Страница 254 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как называют сотую часть величины или числа?

1. Сотую часть величины или числа называют процентом.
Слово «процент» происходит от латинского выражения pro centum, что означает «на сто». Проценты используются для выражения доли чего-либо по отношению к целому, которое принимается за 100%. Обозначается процент знаком %.
Таким образом, один процент ($1\%$) — это одна сотая часть целого. Это можно записать в виде обыкновенной или десятичной дроби:
$1\% = \frac{1}{100} = 0,01$
Например, чтобы найти $1\%$ от числа 400, нужно 400 разделить на 100:
$400 \cdot \frac{1}{100} = 400 \div 100 = 4$
Следовательно, один процент от 400 равен 4.
Ответ: процент.

2. Как найти $1 \text{\%}$ величины?

2. Как найти 1 % величины?

По определению, один процент (обозначается знаком %) — это одна сотая часть ($ \frac{1}{100} $) от какой-либо величины или числа. Следовательно, чтобы найти 1% от величины, нужно найти её сотую часть.

Существует два равнозначных способа это сделать:

1. Разделить величину на 100.
Это самый простой и интуитивно понятный способ. Если вся величина составляет 100%, то 1% — это в 100 раз меньше.
Пример: Найти 1% от числа 500.
$500 : 100 = 5$

2. Умножить величину на 0,01.
Этот способ основан на переводе процента в десятичную дробь. Так как $1\% = \frac{1}{100} = 0.01$, для нахождения 1% от величины можно умножить её на 0,01.
Пример: Найти 1% от числа 500.
$500 \cdot 0.01 = 5$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Чтобы найти 1% от величины, нужно эту величину разделить на 100.

3. Сколько процентов составляет вся величина?

Понятие "процент" (от лат. pro centum — "на сто") используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Вся величина, или целое, принимается за основу, с которой сравниваются ее части.

По определению, один процент ($1\%$) — это одна сотая часть ($ \frac{1}{100} $) от целого. Следовательно, чтобы выразить всю величину в процентах, нужно определить, сколько сотых долей она содержит.

Если вся величина представляет собой единое целое (математически это можно выразить числом 1), то для перевода этого значения в проценты, его нужно умножить на 100.

Расчет выглядит следующим образом:
$1 \times 100\% = 100\%$

Таким образом, вся величина, независимо от того, что она из себя представляет (будь то полное ведро воды, вся сумма денег или весь класс учеников), всегда составляет 100 процентов.

Ответ: 100%.

4. Что нужно сделать, чтобы проценты представить десятичной дробью или натуральным числом?

Процент — это одна сотая часть числа. Один процент ($1\%$) равен одной сотой части ($ \frac{1}{100} $) или $0.01$.

Чтобы представить проценты в виде десятичной дроби или натурального числа, необходимо число, стоящее перед знаком процента, разделить на 100. Это равносильно переносу запятой в этом числе на два знака влево.

Пример 1: Преобразование 58% в десятичную дробь.
Нужно разделить 58 на 100.
$58\% = 58 \div 100 = 0.58$

Пример 2: Преобразование 7% в десятичную дробь.
Делим 7 на 100. Для переноса запятой добавляем слева ноль.
$7\% = 7 \div 100 = 0.07$

Пример 3: Преобразование 250% в десятичную дробь.
Число процентов может быть больше 100. Правило остается тем же.
$250\% = 250 \div 100 = 2.5$

Пример 4: Преобразование 400% в натуральное число.
Если число процентов кратно 100, в результате деления получится натуральное число.
$400\% = 400 \div 100 = 4$

Ответ: Чтобы проценты представить десятичной дробью или натуральным числом, нужно убрать знак процента (%) и разделить число на 100.

5. Что нужно сделать, чтобы представить десятичную дробь или натуральное число в процентах?

Для того чтобы представить десятичную дробь или натуральное число в виде процентов, необходимо выполнить одно простое действие: умножить это число на 100 и добавить к результату знак процента (%).

Это правило основано на определении процента. Один процент ($1\%$) — это одна сотая часть числа, то есть $1\% = \frac{1}{100} = 0.01$. Когда мы умножаем число на 100, мы фактически подсчитываем, сколько сотых долей оно в себе содержит.

Представление десятичной дроби в процентах

Пример 1: Перевести десятичную дробь 0,84 в проценты.

Решение: $0.84 \cdot 100\% = 84\%$.

Пример 2: Перевести десятичную дробь 1,5 в проценты.

Решение: $1.5 \cdot 100\% = 150\%$.

Представление натурального числа в процентах

Пример 1: Представить число 1 (единицу, обозначающую целое) в процентах.

Решение: $1 \cdot 100\% = 100\%$.

Пример 2: Представить натуральное число 6 в процентах.

Решение: $6 \cdot 100\% = 600\%$.

Ответ: Чтобы представить десятичную дробь или натуральное число в процентах, нужно умножить данное число на 100 и приписать к полученному значению знак «%».

