Страница 235 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

945. На какое число надо умножить число $0,47$, чтобы получить:

1) $47$;

2) $47\,000$;

3) $0,047$;

4) $0,000047$?

Чтобы найти число, на которое нужно умножить 0,47, чтобы получить требуемый результат, необходимо этот результат разделить на 0,47. Пусть искомое число — это $x$.

1) 47;

Составим уравнение: $0,47 \cdot x = 47$.

Чтобы найти $x$, разделим 47 на 0,47:

$x = \frac{47}{0,47} = \frac{47 \cdot 100}{0,47 \cdot 100} = \frac{4700}{47} = 100$.

При умножении десятичной дроби на 100 запятая переносится на два знака вправо: $0,47 \cdot 100 = 47$.

Ответ: 100.

2) 47 000;

Составим уравнение: $0,47 \cdot x = 47 000$.

Чтобы найти $x$, разделим 47 000 на 0,47:

$x = \frac{47000}{0,47} = \frac{47000 \cdot 100}{0,47 \cdot 100} = \frac{4700000}{47} = 100000$.

При умножении на 100 000 запятая переносится на пять знаков вправо: $0,47 \cdot 100000 = 47000$.

Ответ: 100 000.

3) 0,047;

Составим уравнение: $0,47 \cdot x = 0,047$.

Чтобы найти $x$, разделим 0,047 на 0,47:

$x = \frac{0,047}{0,47} = \frac{0,047 \cdot 100}{0,47 \cdot 100} = \frac{4,7}{47} = 0,1$.

При умножении на 0,1 запятая переносится на один знак влево: $0,47 \cdot 0,1 = 0,047$.

Ответ: 0,1.

4) 0,000047?

Составим уравнение: $0,47 \cdot x = 0,000047$.

Чтобы найти $x$, разделим 0,000047 на 0,47:

$x = \frac{0,000047}{0,47} = \frac{0,000047 \cdot 1000000}{0,47 \cdot 1000000} = \frac{47}{470000} = \frac{1}{10000} = 0,0001$.

При умножении на 0,0001 запятая переносится на четыре знака влево: $0,47 \cdot 0,0001 = 0,000047$.

Ответ: 0,0001.

946. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $6,5 \cdot 2,46 - 6,5 \cdot 2,29 - 6,5 \cdot 0,17;$

2) $12,36 \cdot 1,39 + 1,11 \cdot 12,36 - 2,5 \cdot 4,36.$

1) Для вычисления значения выражения $6,5 \cdot 2,46 - 6,5 \cdot 2,29 - 6,5 \cdot 0,17$ наиболее удобным способом является использование распределительного закона умножения. Мы можем вынести общий множитель 6,5 за скобки.

$6,5 \cdot 2,46 - 6,5 \cdot 2,29 - 6,5 \cdot 0,17 = 6,5 \cdot (2,46 - 2,29 - 0,17)$

Теперь выполним действия в скобках в последовательном порядке:

$2,46 - 2,29 = 0,17$

Получаем:

$6,5 \cdot (0,17 - 0,17)$

Далее:

$0,17 - 0,17 = 0$

В результате выражение принимает вид:

$6,5 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

2) В выражении $12,36 \cdot 1,39 + 1,11 \cdot 12,36 - 2,5 \cdot 4,36$ также применим распределительный закон. Сначала сгруппируем первые два слагаемых, так как у них есть общий множитель 12,36, и вынесем его за скобки.

