Страница 240 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Чтобы выполнить деление десятичной дроби на натуральное число уголком, нужно действовать по следующему алгоритму:

1. Записать деление в столбик (уголком), как будто вы делите натуральные числа, не обращая внимания на запятую.
2. Разделить целую часть десятичной дроби на натуральное число.
3. Как только деление целой части будет завершено, поставить в частном (в результате) запятую.
4. Продолжить деление, последовательно "спуская" по одной цифре из дробной части делимого.
5. Если цифры в делимом закончились, а в остатке не получился ноль, то нужно дописывать к остатку справа ноль и продолжать деление до тех пор, пока остаток не станет равным нулю или не будет достигнута необходимая точность.

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Разделить $25.56$ на $4$.

Сначала делим целую часть, то есть $25$, на $4$.

$25 \div 4 = 6$ (остаток $1$). Записываем $6$ в частное.

Деление целой части закончилось, поэтому ставим в частном запятую после $6$.

К остатку $1$ сносим первую цифру дробной части — $5$. Получаем $15$.

$15 \div 4 = 3$ (остаток $3$). Записываем $3$ в частное после запятой.

К новому остатку $3$ сносим следующую цифру — $6$. Получаем $36$.

$36 \div 4 = 9$ (остаток $0$). Записываем $9$ в частное.

Деление завершено. Результат: $25.56 \div 4 = 6.39$.

Пример 2: Разделить $9.1$ на $5$.

Делим целую часть $9$ на $5$.

$9 \div 5 = 1$ (остаток $4$). Записываем $1$ в частное.

Деление целой части закончилось, ставим в частном запятую.

К остатку $4$ сносим цифру $1$ из дробной части. Получаем $41$.

$41 \div 5 = 8$ (остаток $1$). Записываем $8$ в частное.

Цифры в делимом закончились, но остаток не ноль. Приписываем к остатку $1$ ноль. Получаем $10$.

$10 \div 5 = 2$ (остаток $0$). Записываем $2$ в частное.

Деление завершено. Результат: $9.1 \div 5 = 1.82$.

Ответ: Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно выполнять деление уголком, не обращая внимания на запятую, но обязательно поставить запятую в частном, когда закончится деление целой части делимого.

2. Чему равна целая часть частного, если делимое меньше делителя?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим операцию деления. Пусть делимое будет обозначено как $a$, а делитель как $b$. Нам нужно найти целую часть частного, то есть целую часть от результата деления $a / b$.

По условию задачи, делимое меньше делителя, что можно записать в виде неравенства: $a < b$.

Рассмотрим случай, когда $a$ и $b$ являются положительными числами. Если мы делим меньшее положительное число на большее положительное число, результат всегда будет правильной дробью, то есть числом, которое больше нуля, но меньше единицы.

Математически это выглядит так: если $a > 0$, $b > 0$ и $a < b$, то $0 < \frac{a}{b} < 1$.

Целая часть любого числа, находящегося в интервале от 0 до 1 (не включая 1), всегда равна 0.

Примеры:

• Пусть делимое $a = 3$, а делитель $b = 5$. Условие $3 < 5$ выполняется. Частное равно $3 / 5 = 0.6$. Целая часть числа $0.6$ равна $0$.
• Пусть делимое $a = 12$, а делитель $b = 25$. Условие $12 < 25$ выполняется. Частное равно $12 / 25 = 0.48$. Целая часть числа $0.48$ равна $0$.

Этот же вывод можно получить, используя деление с остатком. Любое целое число $a$ можно представить в виде $a = b \cdot q + r$, где $q$ — неполное частное (целая часть частного), а $r$ — остаток ($0 \le r < b$). Если $a < b$, то делитель $b$ "помещается" в делимом $a$ ноль раз. Таким образом, неполное частное $q$ будет равно $0$, а остаток $r$ будет равен самому делимому $a$.

Ответ: 0

3. Как разделить десятичную дробь на 10? На 100? На 1 000?

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее (на разрядную единицу), нужно перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит в делителе после единицы. Если цифр в целой части дроби не хватает для переноса запятой, то слева дописывают необходимое количество нулей.

На 10?

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую влево на один знак, так как в числе 10 один ноль. Если слева от запятой нет цифр или их не хватает, дописываются нули.

