Страница 244 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

998. Выполните действия:

1) $(39 - 5,8 \cdot 1,2) \div (42,4 - 38,4 \div 16);$

2) $(57,12 \div 1,4 + 4,324 \div 0,46) \cdot 1,5 - 28,16.$

1) $(39 - 5,8 \cdot 1,2) : (42,4 - 38,4 : 16)$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках (умножение и деление имеют приоритет над вычитанием), а затем — деление между результатами скобок.

1. Вычислим значение в первой скобке. Сначала выполним умножение: $5.8 \cdot 1.2 = 6.96$. Затем выполним вычитание: $39 - 6.96 = 32.04$.

2. Вычислим значение во второй скобке. Сначала выполним деление: $38.4 : 16 = 2.4$. Затем выполним вычитание: $42.4 - 2.4 = 40$.

3. Теперь разделим результат первой скобки на результат второй: $32.04 : 40 = 0.801$.

Ответ: $0.801$.

2) $(57,12 : 1,4 + 4,324 : 0,46) \cdot 1,5 - 28,16$

Решаем пример по действиям: сначала действия в скобках (деление, затем сложение), потом умножение за скобками, и в конце вычитание.

1. Выполним действия в скобках. Сначала выполним деления: $57.12 : 1.4 = 40.8$ и $4.324 : 0.46 = 9.4$.

2. Теперь сложим полученные результаты: $40.8 + 9.4 = 50.2$.

3. Умножим результат из скобок на $1.5$: $50.2 \cdot 1.5 = 75.3$.

4. В завершение выполним вычитание: $75.3 - 28.16 = 47.14$.

Ответ: $47.14$.

999. Выполните действия:

1) $(14,6 \cdot 2,8 - 4,94) \div (57,6 \div 18 + 2,8);$

2) $(55,08 \div 1,8 - 4,056 \div 0,52) \cdot 6,5 - 93,78.$

1) $(14,6 \cdot 2,8 - 4,94) : (57,6 : 18 + 2,8)$

Решим данный пример по действиям, соблюдая их правильный порядок: сначала действия в скобках, затем деление.

1. Сначала выполним умножение в первой скобке:
$14,6 \cdot 2,8 = 40,88$

2. Теперь выполним вычитание в первой скобке:
$40,88 - 4,94 = 35,94$

3. Далее выполним деление во второй скобке:
$57,6 : 18 = 3,2$

4. Затем выполним сложение во второй скобке:
$3,2 + 2,8 = 6$

5. Наконец, разделим результат первой скобки на результат второй:
$35,94 : 6 = 5,99$

Ответ: 5,99

2) $(55,08 : 1,8 - 4,056 : 0,52) \cdot 6,5 - 93,78$

Решим данный пример по действиям, соблюдая их правильный порядок: сначала действия в скобках (деление слева направо, затем вычитание), после этого умножение и в конце вычитание.

1. Выполним первое деление в скобке:
$55,08 : 1,8 = 550,8 : 18 = 30,6$

2. Выполним второе деление в скобке:
$4,056 : 0,52 = 405,6 : 52 = 7,8$

3. Выполним вычитание в скобке:
$30,6 - 7,8 = 22,8$

4. Умножим результат, полученный в скобках, на 6,5:
$22,8 \cdot 6,5 = 148,2$

5. Выполним последнее действие - вычитание:
$148,2 - 93,78 = 54,42$

Ответ: 54,42

1000. Найдите корень уравнения:

1) $(1,8 + x) \cdot 21 = 71,4;$
2) $16(4x - 3,4) = 6,08;$
3) $(x - 1,25) \cdot 4,5 = 27;$
4) $(x + 19,64) \cdot 0,18 = 144;$
5) $17(1,6 - 5x) = 2,38;$
6) $9,66 : (x + 0,17) = 23;$
7) $5,6 : (x - 6) = 8;$
8) $5,6 : x - 6 = 8;$
9) $34,12 - x : 3,08 = 34,03;$
10) $x : 100 - 1,2367 = 2,9633;$
11) $9,2(0,01y + 0,412) = 4,6;$
12) $8,8(0,12y - 0,04) = 0,44.$

1) $(1,8 + x) \cdot 21 = 71,4$

Чтобы найти неизвестное слагаемое в скобках, разделим обе части уравнения на 21.

$1,8 + x = 71,4 : 21$

$1,8 + x = 3,4$

Теперь найдем $x$, вычтя 1,8 из 3,4.

