Страница 245 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1008. Из села Уютное со скоростью $9,4 \text{ км/ч}$ выехал велосипедист. Когда он отъехал от Уютного на $1,26 \text{ км}$, следом выехал второй велосипедист со скоростью $11,2 \text{ км/ч}$. За какое время второй велосипедист догонит первого?

Для решения этой задачи используется понятие "скорость сближения". Когда один объект догоняет другой, скорость их сближения равна разности их скоростей.

1. Найдем скорость сближения.

Скорость первого велосипедиста $v_1 = 9,4$ км/ч.

Скорость второго велосипедиста $v_2 = 11,2$ км/ч.

Скорость, с которой второй велосипедист догоняет первого (скорость сближения $v_{сбл}$), равна:

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 11,2 - 9,4 = 1,8$ км/ч.

Это значит, что каждый час расстояние между велосипедистами сокращается на 1,8 км.

2. Найдем время, за которое второй велосипедист догонит первого.

На момент старта второго велосипедиста, расстояние между ними было $S = 1,26$ км. Чтобы найти время $t$, необходимо разделить это расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}}$

Подставим известные значения:

$t = \frac{1,26}{1,8}$

Выполним деление:

$t = 0,7$ ч.

При желании можно перевести это время в минуты: $0,7 \cdot 60 = 42$ минуты.

Ответ: 0,7 ч.

1009. Мыши увидели кота Леопольда на расстоянии 30,4 м и бросились в погоню. Через сколько минут мыши догонят кота, если Леопольд убегает со скоростью 298,8 м/мин, а мыши догоняют его со скоростью 302 м/мин?

$S = 30,4$ м

$V_1 = 302$ м/мин

$V_2 = 298,8$ м/мин

$V_{\text{сближения}} = V_1 - V_2 = 302 - 298,8 = 3,2$ м/мин

$t = S / V_{\text{сближения}} = 30,4 / 3,2 = 9,5$ мин

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти время, через которое мыши догонят кота, необходимо найти скорость сближения, а затем разделить на нее первоначальное расстояние между ними.

1. Найдём скорость сближения.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) — это разность скорости догоняющего (мышей) и скорости убегающего (кота), так как они движутся в одном направлении.

$v_{сбл} = v_{мышей} - v_{кота}$

$v_{сбл} = 302 \text{ м/мин} - 298,8 \text{ м/мин} = 3,2 \text{ м/мин}$

Таким образом, каждую минуту мыши приближаются к коту на 3,2 метра.

2. Найдём время, через которое мыши догонят кота.

Время ($t$) можно найти, разделив начальное расстояние ($S$) на скорость сближения ($v_{сбл}$).

$t = \frac{S}{v_{сбл}}$

$t = \frac{30,4 \text{ м}}{3,2 \text{ м/мин}} = \frac{304}{32} = 9,5 \text{ мин}$

Ответ: мыши догонят кота через 9,5 минут.

1010. Моторная лодка проплыла 28,64 км по течению реки и 52,16 км против течения. Сколько времени плыла лодка, если её собственная скорость равна 34.2 $ \text{км/ч} $, а скорость течения — 1.6 $ \text{км/ч} $?

Для решения задачи необходимо найти время, затраченное на каждый участок пути (по течению и против течения), а затем сложить эти значения.

1. Найдем скорость моторной лодки по течению реки.
Для этого к собственной скорости лодки прибавим скорость течения реки:
$V_{по\ течению} = V_{собственная} + V_{течения} = 34.2 + 1.6 = 35.8$ км/ч.

2. Найдем время, которое лодка плыла по течению.
Для этого разделим расстояние, пройденное по течению, на скорость по течению:
$t_{по\ течению} = S_{по\ течению} / V_{по\ течению} = 28.64 / 35.8 = 0.8$ ч.

3. Найдем скорость моторной лодки против течения реки.
Для этого из собственной скорости лодки вычтем скорость течения реки:
$V_{против\ течения} = V_{собственная} - V_{течения} = 34.2 - 1.6 = 32.6$ км/ч.

4. Найдем время, которое лодка плыла против течения.
Для этого разделим расстояние, пройденное против течения, на скорость против течения:
$t_{против\ течения} = S_{против\ течения} / V_{против\ течения} = 52.16 / 32.6 = 1.6$ ч.

5. Найдем общее время, которое плыла лодка.
Для этого сложим время движения по течению и время движения против течения:
$t_{общее} = t_{по\ течению} + t_{против\ течения} = 0.8 + 1.6 = 2.4$ ч.
Ответ: 2,4 часа.

1011. Катер прошёл 54,9 км по течению реки и 60,49 км против течения. На сколько минут дольше шёл катер против течения, чем по течению, если скорость катера в стоячей воде равна 28,4 км/ч, а скорость течения — 2,1 км/ч?

Для того чтобы найти, на сколько минут дольше катер шёл против течения, чем по течению, необходимо последовательно выполнить следующие вычисления.

1. Вычисление времени движения по течению реки

Сначала определим скорость катера при движении по течению. Она равна сумме собственной скорости катера и скорости течения реки:

$v_{по\ течению} = v_{собственная} + v_{течения} = 28,4\ км/ч + 2,1\ км/ч = 30,5\ км/ч$.

Теперь, зная расстояние и скорость, найдем время, которое катер затратил на путь по течению:

$t_{по\ течению} = \frac{S_{по\ течению}}{v_{по\ течению}} = \frac{54,9\ км}{30,5\ км/ч} = 1,8\ часа$.

