Страница 247 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1027. Если в некоторой десятичной дроби перенести запятую вправо через одну цифру, то она увеличится на 62,01. Найдите эту дробь.

Пусть искомая десятичная дробь равна $x$.

Перенос запятой вправо на одну цифру означает умножение числа на 10. Таким образом, новое число будет равно $10x$.

Согласно условию задачи, новое число больше исходного на 62,01. Это можно записать в виде уравнения:

$10x = x + 62,01$

Решим это уравнение:

$10x - x = 62,01$

$9x = 62,01$

$x = \frac{62,01}{9}$

$x = 6,89$

Проверим полученный результат. Исходная дробь – 6,89. После переноса запятой вправо на одну цифру получаем 68,9. Разница между новым и старым числом составляет:

$68,9 - 6,89 = 62,01$

Результат совпадает с условием задачи, значит, дробь найдена верно.

Ответ: 6,89

1028. Моторная лодка за 3,5 ч проплыла 43,4 км по течению реки и за 4,5 ч проплыла 39,6 км против течения. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения.

Для решения задачи введем переменные:
Пусть $v_с$ (км/ч) — собственная скорость моторной лодки.
Пусть $v_т$ (км/ч) — скорость течения реки.

Когда лодка движется по течению, ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч.} = v_с + v_т$.
Когда лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против~теч.} = v_с - v_т$.

1. Найдем скорость лодки по течению реки.
Лодка прошла расстояние 43,4 км за 3,5 часа. Чтобы найти скорость, нужно разделить расстояние на время:
$v_{по~теч.} = \frac{43,4}{3,5} = \frac{434}{35} = 12,4$ км/ч.
Таким образом, мы получаем первое уравнение: $v_с + v_т = 12,4$.

2. Найдем скорость лодки против течения реки.
Лодка прошла расстояние 39,6 км за 4,5 часа. Найдем скорость:
$v_{против~теч.} = \frac{39,6}{4,5} = \frac{396}{45} = 8,8$ км/ч.
Таким образом, мы получаем второе уравнение: $v_с - v_т = 8,8$.

3. Решим систему уравнений.
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} v_с + v_т = 12,4 \\ v_с - v_т = 8,8 \end{cases}$
Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти собственную скорость лодки:
$(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 12,4 + 8,8$
$2v_с = 21,2$
$v_с = \frac{21,2}{2}$
$v_с = 10,6$ (км/ч).
Теперь, зная собственную скорость лодки, подставим ее значение в первое уравнение, чтобы найти скорость течения:
$10,6 + v_т = 12,4$
$v_т = 12,4 - 10,6$
$v_т = 1,8$ (км/ч).

Ответ: собственная скорость лодки равна 10,6 км/ч, а скорость течения — 1,8 км/ч.

1029. Луч $OC$ делит развёрнутый угол $AOB$ на два угла так, что угол $AOC$ на $50^\circ$ больше угла $BOC$. Найдите градусные меры углов $AOC$ и $BOC$.

По условию, угол AOB является развёрнутым, следовательно, его градусная мера составляет $180^\circ$. Луч OC делит угол AOB на два смежных угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$

Пусть градусная мера угла BOC равна $x$. По условию, угол AOC на $50^\circ$ больше угла BOC, значит, его градусная мера равна $(x + 50^\circ)$.

Составим уравнение, исходя из свойства смежных углов:

$(x + 50) + x = 180$

Решим полученное уравнение:

$2x + 50 = 180$

$2x = 180 - 50$

$2x = 130$

$x = 130 / 2$

$x = 65$

Таким образом, градусная мера угла BOC равна $65^\circ$.

$\angle BOC = 65^\circ$

Теперь найдём градусную меру угла AOC:

$\angle AOC = x + 50^\circ = 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ$

Проверим полученные результаты: $115^\circ + 65^\circ = 180^\circ$, и разница между углами составляет $115^\circ - 65^\circ = 50^\circ$, что соответствует условию задачи.

Ответ: $\angle AOC = 115^\circ$, $\angle BOC = 65^\circ$.

1030.Луч $OC$ делит прямой угол $AOB$ на два угла так, что угол $AOC$ в 4 раза меньше угла $BOC$. Найдите градусные меры углов $AOC$ и $BOC$.

По условию задачи, угол $AOB$ является прямым, следовательно, его градусная мера равна $90^{\circ}$.