$x = 3,4 - 1,8$

$x = 1,6$

Ответ: 1,6

2) $16(4x - 3,4) = 6,08$

Чтобы найти неизвестный множитель в скобках, разделим обе части уравнения на 16.

$4x - 3,4 = 6,08 : 16$

$4x - 3,4 = 0,38$

Перенесем -3,4 в правую часть с противоположным знаком.

$4x = 0,38 + 3,4$

$4x = 3,78$

Найдем $x$, разделив 3,78 на 4.

$x = 3,78 : 4$

$x = 0,945$

Ответ: 0,945

3) $(x - 1,25) \cdot 4,5 = 27$

Разделим обе части уравнения на 4,5.

$x - 1,25 = 27 : 4,5$

$x - 1,25 = 6$

Перенесем -1,25 в правую часть с противоположным знаком.

$x = 6 + 1,25$

$x = 7,25$

Ответ: 7,25

4) $(x + 19,64) \cdot 0,18 = 144$

Разделим обе части уравнения на 0,18.

$x + 19,64 = 144 : 0,18$

$x + 19,64 = 800$

Перенесем 19,64 в правую часть с противоположным знаком.

$x = 800 - 19,64$

$x = 780,36$

Ответ: 780,36

5) $17(1,6 - 5x) = 2,38$

Разделим обе части уравнения на 17.

$1,6 - 5x = 2,38 : 17$

$1,6 - 5x = 0,14$

Выразим $5x$.

$5x = 1,6 - 0,14$

$5x = 1,46$

Найдем $x$.

$x = 1,46 : 5$

$x = 0,292$

Ответ: 0,292

6) $9,66 : (x + 0,17) = 23$

Чтобы найти неизвестный делитель $(x + 0,17)$, нужно делимое разделить на частное.

$x + 0,17 = 9,66 : 23$

$x + 0,17 = 0,42$

Найдем $x$.

$x = 0,42 - 0,17$

$x = 0,25$

Ответ: 0,25

7) $5,6 : (x - 6) = 8$

Найдем неизвестный делитель $(x - 6)$.

$x - 6 = 5,6 : 8$

$x - 6 = 0,7$

Найдем $x$.

$x = 0,7 + 6$

$x = 6,7$

Ответ: 6,7

8) $5,6 : x - 6 = 8$

Вначале перенесем -6 в правую часть с противоположным знаком.

$5,6 : x = 8 + 6$

$5,6 : x = 14$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое разделить на частное.

$x = 5,6 : 14$

$x = 0,4$

Ответ: 0,4

9) $34,12 - x \cdot 3,08 = 34,03$

Выразим произведение $x \cdot 3,08$.

$x \cdot 3,08 = 34,12 - 34,03$

$3,08x = 0,09$

Найдем $x$.

$x = 0,09 : 3,08$

$x = \frac{0,09}{3,08} = \frac{9}{308}$

Ответ: $\frac{9}{308}$

10) $x : 100 - 1,2367 = 2,9633$

Перенесем -1,2367 в правую часть.

$x : 100 = 2,9633 + 1,2367$

$x : 100 = 4,2$

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

$x = 4,2 \cdot 100$

$x = 420$

Ответ: 420

11) $9,2(0,01y + 0,412) = 4,6$

Разделим обе части уравнения на 9,2.

$0,01y + 0,412 = 4,6 : 9,2$

$0,01y + 0,412 = 0,5$

Перенесем 0,412 в правую часть.

$0,01y = 0,5 - 0,412$

$0,01y = 0,088$

Найдем $y$.

$y = 0,088 : 0,01$

$y = 8,8$

Ответ: 8,8

12) $8,8(0,12y - 0,04) = 0,44$

Разделим обе части уравнения на 8,8.

$0,12y - 0,04 = 0,44 : 8,8$

$0,12y - 0,04 = 0,05$

Перенесем -0,04 в правую часть.

$0,12y = 0,05 + 0,04$

$0,12y = 0,09$

Найдем $y$.

$y = 0,09 : 0,12$

$y = 0,75$

Ответ: 0,75

1001. Решите уравнение:

1) $8(x - 1.4) = 0.56$

2) $(4.6 - x) \cdot 19 = 4.18$

3) $(51.32 + x) \cdot 0.12 = 72$

4) $17.28 : (56 - x) = 36$

1) $8(x - 1,4) = 0,56$
В этом уравнении выражение в скобках $(x - 1,4)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение $0,56$ разделить на известный множитель $8$.
$x - 1,4 = 0,56 : 8$
$x - 1,4 = 0,07$
Теперь $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности $0,07$ прибавить вычитаемое $1,4$.
$x = 0,07 + 1,4$
$x = 1,47$
Ответ: $1,47$.

