Страница 230 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как умножить десятичную дробь на 10? На 100? На 1 000?

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и так далее, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на столько знаков, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

На 10

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно перенести запятую в этой дроби на один знак вправо, так как в числе 10 один ноль.

Пример 1: Умножим $3,1415$ на $10$.
Переносим запятую на один знак вправо: $3,1415 \rightarrow 31,415$.
$3,1415 \times 10 = 31,415$.

Пример 2: Умножим $0,5$ на $10$.
Переносим запятую на один знак вправо, и она оказывается в конце числа, поэтому ее можно не писать: $0,5 \rightarrow 5$.
$0,5 \times 10 = 5$.

Если умножается целое число, можно представить его в виде десятичной дроби, добавив запятую и ноль в конце.

Пример 3: Умножим $12$ на $10$.
Представим $12$ как $12,0$. Переносим запятую на один знак вправо, получается $120$.
$12 \times 10 = 120$.

Ответ: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, надо в этой дроби перенести запятую на один знак вправо.

На 100

Чтобы умножить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую в этой дроби на два знака вправо, так как в числе 100 два ноля.

Пример 1: Умножим $5,6789$ на $100$.
Переносим запятую на два знака вправо: $5,6789 \rightarrow 567,89$.
$5,6789 \times 100 = 567,89$.

Если цифр в дробной части не хватает для переноса запятой, то справа к числу дописывают необходимое количество нулей.

Пример 2: Умножим $2,3$ на $100$.
В числе $2,3$ только одна цифра после запятой, а нам нужно перенести ее на два знака. Допишем справа один ноль: $2,3 = 2,30$. Теперь переносим запятую на два знака вправо: $2,30 \rightarrow 230$.
$2,3 \times 100 = 230$.

Ответ: Чтобы умножить десятичную дробь на 100, надо в этой дроби перенести запятую на два знака вправо.

На 1 000

Чтобы умножить десятичную дробь на 1 000, нужно перенести запятую в этой дроби на три знака вправо, так как в числе 1 000 три ноля.

Пример 1: Умножим $1,23456$ на $1 000$.
Переносим запятую на три знака вправо: $1,23456 \rightarrow 1234,56$.
$1,23456 \times 1000 = 1234,56$.

Пример 2: Умножим $0,45$ на $1 000$.
В числе $0,45$ две цифры после запятой. Нам нужно перенести ее на три знака. Допишем справа один ноль: $0,45 = 0,450$. Теперь переносим запятую на три знака вправо: $0,450 \rightarrow 450$.
$0,45 \times 1000 = 450$.

Пример 3: Умножим $7$ на $1 000$.
Представим $7$ как $7,000$. Переносим запятую на три знака вправо, получается $7000$.
$7 \times 1000 = 7000$.

Ответ: Чтобы умножить десятичную дробь на 1 000, надо в этой дроби перенести запятую на три знака вправо.

2. Как умножить две десятичные дроби?

Чтобы умножить две десятичные дроби, следует выполнить последовательность из трех шагов:

1. Перемножить числа, не обращая внимания на запятые. Выполните умножение так, как будто это обычные целые числа.
2. Посчитать общее количество знаков после запятой. Суммируйте количество цифр после запятой в первом и втором множителях.
3. Поставить запятую в результате. В полученном произведении отделите запятой справа столько цифр, сколько вы насчитали в предыдущем шаге. Если в произведении получилось меньше цифр, чем нужно отделить, добавьте недостающие нули слева от числа.

Пример 1: Умножение $2,5$ на $1,3$

1. Умножаем числа как целые: $25 \times 13 = 325$.

2. Считаем знаки после запятой: в числе $2,5$ — один знак, в числе $1,3$ — тоже один знак. Всего $1 + 1 = 2$ знака.

3. В результате $325$ нужно отделить справа два знака. Ставим запятую после цифры 3. Получаем $3,25$.

Таким образом, $2,5 \times 1,3 = 3,25$.

Пример 2: Умножение $0,12$ на $0,4$

1. Умножаем числа как целые: $12 \times 4 = 48$.

