Страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Укажите число пять целых девять сотых.

А) $5,9$ Б) $5,90$ В) $5,09$ Г) $5,009$

1.

Чтобы правильно записать число "пять целых девять сотых" в виде десятичной дроби, необходимо проанализировать его составные части.

Целая часть: "пять целых". Это число 5, которое записывается слева от десятичной запятой.

Дробная часть: "девять сотых". Это означает дробь $ \frac{9}{100} $. В десятичной системе счисления первый разряд после запятой обозначает десятые, а второй — сотые. Так как у нас "девять сотых", цифра 9 должна стоять на втором месте после запятой. Поскольку десятые доли в названии числа не упоминаются, на их месте (первое место после запятой) ставится 0. Таким образом, дробная часть записывается как 0,09.

Соединив целую и дробную части, получаем: $ 5 + 0,09 = 5,09 $.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

• А) 5,9 — читается как "пять целых девять десятых".
• Б) 5,90 — читается как "пять целых девяносто сотых", что равно "пяти целым девяти десятым" (5,9).
• В) 5,09 — читается как "пять целых девять сотых". Этот вариант является верным.
• Г) 5,009 — читается как "пять целых девять тысячных".

Ответ: В) 5,09

2. Выразите в килограммах 72 г.

А) 0,072 кг

Б) 0,72 кг

В) 0,0072 кг

Г) 7,2 кг

Чтобы выразить граммы (г) в килограммах (кг), необходимо знать соотношение между этими единицами измерения массы. В одном килограмме содержится 1000 граммов.
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$
Для того чтобы перевести граммы в килограммы, нужно разделить количество граммов на 1000. Выполним это преобразование для 72 граммов:
$72 \text{ г} = \frac{72}{1000} \text{ кг} = 0,072 \text{ кг}$
Таким образом, 72 грамма равны 0,072 килограмма.
Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:
А) 0,072 кг — верный ответ.
Б) 0,72 кг — неверно, это соответствует 720 г ($0,72 \times 1000 = 720$).
В) 0,0072 кг — неверно, это соответствует 7,2 г ($0,0072 \times 1000 = 7,2$).
Г) 7,2 кг — неверно, это соответствует 7200 г ($7,2 \times 1000 = 7200$).

Ответ: А) 0,072 кг

3. Укажите верное неравенство.

А) $13,7 > 13,71$

В) $0,9 < 0,099$

Б) $4,6 > 4,073$

Г) $8,4 < 8,311$

Для того чтобы найти верное неравенство, необходимо проанализировать каждый из предложенных вариантов, сравнивая числа поразрядно слева направо.

А) Сравним неравенство $13,7 > 13,71$.
Целые части чисел равны ($13 = 13$).
Цифры в разряде десятых также равны ($7 = 7$).
Чтобы сравнить сотые, уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль: $13,7 = 13,70$.
Теперь сравним разряды сотых: $0$ у числа $13,70$ и $1$ у числа $13,71$.
Поскольку $0 < 1$, то $13,70 < 13,71$.
Следовательно, неравенство неверно.
Ответ: неверно.

Б) Сравним неравенство $4,6 > 4,073$.
Целые части чисел равны ($4 = 4$).
Сравним цифры в разряде десятых (первая цифра после запятой): $6$ у числа $4,6$ и $0$ у числа $4,073$.
Поскольку $6 > 0$, то $4,6 > 4,073$.
Следовательно, неравенство верно.
Ответ: верно.

В) Сравним неравенство $0,9 < 0,099$.
Целые части чисел равны ($0 = 0$).
Сравним цифры в разряде десятых: $9$ у числа $0,9$ и $0$ у числа $0,099$.
Поскольку $9 > 0$, то $0,9 > 0,099$.
Следовательно, неравенство неверно.
Ответ: неверно.

Г) Сравним неравенство $8,4 < 8,311$.
Целые части чисел равны ($8 = 8$).
Сравним цифры в разряде десятых: $4$ у числа $8,4$ и $3$ у числа $8,311$.
Поскольку $4 > 3$, то $8,4 > 8,311$.
Следовательно, неравенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственное верное неравенство представлено в варианте Б.

4. Сколько существует натуральных значений $x$, при которых верно неравенство $4.36 < x < 10.16$?

