Страница 233 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

925. В походе группа туристов 8,5 ч шла пешком со скоростью 4,2 км/ч и 9,2 ч плыла по реке на плоту со скоростью 3,5 км/ч. Какое из расстояний, преодолённых туристами, — по суше или по реке — больше и на сколько километров?

Для ответа на вопрос задачи необходимо сначала вычислить расстояние, которое туристы преодолели по суше, и расстояние, которое они проплыли по реке. Для этого воспользуемся формулой расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Расстояние, преодолённое по суше

Туристы шли пешком 8,5 часов со скоростью 4,2 км/ч. Вычислим пройденное ими расстояние по суше ($S_{суша}$):
$S_{суша} = 4,2 \text{ км/ч} \cdot 8,5 \text{ ч} = 35,7 \text{ км}$.

2. Расстояние, преодолённое по реке

Туристы плыли на плоту 9,2 часа со скоростью 3,5 км/ч. Вычислим расстояние, которое они проплыли по реке ($S_{река}$):
$S_{река} = 3,5 \text{ км/ч} \cdot 9,2 \text{ ч} = 32,2 \text{ км}$.

3. Сравнение расстояний

Теперь сравним два полученных расстояния:
Расстояние по суше: $S_{суша} = 35,7 \text{ км}$.
Расстояние по реке: $S_{река} = 32,2 \text{ км}$.
Поскольку $35,7 > 32,2$, расстояние, преодолённое по суше, больше.

Чтобы узнать, на сколько километров оно больше, вычтем из большего расстояния меньшее:
$35,7 \text{ км} - 32,2 \text{ км} = 3,5 \text{ км}$.

Ответ: Расстояние, преодолённое по суше, больше, чем по реке, на 3,5 км.

926. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $0.2 \cdot 32.8 \cdot 5;$

2) $0.25 \cdot 24.3 \cdot 0.4;$

3) $0.8 \cdot 47.5 \cdot 12.5;$

4) $73 \cdot 0.5 \cdot 0.4.$

1) $0,2 \cdot 32,8 \cdot 5$

Для вычисления наиболее удобным способом воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители $0,2$ и $5$, так как их произведение равно $1$.

$(0,2 \cdot 5) \cdot 32,8 = 1 \cdot 32,8 = 32,8$.

Ответ: $32,8$.

2) $0,25 \cdot 24,3 \cdot 0,4$

Для удобства вычислений сгруппируем множители $0,25$ и $0,4$, так как их произведение является степенью числа $10$.

$(0,25 \cdot 0,4) \cdot 24,3 = 0,1 \cdot 24,3 = 2,43$.

Ответ: $2,43$.

3) $0,8 \cdot 47,5 \cdot 12,5$

Наиболее удобный способ — это перемножить $0,8$ и $12,5$ в первую очередь, так как их произведение является целым числом $10$.

$(0,8 \cdot 12,5) \cdot 47,5 = 10 \cdot 47,5 = 475$.

Ответ: $475$.

4) $73 \cdot 0,5 \cdot 0,4$

Сначала найдем произведение $0,5$ и $0,4$, что упростит дальнейшее умножение на $73$.

$73 \cdot (0,5 \cdot 0,4) = 73 \cdot 0,2 = 14,6$.

Ответ: $14,6$.

927. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $0,4 \cdot 17 \cdot 2,5;$

2) $0,125 \cdot 4,3 \cdot 80;$

3) $0,05 \cdot 6,73 \cdot 0,2;$

4) $0,4 \cdot 0,36 \cdot 5.$

Чтобы вычислить значение выражения $0,4 \cdot 17 \cdot 2,5$ наиболее удобным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем множители $0,4$ и $2,5$, так как их произведение является целым числом, что упрощает дальнейшие вычисления.