2. Считаем знаки после запятой: в числе $0,12$ — два знака, в числе $0,4$ — один знак. Всего $2 + 1 = 3$ знака.

3. В результате $48$ нужно отделить справа три знака. У нас только две цифры, поэтому добавляем один ноль слева: $048$. Теперь ставим запятую. Получаем $0,048$.

Таким образом, $0,12 \times 0,4 = 0,048$.

Ответ: Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно сначала перемножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении нужно отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

3. Как умножить десятичную дробь на $0.1$? На $0.01$? На $0.001$?

Умножение десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д. равносильно делению этой дроби на 10, 100, 1000 и т.д. соответственно. Для выполнения этого действия существует простое правило.

Общее правило: чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01 или 0,001, нужно в исходной дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько цифр стоит после запятой во втором множителе (в 0,1, 0,01 или 0,001). Если цифр для переноса не хватает, слева от числа дописываются нули.

На 0,1?

Во множителе 0,1 стоит одна цифра после запятой. Следовательно, чтобы умножить любую десятичную дробь на 0,1, необходимо перенести запятую в этой дроби на 1 знак влево.

Например:

$123,45 \times 0,1 = 12,345$ (запятая сместилась на один знак влево)

$5,6 \times 0,1 = 0,56$ (запятая сместилась на один знак влево, и в целой части появился ноль)

Ответ: Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, нужно в ней перенести запятую на один знак влево.

На 0,01?

Во множителе 0,01 стоят две цифры после запятой. Следовательно, чтобы умножить любую десятичную дробь на 0,01, необходимо перенести запятую в этой дроби на 2 знака влево.

Например:

$123,45 \times 0,01 = 1,2345$ (запятая сместилась на два знака влево)

$5,6 \times 0,01 = 0,056$ (чтобы сместить запятую на два знака, пришлось добавить один ноль после запятой)

Ответ: Чтобы умножить десятичную дробь на 0,01, нужно в ней перенести запятую на два знака влево.

На 0,001?

Во множителе 0,001 стоят три цифры после запятой. Следовательно, чтобы умножить любую десятичную дробь на 0,001, необходимо перенести запятую в этой дроби на 3 знака влево.

Например:

$1234,5 \times 0,001 = 1,2345$ (запятая сместилась на три знака влево)

$5,6 \times 0,001 = 0,0056$ (чтобы сместить запятую на три знака, пришлось добавить два нуля после запятой)

Ответ: Чтобы умножить десятичную дробь на 0,001, нужно в ней перенести запятую на три знака влево.

4. Какие свойства умножения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел?

Для дробных чисел, так же как и для натуральных, выполняются все основные свойства умножения. Рассмотрим каждое из них подробнее.

Переместительное свойство умножения

Это свойство утверждает, что от перестановки множителей произведение не изменяется. Для любых дробных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:

$a \cdot b = b \cdot a$

Пример:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$

$\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 3} = \frac{10}{21}$

Следовательно, $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3}$.

Сочетательное свойство умножения

Это свойство позволяет группировать множители произвольным образом. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Для любых дробных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Пример:

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{24} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$

Следовательно, $(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6})$.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Это свойство связывает операции умножения и сложения. Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Для любых дробных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Пример:

$\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{7} + \frac{3}{7}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{28}$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2}{28} + \frac{3}{28} = \frac{5}{28}$

Следовательно, $\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{7} + \frac{3}{7}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7}$.

Также для дробных чисел выполняются свойства умножения на единицу и на ноль.

Свойство умножения на единицу

При умножении любого числа на единицу получается то же самое число. Для любого дробного числа $a$:

$a \cdot 1 = a$

Пример: $\frac{8}{11} \cdot 1 = \frac{8}{11}$.

Свойство умножения на ноль

При умножении любого числа на ноль получается ноль. Для любого дробного числа $a$:

$a \cdot 0 = 0$

Пример: $\frac{3}{5} \cdot 0 = 0$.

Ответ: Для дробных чисел, так же как и для натуральных, выполняются переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения, а также свойства умножения на единицу и на ноль.