А) 4

Б) 5

В) 6

Г) 7

Требуется найти количество натуральных значений $x$, для которых верно неравенство $4,36 < x < 10,16$.

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$). Нам нужно найти все натуральные числа, которые строго больше $4,36$ и строго меньше $10,16$.

1. Наименьшее натуральное число, которое больше $4,36$, это $5$.

2. Наибольшее натуральное число, которое меньше $10,16$, это $10$.

Таким образом, искомые натуральные значения $x$ — это все целые числа от $5$ до $10$ включительно.

Перечислим эти числа: $5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Их количество можно посчитать напрямую, либо по формуле количества целых чисел в отрезке $[a, b]$, которое равно $b - a + 1$.

Количество чисел = $10 - 5 + 1 = 6$.

Следовательно, существует 6 натуральных значений $x$, удовлетворяющих данному неравенству, что соответствует варианту В).

Ответ: В) 6

5. Округлите число 19,254 до десятых.

А) 19,2

Б) 19,25

В) 19,3

Г) 19,26

Решение:

Чтобы округлить число $19,254$ до десятых, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде сотых, то есть на цифру, следующую за разрядом десятых.

1. В числе $19,254$ цифра в разряде десятых — это $2$.

2. Цифра, следующая за ней, в разряде сотых — это $5$.

3. По правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, равна $5$ или больше, то округляемый разряд увеличивается на единицу. Если она меньше $5$, то округляемый разряд не меняется.

4. Поскольку в нашем случае цифра в разряде сотых равна $5$, мы должны увеличить цифру в разряде десятых на $1$: $2 + 1 = 3$.

5. Все цифры после разряда десятых отбрасываются.

Таким образом, число $19,254$, округленное до десятых, равно $19,3$. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: В) 19,3

6. Высоту ящика измерили в миллиметрах. Округлив результат до сантиметров, получили $15$ см. Какой может быть высота ящика в миллиметрах?

А) $156$ мм Б) $146$ мм В) $155$ мм Г) $144$ мм

Условие задачи гласит, что высота ящика, измеренная в миллиметрах, после округления до сантиметров дала результат 15 см. Нам необходимо определить, какой из предложенных вариантов мог быть исходной высотой.

Для решения этой задачи вспомним, как соотносятся сантиметры и миллиметры: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Следовательно, результат 15 см эквивалентен $15 \times 10 = 150 \text{ мм}$.

Округление до ближайшего целого числа (в данном случае, до целого сантиметра) означает, что исходное значение находилось в определённом диапазоне. Если число $x$ при округлении дает 15, то оно должно удовлетворять неравенству:

$14.5 \le x < 15.5$

Поскольку округление производилось до сантиметров, это неравенство относится к высоте, выраженной в сантиметрах. Пусть $h_{см}$ - высота в сантиметрах. Тогда:

$14.5 \le h_{см} < 15.5$

Чтобы найти диапазон возможных значений в миллиметрах ($h_{мм}$), переведем границы этого диапазона из сантиметров в миллиметры, умножив их на 10:

$14.5 \text{ см} \times 10 = 145 \text{ мм}$

$15.5 \text{ см} \times 10 = 155 \text{ мм}$

Таким образом, искомая высота в миллиметрах должна быть в полуинтервале:

$145 \le h_{мм} < 155$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов, чтобы определить, какой из них попадает в этот диапазон.

А) 156 мм

Значение 156 мм не удовлетворяет условию $h_{мм} < 155$. Если перевести 156 мм в сантиметры ($15.6$ см) и округлить, получится 16 см. Следовательно, этот вариант неверный.

Б) 146 мм

Значение 146 мм удовлетворяет условию $145 \le 146 < 155$. Если перевести 146 мм в сантиметры ($14.6$ см) и округлить, получится 15 см. Следовательно, этот вариант является правильным ответом.

В) 155 мм

Значение 155 мм не удовлетворяет условию строгого неравенства $h_{мм} < 155$. По правилам математического округления, $15.5$ см округляется до 16 см. Следовательно, этот вариант неверный.

Г) 144 мм

Значение 144 мм не удовлетворяет условию $145 \le h_{мм}$. Если перевести 144 мм в сантиметры ($14.4$ см) и округлить, получится 14 см. Следовательно, этот вариант неверный.