Пример 1: Разделим 34,5 на 10. Переносим запятую на один знак влево.

$34,5 : 10 = 3,45$

Пример 2: Разделим 7,89 на 10. Переносим запятую на один знак влево.

$7,89 : 10 = 0,789$

Пример 3: Разделим целое число 5 на 10. Представим 5 как 5,0 и перенесем запятую на один знак влево.

$5 : 10 = 5,0 : 10 = 0,5$

Ответ: для деления десятичной дроби на 10 нужно перенести в ней запятую на один знак влево.

На 100?

Чтобы разделить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую влево на два знака, так как в числе 100 два ноля. Если цифр в целой части не хватает, слева дописываются нули.

Пример 1: Разделим 678,9 на 100. Переносим запятую на два знака влево.

$678,9 : 100 = 6,789$

Пример 2: Разделим 12,34 на 100. Переносим запятую на два знака влево.

$12,34 : 100 = 0,1234$

Пример 3: Разделим 4,5 на 100. Для переноса запятой на два знака влево не хватает одной цифры, поэтому дописываем один ноль слева.

$4,5 : 100 = 0,045$

Ответ: для деления десятичной дроби на 100 нужно перенести в ней запятую на два знака влево.

На 1 000?

Чтобы разделить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую влево на три знака, так как в числе 1000 три ноля. Если цифр в целой части не хватает, слева дописываются нули.

Пример 1: Разделим 5432,1 на 1000. Переносим запятую на три знака влево.

$5432,1 : 1000 = 5,4321$

Пример 2: Разделим 98,7 на 1000. Для переноса запятой на три знака влево не хватает одной цифры, поэтому дописываем один ноль слева.

$98,7 : 1000 = 0,0987$

Пример 3: Разделим 2,5 на 1000. Для переноса запятой на три знака влево не хватает двух цифр, поэтому дописываем два ноля слева.

$2,5 : 1000 = 0,0025$

Ответ: для деления десятичной дроби на 1000 нужно перенести в ней запятую на три знака влево.

4. Как разделить десятичную дробь на десятичную дробь?

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, необходимо выполнить следующий алгоритм, который сводит деление к делению десятичной дроби на целое число:

1. Посчитать количество цифр после запятой в делителе (числе, на которое делим).

2. Перенести запятую вправо на это количество цифр и в делимом (числе, которое делим), и в делителе. Это равносильно умножению обоих чисел на $10$, $100$, $1000$ и т.д.

3. Если в делимом не хватает знаков для переноса запятой, то в конце дописываются нули.

4. После этих действий делитель станет целым числом. Далее нужно выполнить деление делимого на новый целый делитель, как обычно (например, в столбик). Запятая в частном ставится тогда, когда заканчивается деление целой части делимого.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1: Разделить $12.96$ на $2.4$

1. В делителе $2.4$ одна цифра после запятой.
2. Переносим запятую на один знак вправо в обоих числах:
$12.96 \rightarrow 129.6$
$2.4 \rightarrow 24$
3. Теперь задача сводится к делению $129.6$ на $24$. Выполним деление в столбик.
- Сначала делим целую часть $129$ на $24$. Получаем $5$ и остаток $9$ ($24 \times 5 = 120$).
- Деление целой части закончилось, поэтому в частном ставим запятую.
- Сносим следующую цифру $6$, получаем число $96$.
- Делим $96$ на $24$, получаем $4$ ($24 \times 4 = 96$).
- Остаток равен $0$. Деление завершено.
Результат: $5.4$.
Ответ: $12.96 \div 2.4 = 5.4$.

Пример 2: Разделить $8.1$ на $0.03$

1. В делителе $0.03$ две цифры после запятой.
2. Переносим запятую на два знака вправо в обоих числах. В делимом $8.1$ только одна цифра после запятой, поэтому нам нужно дописать один ноль.
$8.1 \rightarrow 810$
$0.03 \rightarrow 3$
3. Теперь задача сводится к делению целого числа $810$ на $3$.
$810 \div 3 = 270$.
Ответ: $8.1 \div 0.03 = 270$.