2) $(4,6 - x) \cdot 19 = 4,18$
Выражение в скобках $(4,6 - x)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение $4,18$ разделить на известный множитель $19$.
$4,6 - x = 4,18 : 19$
$4,6 - x = 0,22$
Теперь $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого $4,6$ вычесть разность $0,22$.
$x = 4,6 - 0,22$
$x = 4,38$
Ответ: $4,38$.

3) $(51,32 + x) \cdot 0,12 = 72$
Выражение в скобках $(51,32 + x)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение $72$ разделить на известный множитель $0,12$.
$51,32 + x = 72 : 0,12$
$51,32 + x = 7200 : 12$
$51,32 + x = 600$
Теперь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы $600$ вычесть известное слагаемое $51,32$.
$x = 600 - 51,32$
$x = 548,68$
Ответ: $548,68$.

4) $17,28 : (56 - x) = 36$
В этом уравнении выражение в скобках $(56 - x)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое $17,28$ разделить на частное $36$.
$56 - x = 17,28 : 36$
$56 - x = 0,48$
Теперь $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого $56$ вычесть разность $0,48$.
$x = 56 - 0,48$
$x = 55,52$
Ответ: $55,52$.

1002. Найдите корень уравнения:

1) $9b + 6b - 0.15 = 6.15;$

2) $17x - x + 5x - 1.9 = 17;$

3) $1.7x + 88.42 = 94.2;$

4) $16.4 - 5.4x = 14.78;$

5) $10.2x - 7.4x + 0.88 = 2;$

6) $0.6y + 0.18y - 2.376 = 5.58.$

1) $9b + 6b - 0,15 = 6,15$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые:

$(9+6)b - 0,15 = 6,15$

$15b - 0,15 = 6,15$

Теперь перенесем свободный член $-0,15$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$15b = 6,15 + 0,15$

$15b = 6,3$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на коэффициент 15:

$b = 6,3 : 15$

$b = 0,42$

Ответ: 0,42

2) $17x - x + 5x - 1,9 = 17$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(17 - 1 + 5)x - 1,9 = 17$

$21x - 1,9 = 17$

Перенесем $-1,9$ в правую часть с противоположным знаком:

$21x = 17 + 1,9$

$21x = 18,9$

Найдем $x$, разделив обе части на 21:

$x = 18,9 : 21$

$x = 0,9$

Ответ: 0,9

3) $1,7x + 88,42 = 94,2$

Перенесем число $88,42$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$1,7x = 94,2 - 88,42$

$1,7x = 5,78$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $1,7$:

$x = 5,78 : 1,7$

$x = 3,4$

Ответ: 3,4

4) $16,4 - 5,4x = 14,78$

Перенесем $16,4$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$-5,4x = 14,78 - 16,4$

$-5,4x = -1,62$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-5,4$:

$x = -1,62 : (-5,4)$

$x = 0,3$

Ответ: 0,3

5) $10,2x - 7,4x + 0,88 = 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(10,2 - 7,4)x + 0,88 = 2$

$2,8x + 0,88 = 2$

Перенесем $0,88$ в правую часть, изменив знак:

$2,8x = 2 - 0,88$

$2,8x = 1,12$

Найдем $x$, разделив обе части на $2,8$:

$x = 1,12 : 2,8$

$x = 0,4$

Ответ: 0,4

6) $0,6y + 0,18y - 2,376 = 5,58$

Сначала упростим левую часть, сложив подобные члены:

$(0,6 + 0,18)y - 2,376 = 5,58$

$0,78y - 2,376 = 5,58$

Перенесем свободный член $-2,376$ в правую часть с противоположным знаком:

$0,78y = 5,58 + 2,376$

$0,78y = 7,956$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $0,78$:

$y = 7,956 : 0,78$

$y = 10,2$

Ответ: 10,2

1003. Решите уравнение:

1) $14.63x + 3.37x - 0.48 = 2.4$;

2) $16a - 7a + 0.96 = 2.22$;

3) $9.3 - 0.14x = 8.95$;

4) $8.6x - 6.9x + 0.49 = 1$.