$0,4 \cdot 17 \cdot 2,5 = (0,4 \cdot 2,5) \cdot 17$

Сначала вычислим произведение в скобках:

$0,4 \cdot 2,5 = 1$

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель:

$1 \cdot 17 = 17$

Ответ: $17$

В выражении $0,125 \cdot 4,3 \cdot 80$ удобно сгруппировать множители $0,125$ и $80$. Произведение этих чисел является круглым числом. Полезно помнить, что $0,125$ это дробь $1/8$.

$0,125 \cdot 4,3 \cdot 80 = (0,125 \cdot 80) \cdot 4,3$

Вычислим произведение в скобках:

$0,125 \cdot 80 = 10$

Теперь умножим полученный результат на $4,3$:

$10 \cdot 4,3 = 43$

Ответ: $43$

В выражении $0,05 \cdot 6,73 \cdot 0,2$ перегруппируем множители так, чтобы сначала умножить $0,05$ на $0,2$. Это упростит вычисление.

$0,05 \cdot 6,73 \cdot 0,2 = (0,05 \cdot 0,2) \cdot 6,73$

Вычислим произведение в скобках:

$0,05 \cdot 0,2 = 0,01$

Теперь умножим полученный результат на $6,73$. Умножение на $0,01$ сводится к сдвигу десятичной запятой на два знака влево.

$0,01 \cdot 6,73 = 0,0673$

Ответ: $0,0673$

Для вычисления значения выражения $0,4 \cdot 0,36 \cdot 5$ сгруппируем множители $0,4$ и $5$, так как их произведение является целым числом.

$0,4 \cdot 0,36 \cdot 5 = (0,4 \cdot 5) \cdot 0,36$

Вычислим произведение в скобках:

$0,4 \cdot 5 = 2$

Теперь умножим полученный результат на $0,36$:

$2 \cdot 0,36 = 0,72$

Ответ: $0,72$

928. Упростите выражение:

1) $1,3 \cdot 0,2a;$

2) $0,9b \cdot 8;$

3) $0,23 \cdot 40b;$

4) $2,8 \cdot y \cdot 0,5;$

5) $0,6a \cdot 0,08b;$

6) $1,1x \cdot 1,4y;$

7) $0,27m \cdot 0,3n;$

8) $0,4a \cdot 8 \cdot b \cdot 0,3c;$

9) $1,2x \cdot 0,3y \cdot 5z.$

1) Чтобы упростить выражение $1,3 \cdot 0,2a$, нужно перемножить числовые коэффициенты, используя сочетательный закон умножения.

$1,3 \cdot 0,2a = (1,3 \cdot 0,2) \cdot a = 0,26a$

Ответ: $0,26a$

2) Чтобы упростить выражение $0,9b \cdot 8$, перемножим числовые коэффициенты.

$0,9b \cdot 8 = (0,9 \cdot 8) \cdot b = 7,2b$

Ответ: $7,2b$

3) Для упрощения выражения $0,23 \cdot 40b$ перемножим числовые коэффициенты.

$0,23 \cdot 40b = (0,23 \cdot 40) \cdot b = 9,2b$

Ответ: $9,2b$

4) Чтобы упростить выражение $2,8 \cdot y \cdot 0,5$, перемножим числовые коэффициенты.

$2,8 \cdot y \cdot 0,5 = (2,8 \cdot 0,5) \cdot y = 1,4y$

Ответ: $1,4y$

5) Для упрощения выражения $0,6a \cdot 0,08b$ перемножим числовые коэффициенты и переменные по отдельности.

$0,6a \cdot 0,08b = (0,6 \cdot 0,08) \cdot (a \cdot b) = 0,048ab$

Ответ: $0,048ab$

6) Чтобы упростить выражение $1,1x \cdot 1,4y$, перемножим числовые коэффициенты и переменные по отдельности.

$1,1x \cdot 1,4y = (1,1 \cdot 1,4) \cdot (x \cdot y) = 1,54xy$

Ответ: $1,54xy$

7) Для упрощения выражения $0,27m \cdot 0,3n$ перемножим числовые коэффициенты и переменные по отдельности.