$12,36 \cdot (1,39 + 1,11) - 2,5 \cdot 4,36$

Вычислим сумму в скобках:

$1,39 + 1,11 = 2,5$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:

$12,36 \cdot 2,5 - 2,5 \cdot 4,36$

Мы видим, что у получившихся двух членов есть новый общий множитель 2,5. Снова вынесем его за скобки:

$2,5 \cdot (12,36 - 4,36)$

Вычислим разность в скобках:

$12,36 - 4,36 = 8$

Осталось найти конечное произведение:

$2,5 \cdot 8 = 20$

Ответ: 20

947. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $0.37 \cdot 4.6 - 1.8 \cdot 0.37 + 0.37 \cdot 7.2;$

2) $6.74 \cdot 0.13 + 0.47 \cdot 6.74 + 0.6 \cdot 1.76.$

1) Чтобы вычислить значение выражения $0,37 \cdot 4,6 - 1,8 \cdot 0,37 + 0,37 \cdot 7,2$ наиболее удобным способом, воспользуемся распределительным свойством умножения. Заметим, что число $0,37$ является общим множителем для всех трёх членов выражения. Вынесем его за скобки:
$0,37 \cdot (4,6 - 1,8 + 7,2)$.
Теперь выполним действия в скобках по порядку:
1) $4,6 - 1,8 = 2,8$
2) $2,8 + 7,2 = 10$
В результате выражение сводится к простому умножению:
$0,37 \cdot 10 = 3,7$.
Ответ: 3,7.

2) В выражении $6,74 \cdot 0,13 + 0,47 \cdot 6,74 + 0,6 \cdot 1,76$ наиболее удобным будет последовательное применение распределительного свойства.
Сначала сгруппируем первые два слагаемых, так как у них есть общий множитель $6,74$, и вынесем его за скобки:
$6,74 \cdot (0,13 + 0,47) + 0,6 \cdot 1,76$.
Вычислим сумму в скобках:
$0,13 + 0,47 = 0,6$.
Подставим результат обратно в выражение. Теперь оно выглядит так:
$6,74 \cdot 0,6 + 0,6 \cdot 1,76$.
Мы видим, что у получившихся слагаемых появился новый общий множитель $0,6$. Снова вынесем его за скобки:
$0,6 \cdot (6,74 + 1,76)$.
Вычислим сумму во вторых скобках:
$6,74 + 1,76 = 8,5$.
Осталось выполнить последнее действие:
$0,6 \cdot 8,5 = 5,1$.
Ответ: 5,1.

948. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $0,13p + 0,47p$, если $p = 0,14$;

2) $0,072b - 0,043b$, если $b = 5,4$;

3) $3,8x + 1,7x - 5,4x + 0,1x$, если $x = 0,678$;

4) $8,6c - 3,5c - 0,1c + 0,296$, если $c = 0,58$.

1) Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые. Для этого сложим коэффициенты при переменной $p$:
$0,13p + 0,47p = (0,13 + 0,47)p = 0,6p$.
Теперь подставим данное значение $p = 0,14$ в упрощенное выражение и вычислим:
$0,6 \cdot 0,14 = 0,084$.
Ответ: 0,084

2) Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые. Для этого вычтем коэффициенты при переменной $b$:
$0,072b - 0,043b = (0,072 - 0,043)b = 0,029b$.
Теперь подставим данное значение $b = 5,4$ в упрощенное выражение и вычислим:
$0,029 \cdot 5,4 = 0,1566$.
Ответ: 0,1566

3) Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые. Для этого выполним действия с коэффициентами при переменной $x$:
$3,8x + 1,7x - 5,4x + 0,1x = (3,8 + 1,7 - 5,4 + 0,1)x$.
Выполним вычисления в скобках: $3,8 + 1,7 = 5,5$; $5,5 - 5,4 = 0,1$; $0,1 + 0,1 = 0,2$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $0,2x$.
Теперь подставим данное значение $x = 0,678$ в упрощенное выражение и вычислим:
$0,2 \cdot 0,678 = 0,1356$.
Ответ: 0,1356

4) Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые. Для этого выполним действия с коэффициентами при переменной $c$:
$8,6c - 3,5c - 0,1c + 0,296 = (8,6 - 3,5 - 0,1)c + 0,296$.
Выполним вычисления в скобках: $8,6 - 3,5 = 5,1$; $5,1 - 0,1 = 5$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $5c + 0,296$.
Теперь подставим данное значение $c = 0,58$ в упрощенное выражение и вычислим:
$5 \cdot 0,58 + 0,296 = 2,9 + 0,296 = 3,196$.
Ответ: 3,196

949. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $3,4x + 5,6x$, если $x = 0,08$;

2) $5,4a - 3,9a$, если $a = 0,26$;

3) $1,8m - 0,5m + 0,7m$, если $m = 3,94$;

4) $0,19z - 0,12z + 0,33z - 1,92$, если $z = 8,2$.

1) Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$3,4x + 5,6x = (3,4 + 5,6)x = 9x$.

Теперь подставим в полученное выражение значение $x = 0,08$:

$9x = 9 \cdot 0,08 = 0,72$.

Ответ: 0,72.

2) Упростим выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$5,4a - 3,9a = (5,4 - 3,9)a = 1,5a$.

Подставим в полученное выражение значение $a = 0,26$:

$1,5a = 1,5 \cdot 0,26 = 0,39$.

Ответ: 0,39.

3) Сначала приведем подобные слагаемые с множителем $m$:

$1,8m - 0,5m + 0,7m = (1,8 - 0,5 + 0,7)m$.

Выполним действия в скобках: $1,8 - 0,5 = 1,3$, затем $1,3 + 0,7 = 2$.

Таким образом, упрощенное выражение равно $2m$.

Теперь подставим значение $m = 3,94$:

$2m = 2 \cdot 3,94 = 7,88$.

Ответ: 7,88.

4) Сначала упростим выражение, сгруппировав слагаемые с переменной $z$:

$0,19z - 0,12z + 0,33z - 1,92 = (0,19 - 0,12 + 0,33)z - 1,92$.

Вычислим значение в скобках: $0,19 - 0,12 = 0,07$, затем $0,07 + 0,33 = 0,4$.

Упрощенное выражение: $0,4z - 1,92$.

Теперь подставим значение $z = 8,2$ в это выражение:

$0,4 \cdot 8,2 - 1,92 = 3,28 - 1,92 = 1,36$.

Ответ: 1,36.

950. Лодка плыла 1,8 ч по течению реки и 2,6 ч против течения. Какой путь проплыла лодка за всё время движения, если скорость течения равна 2,4 км/ч, а собственная скорость лодки — 18,9 км/ч?

Чтобы найти общий путь, который проплыла лодка, нужно сложить путь, пройденный по течению, и путь, пройденный против течения. Для этого сначала вычислим скорости лодки и соответствующие им расстояния.

1. Найдём путь, пройденный лодкой по течению реки.

Скорость лодки по течению равна сумме её собственной скорости и скорости течения:

$18,9 + 2,4 = 21,3$ км/ч.

За 1,8 часа по течению лодка проплыла:

$21,3 \times 1,8 = 38,34$ км.

2. Найдём путь, пройденный лодкой против течения реки.

Скорость лодки против течения равна разности её собственной скорости и скорости течения:

$18,9 - 2,4 = 16,5$ км/ч.

За 2,6 часа против течения лодка проплыла:

$16,5 \times 2,6 = 42,9$ км.

3. Найдём общий путь, пройденный лодкой.

Сложим расстояния, пройденные по течению и против течения:

$38,34 + 42,9 = 81,24$ км.

Ответ: 81,24 км.

951. Теплоход шёл $4,5 \text{ ч}$ против течения и $0,8 \text{ ч}$ по течению реки. Какой путь прошёл теплоход, если его скорость против течения равна $24,6 \text{ км/ч}$, а скорость течения — $1,8 \text{ км/ч}$?

Для того чтобы найти, какой путь прошёл теплоход, нужно вычислить расстояние, пройденное по течению и против течения, а затем сложить эти расстояния.

1. Вычислим расстояние, пройденное теплоходом против течения.
По условию, скорость теплохода против течения ($v_{против}$) равна 24,6 км/ч, а время движения ($t_{против}$) составляет 4,5 ч. Расстояние ($S$) находится по формуле $S = v \cdot t$.
$S_{против} = 24,6 \, \text{км/ч} \cdot 4,5 \, \text{ч} = 110,7 \, \text{км}$.