1) $14,63x + 3,37x - 0,48 = 2,4$

Сначала упростим левую часть уравнения, сложив слагаемые с переменной $x$:

$(14,63 + 3,37)x - 0,48 = 2,4$

$18x - 0,48 = 2,4$

Перенесём число $-0,48$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$18x = 2,4 + 0,48$

$18x = 2,88$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 18:

$x = \frac{2,88}{18}$

$x = 0,16$

Ответ: $0,16$

2) $16a - 7a + 0,96 = 2,22$

Упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание слагаемых с переменной $a$:

$(16 - 7)a + 0,96 = 2,22$

$9a + 0,96 = 2,22$

Перенесём число $0,96$ в правую часть уравнения со знаком минус:

$9a = 2,22 - 0,96$

$9a = 1,26$

Найдём $a$, разделив обе части на 9:

$a = \frac{1,26}{9}$

$a = 0,14$

Ответ: $0,14$

3) $9,3 - 0,14x = 8,95$

Чтобы выделить слагаемое с переменной $x$, перенесём $9,3$ в правую часть уравнения:

$-0,14x = 8,95 - 9,3$

$-0,14x = -0,35$

Разделим обе части уравнения на $-0,14$:

$x = \frac{-0,35}{-0,14}$

$x = \frac{35}{14}$

Сократим дробь на 7 и получим результат:

$x = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: $2,5$

4) $8,6x - 6,9x + 0,49 = 1$

Упростим левую часть, сгруппировав слагаемые с переменной $x$:

$(8,6 - 6,9)x + 0,49 = 1$

$1,7x + 0,49 = 1$

Перенесём $0,49$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$1,7x = 1 - 0,49$

$1,7x = 0,51$

Найдём $x$, разделив обе части на 1,7:

$x = \frac{0,51}{1,7}$

Для удобства деления можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{5,1}{17}$

$x = 0,3$

Ответ: $0,3$

1004. Расстояние между двумя островами равно 556,5 км. От этих островов навстречу друг другу одновременно отправились два корабля, которые встретились через 7 ч после отплытия. Один из кораблей шёл со скоростью 36,8 км/ч. С какой скоростью двигался второй корабль?

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через скорость сближения

1. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, — это сумма их индивидуальных скоростей. Общее расстояние, которое они проходят до встречи, можно найти, умножив скорость сближения на время. Сначала найдем скорость сближения, разделив общее расстояние на время до встречи:

$v_{сбл} = S / t = 556,5 \text{ км} / 7 \text{ ч} = 79,5 \text{ км/ч}$.

2. Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме скоростей первого ($v_1$) и второго ($v_2$) кораблей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Зная скорость сближения и скорость первого корабля, можно найти скорость второго, вычтя скорость первого из общей скорости сближения:

$v_2 = v_{сбл} - v_1 = 79,5 \text{ км/ч} - 36,8 \text{ км/ч} = 42,7 \text{ км/ч}$.

Ответ: 42,7 км/ч.

Способ 2: Через пройденное расстояние

1. Сначала вычислим, какое расстояние ($S_1$) прошел первый корабль за 7 часов, умножив его скорость ($v_1$) на время ($t$):

$S_1 = v_1 \cdot t = 36,8 \text{ км/ч} \cdot 7 \text{ ч} = 257,6 \text{ км}$.

2. Оба корабля вместе прошли все расстояние между островами. Чтобы найти расстояние, пройденное вторым кораблем ($S_2$), вычтем путь первого корабля из общего расстояния ($S$):

$S_2 = S - S_1 = 556,5 \text{ км} - 257,6 \text{ км} = 298,9 \text{ км}$.

3. Теперь, зная, что второй корабль прошел $298,9$ км за $7$ часов, найдем его скорость ($v_2$), разделив пройденное им расстояние на время:

$v_2 = S_2 / t = 298,9 \text{ км} / 7 \text{ ч} = 42,7 \text{ км/ч}$.

Ответ: 42,7 км/ч.

1005. Из своих жилищ навстречу друг другу одновременно вышли Братец Ёж и Братец Кролик и встретились через 12 мин после начала движения. С какой скоростью двигался Братец Ёж, если расстояние между их жилищами равно 136,8 м, а Братец Кролик шёл со скоростью 9,6 м/мин?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием скорости сближения. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их индивидуальных скоростей. Общее расстояние, которое они проходят вместе до встречи, равно расстоянию между их начальными точками.