Единственный подходящий вариант — 146 мм.

Ответ: Б) 146 мм

7. Чему равно значение выражения $ \frac{4}{100} + \frac{7}{1000} $?

А) 0,047

Б) 0,1047

В) 0,407

Г) 0,47

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{4}{100} + \frac{7}{1000}$, можно воспользоваться одним из двух способов: преобразовать обыкновенные дроби в десятичные или привести их к общему знаменателю.

Способ 1: Преобразование в десятичные дроби

Сначала представим каждую обыкновенную дробь в виде десятичной дроби. Дробь $\frac{4}{100}$ читается как "четыре сотых" и записывается как $0,04$. Дробь $\frac{7}{1000}$ читается как "семь тысячных" и записывается как $0,007$.

Теперь сложим полученные десятичные дроби:

$0,04 + 0,007 = 0,047$

Способ 2: Приведение к общему знаменателю

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $100$ и $1000$ — это $1000$.

Приведём дробь $\frac{4}{100}$ к знаменателю $1000$. для этого умножим её числитель и знаменатель на $10$:

$\frac{4}{100} = \frac{4 \cdot 10}{100 \cdot 10} = \frac{40}{1000}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{40}{1000} + \frac{7}{1000} = \frac{40 + 7}{1000} = \frac{47}{1000}$

Преобразуем полученную обыкновенную дробь в десятичную. "Сорок семь тысячных" записывается как $0,047$.

Оба способа дают одинаковый результат $0,047$. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) 0,047

8. Чему равна разность $2400 \text{ м} - 0,6 \text{ км}$?

А) $2,34 \text{ км}$

Б) $2399,4 \text{ м}$

В) $2340 \text{ м}$

Г) $1,8 \text{ км}$

Для того чтобы найти разность $2400 \text{ м} - 0,6 \text{ км}$, необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Вычисление в метрах (м)

Сначала переведем километры в метры. Известно, что в одном километре содержится 1000 метров:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Тогда $0,6 \text{ км}$ в метрах будет:

$0,6 \text{ км} = 0,6 \times 1000 \text{ м} = 600 \text{ м}$

Теперь, когда обе величины выражены в метрах, найдем их разность:

$2400 \text{ м} - 600 \text{ м} = 1800 \text{ м}$

Способ 2: Вычисление в километрах (км)

Переведем метры в километры. Для этого разделим количество метров на 1000:

$2400 \text{ м} = \frac{2400}{1000} \text{ км} = 2,4 \text{ км}$

Теперь, когда обе величины выражены в километрах, найдем их разность:

$2,4 \text{ км} - 0,6 \text{ км} = 1,8 \text{ км}$

Оба способа дали эквивалентный результат, так как $1800 \text{ м} = 1,8 \text{ км}$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, видим, что он соответствует варианту Г).

Ответ: Г) 1,8 км

9. Укажите наибольшую десятичную дробь с двумя цифрами после запятой, меньшую 3.

А) 2,09

Б) 2,99

В) 2,90

Г) 1,99

Для решения задачи необходимо найти наибольшую десятичную дробь среди предложенных вариантов, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Имеет две цифры после запятой.
2. Меньше числа 3.

Все предложенные числа (2,09; 2,99; 2,90; 1,99) являются десятичными дробями с двумя цифрами после запятой.

Проверим второе условие – все ли эти числа меньше 3.

А) 2,09

$2,09 < 3$, так как целая часть 2 меньше 3. Условие выполняется.

Б) 2,99

$2,99 < 3$, так как целая часть 2 меньше 3. Условие выполняется.

В) 2,90

$2,90 < 3$, так как целая часть 2 меньше 3. Условие выполняется.

Г) 1,99

$1,99 < 3$, так как целая часть 1 меньше 3. Условие выполняется.

Поскольку все варианты удовлетворяют заданным условиям, нам нужно выбрать наибольшее из них. Для этого сравним числа: 1,99; 2,09; 2,90; 2,99.

1. Сначала сравниваем целые части. У числа 1,99 целая часть равна 1, а у остальных чисел – 2. Так как $1 < 2$, число 1,99 является наименьшим из всех.