2. Вычислим скорость теплохода по течению.
Сначала найдём собственную скорость теплохода ($v_{собст}$). Она равна сумме скорости против течения и скорости течения ($v_{теч}$).
$v_{собст} = v_{против} + v_{теч} = 24,6 \, \text{км/ч} + 1,8 \, \text{км/ч} = 26,4 \, \text{км/ч}$.
Теперь найдём скорость теплохода по течению ($v_{по}$), которая равна сумме собственной скорости и скорости течения.
$v_{по} = v_{собст} + v_{теч} = 26,4 \, \text{км/ч} + 1,8 \, \text{км/ч} = 28,2 \, \text{км/ч}$.

3. Вычислим расстояние, пройденное теплоходом по течению.
Время движения по течению ($t_{по}$) равно 0,8 ч.
$S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = 28,2 \, \text{км/ч} \cdot 0,8 \, \text{ч} = 22,56 \, \text{км}$.

4. Вычислим общий путь, пройденный теплоходом.
Общий путь ($S_{общ}$) — это сумма расстояний, пройденных против течения и по течению.
$S_{общ} = S_{против} + S_{по} = 110,7 \, \text{км} + 22,56 \, \text{км} = 133,26 \, \text{км}$.

Ответ: 133,26 км.

952. 1) Одна из сторон прямоугольника равна 2,3 м, что на 3,4 м меньше соседней стороны. Вычислите площадь и периметр прямоугольника.

2) Сторона квадрата равна 3,2 см. Вычислите его площадь и периметр.

1)

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Из условия задачи известно, что одна из сторон равна 2,3 м. Пусть $a = 2,3$ м.

Также сказано, что эта сторона на 3,4 м меньше соседней стороны. Это означает, что соседняя сторона $b$ на 3,4 м больше, чем сторона $a$.

Найдем длину второй стороны:

$b = a + 3,4 = 2,3 + 3,4 = 5,7$ м.

Теперь вычислим площадь $S$ и периметр $P$ прямоугольника.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$:

$S = 2,3 \cdot 5,7 = 13,11$ м$^2$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$:

$P = 2 \cdot (2,3 + 5,7) = 2 \cdot 8 = 16$ м.

Ответ: площадь прямоугольника равна 13,11 м$^2$, а периметр — 16 м.

2)

Обозначим сторону квадрата как $a$.

По условию, $a = 3,2$ см.

Вычислим площадь $S$ и периметр $P$ квадрата.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$:

$S = (3,2)^2 = 3,2 \cdot 3,2 = 10,24$ см$^2$.

Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$:

$P = 4 \cdot 3,2 = 12,8$ см.

Ответ: площадь квадрата равна 10,24 см$^2$, а периметр — 12,8 см.

953. Одна из сторон прямоугольника равна 5,8 дм, что на 1,3 дм больше соседней стороны. Вычислите площадь и периметр прямоугольника.

Для решения задачи сначала найдем длину второй стороны прямоугольника.

Пусть известная сторона $a = 5,8$ дм. По условию, она на $1,3$ дм больше соседней стороны, которую мы обозначим как $b$.

Чтобы найти длину стороны $b$, необходимо из длины стороны $a$ вычесть разницу:

$b = a - 1,3 \text{ дм} = 5,8 \text{ дм} - 1,3 \text{ дм} = 4,5 \text{ дм}$.

Теперь у нас есть длины обеих сторон прямоугольника: $a = 5,8$ дм и $b = 4,5$ дм.

Вычислите площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению длин его соседних сторон. Формула для вычисления площади:

$S = a \cdot b$

Подставим значения длин сторон в формулу:

$S = 5,8 \cdot 4,5 = 26,1$ дм².

Ответ: площадь прямоугольника равна $26,1$ дм².

Вычислите периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника ($P$) равен удвоенной сумме длин его соседних сторон. Формула для вычисления периметра:

$P = 2 \cdot (a + b)$

Подставим значения длин сторон в формулу:

$P = 2 \cdot (5,8 + 4,5) = 2 \cdot 10,3 = 20,6$ дм.