2. Вычисление времени движения против течения реки

Далее определим скорость катера при движении против течения. Она равна разности собственной скорости катера и скорости течения реки:

$v_{против\ течения} = v_{собственная} - v_{течения} = 28,4\ км/ч - 2,1\ км/ч = 26,3\ км/ч$.

Найдем время, которое катер затратил на путь против течения:

$t_{против\ течения} = \frac{S_{против\ течения}}{v_{против\ течения}} = \frac{60,49\ км}{26,3\ км/ч} = 2,3\ часа$.

3. Нахождение разницы во времени и перевод в минуты

Чтобы узнать, на сколько дольше катер шёл против течения, найдем разницу между временем движения против течения и временем движения по течению:

$\Delta t = t_{против\ течения} - t_{по\ течению} = 2,3\ ч - 1,8\ ч = 0,5\ часа$.

Так как в вопросе требуется указать разницу в минутах, переведем полученное значение из часов в минуты, зная, что в 1 часе 60 минут:

$0,5\ ч \cdot 60\ мин/ч = 30\ минут$.

Ответ: на 30 минут.

1012. На три участка поля площадью $8,4 \text{ га}$, $6,8 \text{ га}$ и $5,2 \text{ га}$ было завезено удобрение: на первый — навоз, на второй — торф, а на третий — смесь навоза и торфа (в одинаковом количестве на $1 \text{ га}$). Урожай ржи с этих участков соответственно составил: $63 \text{ ц}$, $61,2 \text{ ц}$ и $57,2 \text{ ц}$. Какое удобрение лучше влияет на урожайность ржи?

Для того чтобы определить, какое удобрение наиболее эффективно, нужно рассчитать урожайность ржи на каждом из трёх участков. Урожайность — это количество продукции, собранное с единицы площади (в данном случае, с 1 гектара). Она вычисляется путем деления общего урожая на площадь участка.

1. Урожайность на первом участке (удобрение - навоз)
Площадь участка составляет $8,4$ га, а собранный урожай — $63$ ц.
Рассчитаем урожайность: $У_1 = \frac{63\ ц}{8,4\ га} = 7,5\ ц/га$

2. Урожайность на втором участке (удобрение - торф)
Площадь участка составляет $6,8$ га, а собранный урожай — $61,2$ ц.
Рассчитаем урожайность: $У_2 = \frac{61,2\ ц}{6,8\ га} = 9\ ц/га$

3. Урожайность на третьем участке (удобрение - смесь навоза и торфа)
Площадь участка составляет $5,2$ га, а собранный урожай — $57,2$ ц.
Рассчитаем урожайность: $У_3 = \frac{57,2\ ц}{5,2\ га} = 11\ ц/га$

Сравнение результатов и вывод
Сравним полученные показатели урожайности для каждого вида удобрения:
- Навоз: $7,5$ ц/га
- Торф: $9$ ц/га
- Смесь навоза и торфа: $11$ ц/га
Поскольку $11 > 9 > 7,5$, самая высокая урожайность была достигнута на участке, где использовалась смесь навоза и торфа.

Ответ: лучше всего на урожайность ржи влияет смесь навоза и торфа.

1013.На двух участках площадью по 5,4 га каждый вырастили 30,24 ц льна и 49,68 ц ячменя, не внося удобрений. На двух других участках площадью по 7,5 га каждый вырастили 39,75 ц льна и 170,25 ц ячменя, но уже с использованием удобрений. Сравните урожайность льна и ячменя, выращенных с удобрениями и без них.

Чтобы сравнить урожайность, необходимо для каждого случая рассчитать массу урожая, собранную с 1 гектара. Урожайность (в ц/га) вычисляется как отношение общего сбора (в центнерах) к площади (в гектарах).

На участке площадью 5,4 га вырастили 30,24 ц льна. Урожайность равна:

$30,24 \div 5,4 = 5,6$ (ц/га).

Ответ: урожайность льна без удобрений составляет 5,6 ц/га.

На участке площадью 5,4 га вырастили 49,68 ц ячменя. Урожайность равна:

$49,68 \div 5,4 = 9,2$ (ц/га).

Ответ: урожайность ячменя без удобрений составляет 9,2 ц/га.

На участке площадью 7,5 га вырастили 39,75 ц льна. Урожайность равна:

$39,75 \div 7,5 = 5,3$ (ц/га).

Ответ: урожайность льна с удобрениями составляет 5,3 ц/га.

На участке площадью 7,5 га вырастили 170,25 ц ячменя. Урожайность равна:

$170,25 \div 7,5 = 22,7$ (ц/га).

Ответ: урожайность ячменя с удобрениями составляет 22,7 ц/га.

Сравним полученные данные по каждой культуре:

Лён: урожайность без удобрений (5,6 ц/га) оказалась выше, чем с удобрениями (5,3 ц/га), так как $5,6 > 5,3$.

Ячмень: урожайность с удобрениями (22,7 ц/га) оказалась значительно выше, чем без удобрений (9,2 ц/га), так как $22,7 > 9,2$.

Ответ: Урожайность льна, выращенного без удобрений, выше (5,6 ц/га против 5,3 ц/га), а урожайность ячменя, выращенного с удобрениями, значительно выше (22,7 ц/га против 9,2 ц/га).