$0,27m \cdot 0,3n = (0,27 \cdot 0,3) \cdot (m \cdot n) = 0,081mn$

Ответ: $0,081mn$

8) Чтобы упростить выражение $0,4a \cdot 8 \cdot b \cdot 0,3c$, сгруппируем и перемножим все числовые коэффициенты и все переменные.

$0,4a \cdot 8 \cdot b \cdot 0,3c = (0,4 \cdot 8 \cdot 0,3) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 3,2 \cdot 0,3 \cdot abc = 0,96abc$

Ответ: $0,96abc$

9) Для упрощения выражения $1,2x \cdot 0,3y \cdot 5z$ сгруппируем и перемножим все числовые коэффициенты и все переменные.

$1,2x \cdot 0,3y \cdot 5z = (1,2 \cdot 0,3 \cdot 5) \cdot (x \cdot y \cdot z) = (0,36 \cdot 5) \cdot xyz = 1,8xyz$

Ответ: $1,8xyz$

929. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $0.5a \cdot 20b$, если $a = 4, b = 6.8$;

2) $0.25x \cdot 0.4y$, если $x = 1.2, y = 0.3$;

3) $4m \cdot 0.5n$, если $m = 0.22, n = 100$;

4) $0.8k \cdot 12.5c$, если $k = 0.58, c = 0.1$.

1) Сначала упростим выражение $0,5a \cdot 20b$. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем числовые множители и переменные:
$0,5a \cdot 20b = (0,5 \cdot 20) \cdot (a \cdot b) = 10ab$.
Теперь подставим в полученное выражение значения $a = 4$ и $b = 6,8$:
$10ab = 10 \cdot 4 \cdot 6,8 = 40 \cdot 6,8 = 272$.
Ответ: 272.

2) Упростим выражение $0,25x \cdot 0,4y$. Сгруппируем числовые множители:
$0,25x \cdot 0,4y = (0,25 \cdot 0,4) \cdot (x \cdot y) = 0,1xy$.
Подставим значения $x = 1,2$ и $y = 0,3$ в упрощенное выражение:
$0,1xy = 0,1 \cdot 1,2 \cdot 0,3 = 0,12 \cdot 0,3 = 0,036$.
Ответ: 0,036.

3) Упростим выражение $4m \cdot 0,5n$, перемножив числовые коэффициенты:
$4m \cdot 0,5n = (4 \cdot 0,5) \cdot (m \cdot n) = 2mn$.
Подставим заданные значения $m = 0,22$ и $n = 100$:
$2mn = 2 \cdot 0,22 \cdot 100 = 0,44 \cdot 100 = 44$.
Ответ: 44.

4) Упростим выражение $0,8k \cdot 12,5c$, сгруппировав и перемножив числовые множители:
$0,8k \cdot 12,5c = (0,8 \cdot 12,5) \cdot (k \cdot c) = 10kc$.
Подставим в полученное выражение значения $k = 0,58$ и $c = 0,1$:
$10kc = 10 \cdot 0,58 \cdot 0,1 = 5,8 \cdot 0,1 = 0,58$.
Ответ: 0,58.

930. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $3.18 \cdot 7.8 + 3.18 \cdot 2.2;$

2) $59.8 \cdot 4.9 - 59.7 \cdot 4.9;$

3) $0.946 \cdot 26.8 + 0.946 \cdot 23.2;$

4) $7.54 \cdot 3.24 - 7.54 \cdot 3.14.$

1) Для вычисления значения выражения $3,18 \cdot 7,8 + 3,18 \cdot 2,2$ наиболее удобным способом является использование распределительного свойства умножения относительно сложения. Мы можем вынести общий множитель 3,18 за скобки.

$3,18 \cdot 7,8 + 3,18 \cdot 2,2 = 3,18 \cdot (7,8 + 2,2)$

Сначала выполним действие в скобках:

$7,8 + 2,2 = 10$

Теперь умножим результат на общий множитель:

$3,18 \cdot 10 = 31,8$

Ответ: 31,8

2) В выражении $59,8 \cdot 4,9 - 59,7 \cdot 4,9$ применим распределительное свойство умножения относительно вычитания, вынеся общий множитель 4,9 за скобки.