1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

$0,7 \xrightarrow{\div} 1,47 \xrightarrow{+ 0,13} \underline{\hspace{2em}} \xrightarrow{\div} \underline{\hspace{2em}} \xrightarrow{\cdot 0,03} 0,96$

Чтобы найти все недостающие числа в цепочке вычислений, необходимо выполнить действия по порядку, а для нахождения некоторых чисел — выполнить обратные операции, двигаясь с конца цепочки.

1. Найдём число, на которое умножили 0,7.

Первый шаг в цепочке, результат которого равен 1,47, — это умножение числа 0,7 на неизвестное число. Обозначим это неизвестное число как $x$.

$0,7 \cdot x = 1,47$

Чтобы найти $x$, разделим 1,47 на 0,7:

$x = \frac{1,47}{0,7} = \frac{14,7}{7} = 2,1$

Ответ: 2,1.

2. Найдём число в первом пустом круге.

Следующий шаг — это сложение числа 1,47 с числом 0,13. Результат этого сложения и будет числом в первом пустом круге. Обозначим его как $y$.

$y = 1,47 + 0,13 = 1,6$

Ответ: 1,6.

3. Найдём число во втором пустом круге.

Для нахождения этого числа удобнее двигаться с конца цепочки. Мы видим, что неизвестное число из второго круга (обозначим его как $z$) умножили на 0,03 и получили 0,96.

$z \cdot 0,03 = 0,96$

Чтобы найти $z$, выполним обратное действие — деление:

$z = \frac{0,96}{0,03} = \frac{96}{3} = 32$

Ответ: 32.

4. Найдём число, на которое умножили число из первого круга.

Теперь мы знаем число в первом круге (1,6) и во втором (32). Найдём число (обозначим его как $k$), на которое умножили 1,6, чтобы получить 32.

$1,6 \cdot k = 32$

Чтобы найти $k$, разделим 32 на 1,6:

$k = \frac{32}{1,6} = \frac{320}{16} = 20$

Ответ: 20.

Таким образом, все пропущенные числа найдены. Полная цепочка вычислений выглядит так:

$0,7 \xrightarrow{\cdot \ 2,1} 1,47 \xrightarrow{+ \ 0,13} 1,6 \xrightarrow{\cdot \ 20} 32 \xrightarrow{\cdot \ 0,03} 0,96$

2. Найдите $\frac{1}{100}$ числа:

1) 300;

2) 70;

3) 9;

4) 54,2;

5) 6,39.

Чтобы найти $\frac{1}{100}$ от числа, необходимо это число умножить на $\frac{1}{100}$, что равносильно делению числа на 100. Деление на 100 можно выполнить, передвинув десятичную запятую на два знака влево.

1) Найдём $\frac{1}{100}$ от числа 300:

$300 \cdot \frac{1}{100} = \frac{300}{100} = 3$

Ответ: 3

2) Найдём $\frac{1}{100}$ от числа 70:

$70 \cdot \frac{1}{100} = \frac{70}{100} = 0,7$

Ответ: 0,7

3) Найдём $\frac{1}{100}$ от числа 9:

$9 \cdot \frac{1}{100} = \frac{9}{100} = 0,09$

Ответ: 0,09

4) Найдём $\frac{1}{100}$ от числа 54,2:

$54,2 \cdot \frac{1}{100} = \frac{54,2}{100} = 0,542$

Ответ: 0,542

5) Найдём $\frac{1}{100}$ от числа 6,39:

$6,39 \cdot \frac{1}{100} = \frac{6,39}{100} = 0,0639$

Ответ: 0,0639

3. В саду росло 400 деревьев, из которых $\frac{17}{100}$ составляли вишни.

Сколько вишнёвых деревьев росло в саду?

Чтобы найти, сколько вишнёвых деревьев росло в саду, необходимо общее количество деревьев умножить на ту часть, которую составляют вишни.

Всего деревьев в саду — 400.
Доля вишен составляет $\frac{17}{100}$ от общего числа деревьев.

Выполним вычисление, умножив общее количество деревьев на дробь:
$400 \cdot \frac{17}{100} = \frac{400 \cdot 17}{100}$

Сократим число 400 в числителе и 100 в знаменателе на 100:
$\frac{4 \cdot 100 \cdot 17}{100} = 4 \cdot 17 = 68$

Таким образом, в саду росло 68 вишнёвых деревьев.
Ответ: 68

4. В школе учатся 800 учеников, из которых 0,14 имеют по математике годовую оценку 5 баллов. Сколько учеников имеют пятёрку по математике?

Чтобы найти количество учеников, имеющих годовую оценку «5» по математике, необходимо общее количество учеников в школе умножить на долю тех, кто получил эту оценку.
Общее количество учеников составляет 800.
Доля учеников с оценкой «5» равна 0,14.
Выполним умножение, чтобы найти искомое количество учеников:
$800 \cdot 0,14 = 112$
Следовательно, 112 учеников имеют пятерку по математике.
Ответ: 112.