1. Сначала найдем скорость сближения Братца Ежа и Братца Кролика. Для этого разделим общее расстояние между их жилищами на время, через которое они встретились.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) вычисляется по формуле $v_{сбл} = S / t$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.

$v_{сбл} = 136,8 \, \text{м} / 12 \, \text{мин} = 11,4 \, \text{м/мин}$

Таким образом, каждую минуту расстояние между ними сокращалось на 11,4 метра.

2. Скорость сближения является суммой скоростей Братца Ежа ($v_е$) и Братца Кролика ($v_к$):

$v_{сбл} = v_е + v_к$

Мы знаем скорость сближения ($11,4$ м/мин) и скорость Братца Кролика ($9,6$ м/мин). Чтобы найти скорость Братца Ежа, нужно из скорости сближения вычесть скорость Братца Кролика.

$v_е = v_{сбл} - v_к$

$v_е = 11,4 \, \text{м/мин} - 9,6 \, \text{м/мин} = 1,8 \, \text{м/мин}$

Следовательно, Братец Ёж двигался со скоростью 1,8 м/мин.

Ответ: 1,8 м/мин.

1006. От двух станций, расстояние между которыми равно 20,8 км, в одном направлении одновременно отправились два поезда. Впереди шёл поезд со скоростью 54,6 км/ч. Через 5 ч после начала движения его догнал второй поезд. Найдите скорость второго поезда.

Для решения этой задачи необходимо найти скорость второго поезда. Так как поезда движутся в одном направлении и второй поезд догоняет первый, скорость второго поезда должна быть больше. Разница между их скоростями называется скоростью сближения.

1. Найдем скорость сближения.
Второму поезду потребовалось 5 часов, чтобы преодолеть начальное расстояние между поездами, равное 20,8 км. Скорость сближения ($v_{сбл}$) показывает, на сколько километров сокращается расстояние между поездами за один час. Рассчитаем ее, разделив расстояние на время:
$v_{сбл} = \frac{S}{t} = \frac{20,8 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 4,16 \text{ км/ч}$.
Таким образом, скорость второго поезда на 4,16 км/ч больше, чем скорость первого.

2. Найдем скорость второго поезда.
Скорость сближения при движении вдогонку равна разности скоростей догоняющего ($v_2$) и уходящего ($v_1$) поездов: $v_{сбл} = v_2 - v_1$.
Чтобы найти скорость второго поезда, нужно к скорости первого поезда прибавить скорость сближения:
$v_2 = v_1 + v_{сбл}$
Подставим известные значения ($v_1 = 54,6$ км/ч):
$v_2 = 54,6 \text{ км/ч} + 4,16 \text{ км/ч} = 58,76 \text{ км/ч}$.

Ответ: 58,76 км/ч.

1007. Расстояние между двумя сёлами равно $12.2 \text{ км}$. Из этих сёл в одном направлении одновременно выехали два всадника. Один всадник скакал со скоростью $10.2 \text{ км/ч}$ и догнал второго через $2 \text{ ч}$ после начала движения. Найдите скорость второго всадника.

Для решения этой задачи будем использовать понятие скорости сближения. Когда два объекта движутся в одном направлении и один догоняет другого, скорость, с которой уменьшается расстояние между ними, называется скоростью сближения и равна разности их скоростей.

Введем обозначения для известных и неизвестных величин:
$S = 12,2$ км — начальное расстояние между всадниками.
$v_1 = 10,2$ км/ч — скорость первого (догоняющего) всадника.
$v_2$ — искомая скорость второго всадника.
$t = 2$ ч — время, через которое первый всадник догнал второго.

1. Найдём скорость сближения всадников.
Первый всадник догнал второго за 2 часа, преодолев первоначальное расстояние между ними в 12,2 км. Скорость сближения ($v_{сбл}$) можно найти, разделив расстояние на время:
$v_{сбл} = S / t$
$v_{сбл} = 12,2 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 6,1 \text{ км/ч}$.
Это означает, что каждый час расстояние между всадниками сокращалось на 6,1 км.

2. Найдём скорость второго всадника.
Скорость сближения при движении в одном направлении вычисляется по формуле:
$v_{сбл} = v_1 - v_2$
Из этой формулы выразим скорость второго всадника $v_2$:
$v_2 = v_1 - v_{сбл}$
Теперь подставим известные значения:
$v_2 = 10,2 \text{ км/ч} - 6,1 \text{ км/ч} = 4,1 \text{ км/ч}$.

Ответ: 4,1 км/ч.