1. Заполните цепочку вычислений:

Квадрат с числом $0,4 \rightarrow \cdot 9 \rightarrow$ Круг $\rightarrow -1,8 \rightarrow$ Круг $\rightarrow +1,4 \rightarrow$ Круг $\rightarrow \cdot 5 \rightarrow$ Квадрат

Для того чтобы заполнить данную цепочку вычислений, необходимо выполнить все математические операции последовательно, шаг за шагом.

1. Первое действие

Умножаем начальное число 0,4 на 9. Выполним умножение:

$0,4 \cdot 9 = 3,6$

Таким образом, в первый пустой кружок необходимо вписать число 3,6.

2. Второе действие

Из числа, полученного на первом шаге (3,6), вычитаем 1,8:

$3,6 - 1,8 = 1,8$

Во второй пустой кружок вписываем число 1,8.

3. Третье действие

К результату второго действия (1,8) прибавляем 1,4:

$1,8 + 1,4 = 3,2$

В третий пустой кружок необходимо вписать число 3,2.

4. Четвертое действие

Результат, полученный на третьем шаге (3,2), умножаем на 5, чтобы получить конечное значение:

$3,2 \cdot 5 = 16$

В последний пустой квадрат вписываем итоговое число 16.

Полностью заполненная цепочка вычислений выглядит так: $0,4 \xrightarrow{\cdot 9} 3,6 \xrightarrow{-1,8} 1,8 \xrightarrow{+1,4} 3,2 \xrightarrow{\cdot 5} 16$.

Ответ: В пустые ячейки цепочки последовательно вписываются числа 3,6; 1,8; 3,2 и 16.

2. Решите уравнение:

1) $7x = 749$;

2) $96 : x = 8$;

3) $x \cdot 12 = 12$.

1) Дано уравнение $7x = 749$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (749) разделить на известный множитель (7).
$x = 749 : 7$
$x = 107$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$7 \cdot 107 = 749$
$749 = 749$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 107

2) Дано уравнение $96 : x = 8$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (96) разделить на частное (8).
$x = 96 : 8$
$x = 12$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$96 : 12 = 8$
$8 = 8$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 12

3) Дано уравнение $x : 12 = 12$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (12) умножить на делитель (12).
$x = 12 \cdot 12$
$x = 144$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$144 : 12 = 12$
$12 = 12$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 144

3. Угадайте корень уравнения:

1) $7x = 7.49$;

2) $9.6 : x = 8$;

3) $x \cdot 12 = 0.12$.

1) В уравнении $7x = 7,49$ неизвестным является множитель $x$. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($7,49$) разделить на известный множитель ($7$).
$x = 7,49 : 7$
Выполним деление:
$x = 1,07$
Проверка: $7 \cdot 1,07 = 7,49$. Равенство верно.
Ответ: $x = 1,07$.

2) В уравнении $9,6 : x = 8$ неизвестным является делитель $x$. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое ($9,6$) разделить на частное ($8$).
$x = 9,6 : 8$
Выполним деление:
$x = 1,2$
Проверка: $9,6 : 1,2 = 8$. Равенство верно.
Ответ: $x = 1,2$.

3) В уравнении $x : 12 = 0,12$ неизвестным является делимое $x$. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное ($0,12$) умножить на делитель ($12$).
$x = 0,12 \cdot 12$
Выполним умножение:
$x = 1,44$
Проверка: $1,44 : 12 = 0,12$. Равенство верно.
Ответ: $x = 1,44$.

4. Чему равно значение выражения:

1) $1,6a + 1,6b$, если $a + b = 100$;

2) $2,5x - 2,5y$, если $x - y = 4$?

1) Чтобы найти значение выражения $1,6a + 1,6b$, мы можем вынести общий множитель $1,6$ за скобки, используя распределительное свойство умножения:
$1,6a + 1,6b = 1,6(a + b)$
По условию задачи нам дано, что $a + b = 100$. Теперь мы можем подставить это значение в наше выражение:
$1,6 \cdot (100) = 160$
Ответ: 160.

2) Аналогично, чтобы найти значение выражения $2,5x - 2,5y$, вынесем общий множитель $2,5$ за скобки:
$2,5x - 2,5y = 2,5(x - y)$
Из условия мы знаем, что $x - y = 4$. Подставим это значение в полученное выражение:
$2,5 \cdot 4 = 10$
Ответ: 10.