$\angle AOB = 90^{\circ}$

Луч $OC$ делит угол $AOB$ на два угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Сумма этих углов равна углу $AOB$:

$\angle AOC + \angle BOC = \angle AOB = 90^{\circ}$

Также из условия известно, что угол $AOC$ в 4 раза меньше угла $BOC$. Это можно записать в виде соотношения:

$\angle BOC = 4 \cdot \angle AOC$

Пусть градусная мера угла $AOC$ равна $x$. Тогда $\angle AOC = x$.

Исходя из соотношения, градусная мера угла $BOC$ будет равна $4x$. Тогда $\angle BOC = 4x$.

Подставим эти значения в уравнение для суммы углов:

$x + 4x = 90^{\circ}$

Решим полученное уравнение:

$5x = 90^{\circ}$

$x = \frac{90^{\circ}}{5}$

$x = 18^{\circ}$

Таким образом, мы нашли градусную меру угла $AOC$:

$\angle AOC = x = 18^{\circ}$

Теперь найдем градусную меру угла $BOC$:

$\angle BOC = 4x = 4 \cdot 18^{\circ} = 72^{\circ}$

Проверим результат: $\angle AOC + \angle BOC = 18^{\circ} + 72^{\circ} = 90^{\circ}$, что соответствует условию задачи.

Ответ: $\angle AOC = 18^{\circ}$, $\angle BOC = 72^{\circ}$.

1031. Составьте выражение для вычисления площади закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 211.

Рис. 211

а
$ab - cd$

б
$ab - ac + cd$

а) Закрашенная фигура представляет собой большой прямоугольник, из которого вырезан малый прямоугольник. Чтобы найти её площадь, необходимо из площади большого прямоугольника вычесть площадь малого прямоугольника.
Площадь большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле:
$S_{1} = a \cdot b$
Площадь малого (незакрашенного) прямоугольника со сторонами $c$ и $d$ вычисляется по формуле:
$S_{2} = c \cdot d$
Площадь закрашенной фигуры $S$ равна разности площадей большого и малого прямоугольников:
$S = S_{1} - S_{2} = ab - cd$

Ответ: $ab - cd$

б) Площадь закрашенной фигуры можно вычислить несколькими способами. Наиболее простой — представить фигуру как большой прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, из которого в правом верхнем углу вырезан маленький прямоугольник.
Площадь большого прямоугольника, который бы полностью охватывал фигуру, равна:
$S_{большого} = a \cdot b$
Размеры вырезанного прямоугольника: его ширина равна $c$, а высота равна разности высот левой и правой сторон фигуры, то есть $(a - d)$.
Площадь вырезанного прямоугольника равна:
$S_{вырезанного} = c \cdot (a-d)$
Площадь закрашенной фигуры $S$ равна разности площади большого прямоугольника и площади вырезанного прямоугольника:
$S = S_{большого} - S_{вырезанного} = ab - c(a-d)$

Ответ: $ab - c(a-d)$

1032. Семь карандашей стоят дороже восьми тетрадей. Что дороже: восемь карандашей или девять тетрадей?

Обозначим цену одного карандаша как $K$, а цену одной тетради — как $T$.

Согласно условию задачи, семь карандашей стоят дороже восьми тетрадей. Мы можем записать это утверждение в виде математического неравенства:

$7K > 8T$

Нам необходимо сравнить стоимость восьми карандашей ($8K$) и девяти тетрадей ($9T$). Для этого мы преобразуем исходное неравенство, чтобы можно было провести сравнение.

Умножим обе части неравенства на 8, чтобы получить стоимость 56 карандашей:

$8 \times (7K) > 8 \times (8T)$

$56K > 64T$

Из этого неравенства следует, что 56 карандашей стоят дороже 64 тетрадей.

Теперь нам нужно сравнить $8K$ и $9T$. Давайте приведем их к общему множителю, чтобы можно было использовать полученное выше неравенство. Умножим обе сравниваемые величины на 7:

Стоимость 56 карандашей: $7 \times (8K) = 56K$

Стоимость 63 тетрадей: $7 \times (9T) = 63T$

Теперь сравним стоимость 56 карандашей ($56K$) и 63 тетрадей ($63T$).

Мы уже знаем, что $56K > 64T$.

Поскольку цена тетради является положительной величиной, очевидно, что 64 тетради стоят дороже, чем 63 тетради:

$64T > 63T$

Теперь мы можем составить цепочку неравенств:

$56K > 64T$ и $64T > 63T$

Из этого следует, что:

$56K > 63T$

Подставим обратно наши выражения:

$7 \times (8K) > 7 \times (9T)$

Разделив обе части неравенства на 7, получаем окончательный результат:

$8K > 9T$

Это означает, что восемь карандашей стоят дороже девяти тетрадей.

Ответ: восемь карандашей дороже, чем девять тетрадей.