2. Теперь сравним оставшиеся числа: 2,09; 2,90; 2,99. Их целые части одинаковы. Сравниваем цифры в разряде десятых (первая цифра после запятой). - У числа 2,09 это 0. - У чисел 2,90 и 2,99 это 9. Поскольку $0 < 9$, число 2,09 меньше, чем 2,90 и 2,99.

3. Осталось сравнить 2,90 и 2,99. У них совпадают и целые части, и разряды десятых. Сравниваем цифры в разряде сотых (вторая цифра после запятой). - У числа 2,90 это 0. - У числа 2,99 это 9. Так как $0 < 9$, то $2,90 < 2,99$.

Таким образом, наибольшим числом из предложенных является 2,99.

Ответ: Б) 2,99

10. Найдите скорость катера против течения реки, если скорость течения равна $1,8 \text{ км/ч}$, а скорость катера по течению — $18 \text{ км/ч}$.

А) $19,8 \text{ км/ч}$

Б) $15,6 \text{ км/ч}$

В) $16,2 \text{ км/ч}$

Г) $14,4 \text{ км/ч}$

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_{соб}$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде);
$v_{теч}$ — скорость течения реки;
$v_{по}$ — скорость катера по течению;
$v_{против}$ — скорость катера против течения.

По условию задачи дано:
$v_{теч} = 1,8$ км/ч;
$v_{по} = 18$ км/ч.

Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$

Из этой формулы можно найти собственную скорость катера:
$v_{соб} = v_{по} - v_{теч}$
Подставим известные значения:
$v_{соб} = 18 - 1,8 = 16,2$ (км/ч).

Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$

Теперь, зная собственную скорость катера, найдем скорость против течения:
$v_{против} = 16,2 - 1,8 = 14,4$ (км/ч).

Ответ: Г) 14,4 км/ч

11. Решите уравнение $12.8 - (x + 4.723) = 1.05$.

А) 2,423

Б) 16,473

В) 9,127

Г) 7,027

Для решения уравнения $12,8 - (x + 4,723) = 1,05$ необходимо найти значение переменной $x$.

Рассматриваем данное уравнение как разность, где $12,8$ — уменьшаемое, а выражение в скобках $(x + 4,723)$ — вычитаемое. Разность равна $1,05$.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$x + 4,723 = 12,8 - 1,05$

Выполним вычитание в правой части:

$12,80 - 1,05 = 11,75$

Теперь уравнение имеет следующий вид:

$x + 4,723 = 11,75$

В этом уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($11,75$) вычесть известное слагаемое ($4,723$).

$x = 11,75 - 4,723$

Выполним вычитание:

$11,750 - 4,723 = 7,027$

Таким образом, $x = 7,027$.

Проверим полученный результат, подставив его в исходное уравнение:

$12,8 - (7,027 + 4,723) = 1,05$

$12,8 - 11,75 = 1,05$

$1,05 = 1,05$

Равенство верное, значит, корень уравнения найден правильно. Это значение соответствует варианту Г.

Ответ: 7,027

12. Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на 3,2,

а вычитаемое — на 2,8?

А) уменьшится на 0,4

Б) увеличится на 0,4

В) уменьшится на 6

Г) увеличится на 6

Чтобы определить, как изменится разность, введем переменные.

Пусть первоначальное уменьшаемое равно $a$, а первоначальное вычитаемое равно $b$. Тогда исходная разность $c$ вычисляется по формуле:

$c = a - b$

По условию задачи, уменьшаемое увеличили на 3,2, а вычитаемое увеличили на 2,8. Найдем новые значения.

Новое уменьшаемое: $a_{new} = a + 3,2$

Новое вычитаемое: $b_{new} = b + 2,8$

Теперь вычислим новую разность $c_{new}$:

$c_{new} = a_{new} - b_{new} = (a + 3,2) - (b + 2,8)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$c_{new} = a + 3,2 - b - 2,8$

Сгруппируем переменные и числа:

$c_{new} = (a - b) + (3,2 - 2,8)$

Мы знаем, что $a - b$ — это исходная разность $c$. Подставим это в выражение:

$c_{new} = c + (3,2 - 2,8)$

Вычислим разность чисел:

$3,2 - 2,8 = 0,4$

Таким образом, новая разность равна:

$c_{new} = c + 0,4$

Это означает, что первоначальная разность $c$ увеличилась на 0,4.

Ответ: Б) увеличится на 0,4