завезли в магазин?

А) 300 кг

Б) 350 кг

В) 420 кг

Г) 480 кг

Пусть $x$ – это общая масса всех фруктов (яблок и груш), завезённых в магазин, в килограммах.

Из условия известно, что груши составляют 35% от общей массы. Следовательно, масса груш равна $0.35x$ кг.

Так как в магазин завезли только яблоки и груши, то процент яблок от общей массы составляет:
$100\% - 35\% = 65\%$
Таким образом, масса яблок равна $0.65x$ кг.

В условии также сказано, что яблок было на 126 кг больше, чем груш. Это значит, что разница между массой яблок и массой груш равна 126 кг. Мы можем составить уравнение:
Масса яблок - Масса груш = 126 кг
$0.65x - 0.35x = 126$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти общую массу фруктов $x$:
$0.30x = 126$
$x = \frac{126}{0.30}$
$x = \frac{1260}{3}$
$x = 420$

Следовательно, общая масса яблок и груш, завезённых в магазин, составляет 420 кг. Этот вариант соответствует ответу В).

Ответ: В) 420 кг