$59,8 \cdot 4,9 - 59,7 \cdot 4,9 = (59,8 - 59,7) \cdot 4,9$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$59,8 - 59,7 = 0,1$

Теперь умножим полученную разность на общий множитель:

$0,1 \cdot 4,9 = 0,49$

Ответ: 0,49

3) В выражении $0,946 \cdot 26,8 + 0,946 \cdot 23,2$ вынесем за скобки общий множитель 0,946.

$0,946 \cdot 26,8 + 0,946 \cdot 23,2 = 0,946 \cdot (26,8 + 23,2)$

Вычислим сумму в скобках:

$26,8 + 23,2 = 50$

Теперь выполним умножение:

$0,946 \cdot 50 = 47,3$

Ответ: 47,3

4) В выражении $7,54 \cdot 3,24 - 7,54 \cdot 3,14$ вынесем за скобки общий множитель 7,54.

$7,54 \cdot 3,24 - 7,54 \cdot 3,14 = 7,54 \cdot (3,24 - 3,14)$

Вычислим разность в скобках:

$3,24 - 3,14 = 0,1$

Теперь выполним умножение:

$7,54 \cdot 0,1 = 0,754$

Ответ: 0,754

931. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $0,47 \cdot 6,32 + 6,32 \cdot 0,53;$

2) $1,25 \cdot 3,54 + 4,46 \cdot 1,25;$

3) $85,6 \cdot 9,2 - 85,3 \cdot 9,2;$

4) $7,12 \cdot 13,9 - 7,12 \cdot 13,4.$

1) Для вычисления значения выражения $0,47 \cdot 6,32 + 6,32 \cdot 0,53$ наиболее удобным способом является использование распределительного свойства умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$. В данном случае общим множителем является $6,32$. Вынесем его за скобки:

$0,47 \cdot 6,32 + 6,32 \cdot 0,53 = 6,32 \cdot (0,47 + 0,53)$

Сначала выполним действие в скобках:

$0,47 + 0,53 = 1$

Теперь умножим полученный результат на общий множитель:

$6,32 \cdot 1 = 6,32$

Ответ: $6,32$

2) В выражении $1,25 \cdot 3,54 + 4,46 \cdot 1,25$ также применим распределительное свойство умножения. Общий множитель здесь $1,25$. Вынесем его за скобки:

$1,25 \cdot 3,54 + 4,46 \cdot 1,25 = 1,25 \cdot (3,54 + 4,46)$

Выполним сложение в скобках:

$3,54 + 4,46 = 8$

Теперь выполним умножение:

$1,25 \cdot 8 = 10$

Ответ: $10$

3) Для вычисления значения выражения $85,6 \cdot 9,2 - 85,3 \cdot 9,2$ используем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$. Общий множитель равен $9,2$. Вынесем его за скобки:

$85,6 \cdot 9,2 - 85,3 \cdot 9,2 = 9,2 \cdot (85,6 - 85,3)$

Выполним вычитание в скобках:

$85,6 - 85,3 = 0,3$

Теперь выполним умножение:

$9,2 \cdot 0,3 = 2,76$

Ответ: $2,76$

4) В выражении $7,12 \cdot 13,9 - 7,12 \cdot 13,4$ снова используем распределительное свойство умножения. Общий множитель $7,12$ выносим за скобки:

$7,12 \cdot 13,9 - 7,12 \cdot 13,4 = 7,12 \cdot (13,9 - 13,4)$

Выполним действие в скобках:

$13,9 - 13,4 = 0,5$

Теперь выполним умножение. Умножение на $0,5$ равносильно делению на $2$:

$7,12 \cdot 0,5 = 7,12 / 2 = 3,56$

Ответ: $3,56$

932. Выразите величины в одинаковых единицах измерения и сравните их:

1) $1,36 \text{ кг}$ и $589,6 \text{ г}$;
2) $2396,4 \text{ г}$ и $2,278 \text{ кг}$;
3) $28,4 \text{ мм}$ и $2,84 \text{ см}$;
4) $92,6 \text{ см}$ и $9,24 \text{ дм}$;
5) $31,6 \text{ кг}$ и $0,432 \text{ ц}$;
6) $85,1 \text{ ц}$ и $8,09 \text{ т}$.