5. Чему равна сумма двух чисел, если она больше одного из них на 3,8, а другого — на 6,4?

Обозначим два искомых числа как $a$ и $b$, а их сумму как $S$.

По определению суммы, мы имеем равенство: $S = a + b$.

Согласно условию задачи, сумма больше одного из чисел на 3,8. Допустим, это число $a$. Тогда можно записать уравнение: $S = a + 3,8$.

Также по условию, сумма больше другого числа, $b$, на 6,4. Это можно записать как: $S = b + 6,4$.

Теперь мы можем найти значения $a$ и $b$. Если $S = a + b$ и $S = a + 3,8$, то можно приравнять правые части этих выражений:

$a + b = a + 3,8$

Вычтем из обеих частей уравнения $a$ и получим значение $b$: $b = 3,8$.

Аналогично, если $S = a + b$ и $S = b + 6,4$, то:

$a + b = b + 6,4$

Вычтем из обеих частей $b$ и получим значение $a$: $a = 6,4$.

Таким образом, мы нашли оба числа: одно равно 6,4, а другое – 3,8.

Теперь мы можем найти их сумму, сложив эти числа:

$S = 6,4 + 3,8 = 10,2$

Выполним проверку: сумма 10,2 действительно больше 6,4 на 3,8 ($10,2 - 6,4 = 3,8$) и больше 3,8 на 6,4 ($10,2 - 3,8 = 6,4$). Условия задачи выполнены.

Ответ: 10,2

6. Чему равно уменьшаемое, если оно больше вычитаемого на 1,9, а разности — на 2,3?

Для решения задачи обозначим уменьшаемое через $x$, вычитаемое — через $y$, а разность — через $z$.Основное равенство, связывающее эти величины, выглядит так:

$x - y = z$

Проанализируем условия, данные в задаче:

1. Уменьшаемое больше вычитаемого на 1,9. Это означает, что если из уменьшаемого вычесть вычитаемое, получится 1,9. Запишем это в виде уравнения:

$x - y = 1{,}9$

Сравнивая это уравнение с основным равенством ($x - y = z$), мы можем сделать вывод, что разность $z$ равна 1,9:

$z = 1{,}9$

2. Уменьшаемое больше разности на 2,3. Это можно записать как следующее уравнение:

$x = z + 2{,}3$

Теперь у нас есть значение разности ($z = 1{,}9$), и мы можем подставить его во второе уравнение, чтобы найти уменьшаемое $x$:

$x = 1{,}9 + 2{,}3$

$x = 4{,}2$

Таким образом, мы нашли искомое уменьшаемое.

Ответ: 4,2

1056. Найдите:

1) $1\%$ от числа 800;

2) $1\%$ от числа 4;

3) $12\%$ от числа 45;

4) $15\%$ от числа 60;

5) $84\%$ от числа 140;

6) $120\%$ от числа 50.

1) 1 % от числа 800

Чтобы найти процент от числа, нужно представить процент в виде десятичной дроби и умножить на это число. Один процент (1 %) — это одна сотая часть числа.

Представим 1 % в виде дроби: $1 \% = \frac{1}{100} = 0,01$.

Теперь умножим число 800 на эту дробь:

$800 \cdot 0,01 = 8$

Ответ: 8

2) 1 % от числа 4

Аналогично предыдущему пункту, находим одну сотую часть от числа 4.

$1 \% = 0,01$

Вычисляем:

$4 \cdot 0,01 = 0,04$

Ответ: 0,04

3) 12 % от числа 45

Представим 12 % в виде десятичной дроби:

$12 \% = \frac{12}{100} = 0,12$

Теперь умножим число 45 на 0,12:

$45 \cdot 0,12 = 5,4$

Другой способ — умножить число на процент и разделить на 100:

$\frac{45 \cdot 12}{100} = \frac{540}{100} = 5,4$

Ответ: 5,4

4) 15 % от числа 60

Представим 15 % в виде десятичной дроби:

$15 \% = \frac{15}{100} = 0,15$

Умножим число 60 на 0,15:

$60 \cdot 0,15 = 9$

Или через пропорцию:

$\frac{60 \cdot 15}{100} = \frac{900}{100} = 9$

Ответ: 9

5) 84 % от числа 140

Представим 84 % в виде десятичной дроби:

$84 \% = \frac{84}{100} = 0,84$

Умножим число 140 на 0,84:

$140 \cdot 0,84 = 117,6$

Или так:

$\frac{140 \cdot 84}{100} = \frac{11760}{100} = 117,6$

Ответ: 117,6

6) 120 % от числа 50

Представим 120 % в виде десятичной дроби. Так как процент больше 100, результат будет больше исходного числа.

$120 \% = \frac{120}{100} = 1,2$

Умножим число 50 на 1,2:

$50 \cdot 1,2 = 60$

Или так:

$\frac{50 \cdot 120}{100} = \frac{6000}{100} = 60$

Ответ: 60