Страница 240 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Чему равна целая часть частного, если делимое меньше делителя?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим операцию деления. Пусть делимое будет обозначено как $a$, а делитель как $b$. Нам нужно найти целую часть частного, то есть целую часть от результата деления $a / b$.

По условию задачи, делимое меньше делителя, что можно записать в виде неравенства: $a < b$.

Рассмотрим случай, когда $a$ и $b$ являются положительными числами. Если мы делим меньшее положительное число на большее положительное число, результат всегда будет правильной дробью, то есть числом, которое больше нуля, но меньше единицы.

Математически это выглядит так: если $a > 0$, $b > 0$ и $a < b$, то $0 < \frac{a}{b} < 1$.

Целая часть любого числа, находящегося в интервале от 0 до 1 (не включая 1), всегда равна 0.

Примеры:

• Пусть делимое $a = 3$, а делитель $b = 5$. Условие $3 < 5$ выполняется. Частное равно $3 / 5 = 0.6$. Целая часть числа $0.6$ равна $0$.
• Пусть делимое $a = 12$, а делитель $b = 25$. Условие $12 < 25$ выполняется. Частное равно $12 / 25 = 0.48$. Целая часть числа $0.48$ равна $0$.

Этот же вывод можно получить, используя деление с остатком. Любое целое число $a$ можно представить в виде $a = b \cdot q + r$, где $q$ — неполное частное (целая часть частного), а $r$ — остаток ($0 \le r < b$). Если $a < b$, то делитель $b$ "помещается" в делимом $a$ ноль раз. Таким образом, неполное частное $q$ будет равно $0$, а остаток $r$ будет равен самому делимому $a$.

Ответ: 0

4. Как разделить десятичную дробь на десятичную дробь?

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, необходимо выполнить следующий алгоритм, который сводит деление к делению десятичной дроби на целое число:

1. Посчитать количество цифр после запятой в делителе (числе, на которое делим).

2. Перенести запятую вправо на это количество цифр и в делимом (числе, которое делим), и в делителе. Это равносильно умножению обоих чисел на $10$, $100$, $1000$ и т.д.

3. Если в делимом не хватает знаков для переноса запятой, то в конце дописываются нули.

4. После этих действий делитель станет целым числом. Далее нужно выполнить деление делимого на новый целый делитель, как обычно (например, в столбик). Запятая в частном ставится тогда, когда заканчивается деление целой части делимого.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1: Разделить $12.96$ на $2.4$

1. В делителе $2.4$ одна цифра после запятой.
2. Переносим запятую на один знак вправо в обоих числах:
$12.96 \rightarrow 129.6$
$2.4 \rightarrow 24$
3. Теперь задача сводится к делению $129.6$ на $24$. Выполним деление в столбик.
- Сначала делим целую часть $129$ на $24$. Получаем $5$ и остаток $9$ ($24 \times 5 = 120$).
- Деление целой части закончилось, поэтому в частном ставим запятую.
- Сносим следующую цифру $6$, получаем число $96$.
- Делим $96$ на $24$, получаем $4$ ($24 \times 4 = 96$).
- Остаток равен $0$. Деление завершено.
Результат: $5.4$.
Ответ: $12.96 \div 2.4 = 5.4$.

Пример 2: Разделить $8.1$ на $0.03$

1. В делителе $0.03$ две цифры после запятой.
2. Переносим запятую на два знака вправо в обоих числах. В делимом $8.1$ только одна цифра после запятой, поэтому нам нужно дописать один ноль.
$8.1 \rightarrow 810$
$0.03 \rightarrow 3$
3. Теперь задача сводится к делению целого числа $810$ на $3$.
$810 \div 3 = 270$.
Ответ: $8.1 \div 0.03 = 270$.

1. Заполните цепочку вычислений:

Квадрат с числом $0,4 \rightarrow \cdot 9 \rightarrow$ Круг $\rightarrow -1,8 \rightarrow$ Круг $\rightarrow +1,4 \rightarrow$ Круг $\rightarrow \cdot 5 \rightarrow$ Квадрат

Для того чтобы заполнить данную цепочку вычислений, необходимо выполнить все математические операции последовательно, шаг за шагом.

1. Первое действие

Умножаем начальное число 0,4 на 9. Выполним умножение:

$0,4 \cdot 9 = 3,6$

Таким образом, в первый пустой кружок необходимо вписать число 3,6.

2. Второе действие

Из числа, полученного на первом шаге (3,6), вычитаем 1,8:

$3,6 - 1,8 = 1,8$

Во второй пустой кружок вписываем число 1,8.

3. Третье действие

К результату второго действия (1,8) прибавляем 1,4:

$1,8 + 1,4 = 3,2$

В третий пустой кружок необходимо вписать число 3,2.

4. Четвертое действие

Результат, полученный на третьем шаге (3,2), умножаем на 5, чтобы получить конечное значение:

$3,2 \cdot 5 = 16$

В последний пустой квадрат вписываем итоговое число 16.

Полностью заполненная цепочка вычислений выглядит так: $0,4 \xrightarrow{\cdot 9} 3,6 \xrightarrow{-1,8} 1,8 \xrightarrow{+1,4} 3,2 \xrightarrow{\cdot 5} 16$.

Ответ: В пустые ячейки цепочки последовательно вписываются числа 3,6; 1,8; 3,2 и 16.

4. Чему равно значение выражения:

1) $1,6a + 1,6b$, если $a + b = 100$;

2) $2,5x - 2,5y$, если $x - y = 4$?

1) Чтобы найти значение выражения $1,6a + 1,6b$, мы можем вынести общий множитель $1,6$ за скобки, используя распределительное свойство умножения:
$1,6a + 1,6b = 1,6(a + b)$
По условию задачи нам дано, что $a + b = 100$. Теперь мы можем подставить это значение в наше выражение:
$1,6 \cdot (100) = 160$
Ответ: 160.

2) Аналогично, чтобы найти значение выражения $2,5x - 2,5y$, вынесем общий множитель $2,5$ за скобки:
$2,5x - 2,5y = 2,5(x - y)$
Из условия мы знаем, что $x - y = 4$. Подставим это значение в полученное выражение:
$2,5 \cdot 4 = 10$
Ответ: 10.