1) Для сравнения величин $1,36 \text{ кг}$ и $589,6 \text{ г}$ приведем их к одной единице измерения, например, к граммам. Зная, что в одном килограмме $1000$ граммов, переведем килограммы в граммы:
$1,36 \text{ кг} = 1,36 \times 1000 \text{ г} = 1360 \text{ г}$.
Теперь сравним полученные значения: $1360 \text{ г} > 589,6 \text{ г}$.
Следовательно, $1,36 \text{ кг} > 589,6 \text{ г}$.
Ответ: $1,36 \text{ кг} > 589,6 \text{ г}$.

2) Сравним $2396,4 \text{ г}$ и $2,278 \text{ кг}$. Переведем граммы в килограммы, разделив на $1000$:
$2396,4 \text{ г} = 2396,4 / 1000 \text{ кг} = 2,3964 \text{ кг}$.
Сравниваем $2,3964 \text{ кг}$ и $2,278 \text{ кг}$.
Так как $2,3964 > 2,278$, то $2396,4 \text{ г} > 2,278 \text{ кг}$.
Ответ: $2396,4 \text{ г} > 2,278 \text{ кг}$.

3) Сравним $28,4 \text{ мм}$ и $2,84 \text{ см}$. Переведем сантиметры в миллиметры. В одном сантиметре $10$ миллиметров:
$2,84 \text{ см} = 2,84 \times 10 \text{ мм} = 28,4 \text{ мм}$.
Сравниваем $28,4 \text{ мм}$ и $28,4 \text{ мм}$.
Величины равны: $28,4 \text{ мм} = 2,84 \text{ см}$.
Ответ: $28,4 \text{ мм} = 2,84 \text{ см}$.

4) Сравним $92,6 \text{ см}$ и $9,24 \text{ дм}$. Переведем дециметры в сантиметры. В одном дециметре $10$ сантиметров:
$9,24 \text{ дм} = 9,24 \times 10 \text{ см} = 92,4 \text{ см}$.
Сравниваем $92,6 \text{ см}$ и $92,4 \text{ см}$.
Так как $92,6 > 92,4$, то $92,6 \text{ см} > 9,24 \text{ дм}$.
Ответ: $92,6 \text{ см} > 9,24 \text{ дм}$.

5) Сравним $31,6 \text{ кг}$ и $0,432 \text{ ц}$. Переведем центнеры в килограммы. В одном центнере $100$ килограммов:
$0,432 \text{ ц} = 0,432 \times 100 \text{ кг} = 43,2 \text{ кг}$.
Сравниваем $31,6 \text{ кг}$ и $43,2 \text{ кг}$.
Так как $31,6 < 43,2$, то $31,6 \text{ кг} < 0,432 \text{ ц}$.
Ответ: $31,6 \text{ кг} < 0,432 \text{ ц}$.

6) Сравним $85,1 \text{ ц}$ и $8,09 \text{ т}$. Переведем тонны в центнеры. В одной тонне $10$ центнеров:
$8,09 \text{ т} = 8,09 \times 10 \text{ ц} = 80,9 \text{ ц}$.
Сравниваем $85,1 \text{ ц}$ и $80,9 \text{ ц}$.
Так как $85,1 > 80,9$, то $85,1 \text{ ц} > 8,09 \text{ т}$.
Ответ: $85,1 \text{ ц} > 8,09 \text{ т}$.

933. Выразите величины в одинаковых единицах измерения и сравните их:

1) 6,4 дм и 64,2 см;

2) 265,8 см и 2,663 м;

3) 4,2 ц и 416,5 кг;

4) 0,8 т и 7,36 ц.

Для сравнения величин необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры. Зная, что в одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), получаем:

$6,4 \text{ дм} = 6,4 \times 10 \text{ см} = 64 \text{ см}$

Теперь сравним полученное значение с второй величиной:

$64 \text{ см} < 64,2 \text{ см}$

Следовательно, $6,4 \text{ дм} < 64,2 \text{ см}$.

Ответ: $6,4 \text{ дм} < 64,2 \text{ см}$.

Приведем обе величины к сантиметрам. В одном метре содержится 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$). Выполним преобразование:

$2,663 \text{ м} = 2,663 \times 100 \text{ см} = 266,3 \text{ см}$

Сравним две величины в сантиметрах:

$265,8 \text{ см} < 266,3 \text{ см}$

Таким образом, $265,8 \text{ см} < 2,663 \text{ м}$.

Ответ: $265,8 \text{ см} < 2,663 \text{ м}$.

Для сравнения этих величин массы переведем центнеры в килограммы. Известно, что один центнер равен 100 килограммам ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).

$4,2 \text{ ц} = 4,2 \times 100 \text{ кг} = 420 \text{ кг}$

Теперь сравним полученное значение с второй величиной:

$420 \text{ кг} > 416,5 \text{ кг}$

Следовательно, $4,2 \text{ ц} > 416,5 \text{ кг}$.

Ответ: $4,2 \text{ ц} > 416,5 \text{ кг}$.

Приведем обе величины к одной единице измерения, например, к центнерам. В одной тонне содержится 10 центнеров ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$).

$0,8 \text{ т} = 0,8 \times 10 \text{ ц} = 8 \text{ ц}$

Сравним полученное значение с второй величиной:

$8 \text{ ц} > 7,36 \text{ ц}$

Таким образом, $0,8 \text{ т} > 7,36 \text{ ц}$.

Ответ: $0,8 \text{ т} > 7,36 \text{ ц}$.

934. При Петре I в России с развитием торговли и промышленности назрела необходимость приведения в определённую систему различных мер. Были утверждены такие единицы длины: верста, сажень, аршин, вершок. $1 \text{ верста} = 500 \text{ саженей}$, $1 \text{ сажень} = 3 \text{ аршина}$, $1 \text{ аршин} = 16 \text{ вершков}$. Скольким километрам равна верста, если $1 \text{ вершок} = 4.445 \text{ см}$?

Для решения задачи необходимо последовательно перевести одну единицу измерения в другую, пока мы не дойдем от версты до сантиметров, а затем перевести полученное значение в километры.

1. Выразим одну версту в вершках.

Из условия задачи нам известны следующие соотношения:

• 1 верста = 500 саженей
• 1 сажень = 3 аршина
• 1 аршин = 16 вершков

Сначала найдем, сколько аршин в одной версте:

$1 \text{ верста} = 500 \text{ саженей} \times 3 \frac{\text{аршина}}{\text{сажень}} = 1500 \text{ аршин}$

Теперь найдем, сколько вершков в одной версте:

$1 \text{ верста} = 1500 \text{ аршин} \times 16 \frac{\text{вершков}}{\text{аршин}} = 24000 \text{ вершков}$

2. Переведем длину версты из вершков в сантиметры.

По условию, 1 вершок равен 4,445 см. Следовательно, длина одной версты в сантиметрах равна:

$24000 \text{ вершков} \times 4,445 \frac{\text{см}}{\text{вершок}} = 106680 \text{ см}$

3. Переведем сантиметры в километры.

В одном метре 100 сантиметров, а в одном километре 1000 метров. Значит, в одном километре:

$100 \frac{\text{см}}{\text{м}} \times 1000 \frac{\text{м}}{\text{км}} = 100000 \frac{\text{см}}{\text{км}}$

Чтобы найти, скольким километрам равна верста, разделим ее длину в сантиметрах на 100000:

$106680 \text{ см} \div 100000 \frac{\text{см}}{\text{км}} = 1,0668 \text{ км}$

Ответ: верста равна 1,0668 км.