Ответ: периметр прямоугольника равен $20,6$ дм.

954. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4,6 см, 2,4 см и 3,6 см. Найдите:

1) сумму длин всех его рёбер;

2) площадь его поверхности;

3) его объём.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда как длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$.
Согласно условию задачи:
$a = 4,6$ см
$b = 2,4$ см
$c = 3,6$ см

1) сумму длин всех его рёбер
Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер: по 4 ребра каждой длины. Сумма длин всех рёбер $L$ находится по формуле:
$L = 4(a + b + c)$
Подставим значения измерений в формулу:
$L = 4(4,6 + 2,4 + 3,6) = 4(10,6) = 42,4$ см.
Ответ: 42,4 см.

2) площадь его поверхности
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда $S$ равна сумме площадей всех его шести граней. Поскольку противоположные грани равны, формула имеет вид:
$S = 2(ab + ac + bc)$
Подставим значения и произведём вычисления:
$S = 2(4,6 \cdot 2,4 + 4,6 \cdot 3,6 + 2,4 \cdot 3,6)$
$S = 2(11,04 + 16,56 + 8,64)$
$S = 2(36,24) = 72,48$ см².
Ответ: 72,48 см².

3) его объём
Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется как произведение трёх его измерений (длины, ширины и высоты) по формуле:
$V = a \cdot b \cdot c$
Подставим значения в формулу:
$V = 4,6 \cdot 2,4 \cdot 3,6 = 11,04 \cdot 3,6 = 39,744$ см³.
Ответ: 39,744 см³.

955. Ребро куба равно 0,6 дм. Найдите:

1) сумму длин всех его рёбер;

2) площадь его поверхности;

3) его объём.

Дано, что ребро куба $a = 0,6$ дм.

1) сумму длин всех его рёбер
Куб имеет 12 рёбер одинаковой длины. Чтобы найти сумму длин всех рёбер, необходимо длину одного ребра умножить на их количество.
Формула для суммы длин всех рёбер $L$:
$L = 12 \cdot a$
Подставим значение $a = 0,6$ дм:
$L = 12 \cdot 0,6 = 7,2$ дм.
Ответ: 7,2 дм.

2) площадь его поверхности
Поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых представляет собой квадрат со стороной, равной ребру куба. Площадь одной грани равна $a^2$. Площадь полной поверхности куба равна сумме площадей всех его шести граней.
Формула для площади поверхности $S$:
$S = 6 \cdot a^2$
Подставим значение $a = 0,6$ дм:
$S = 6 \cdot (0,6)^2 = 6 \cdot 0,36 = 2,16$ дм².
Ответ: 2,16 дм².

3) его объём
Объём куба вычисляется как третья степень длины его ребра.
Формула для объёма $V$:
$V = a^3$
Подставим значение $a = 0,6$ дм:
$V = (0,6)^3 = 0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,216$ дм³.
Ответ: 0,216 дм³.

956. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 4,5 см, что в 2 раза меньше его длины и на 0,9 см больше его высоты. Найдите:

1) сумму длин всех его рёбер;

2) площадь его поверхности;

3) его объём.

Для решения задачи сначала найдём все три измерения прямоугольного параллелепипеда: длину, ширину и высоту.

Обозначим длину как $a$, ширину как $b$, и высоту как $c$.

Из условия задачи нам известно:

• Ширина $b = 4,5$ см.
• Ширина в 2 раза меньше длины. Это означает, что длина в 2 раза больше ширины. Найдём длину $a$:
  $a = b \cdot 2 = 4,5 \cdot 2 = 9$ см.
• Ширина на 0,9 см больше высоты. Это означает, что высота на 0,9 см меньше ширины. Найдём высоту $c$:
  $c = b - 0,9 = 4,5 - 0,9 = 3,6$ см.

Таким образом, мы определили все размеры параллелепипеда: $a = 9$ см, $b = 4,5$ см, $c = 3,6$ см.

Теперь мы можем найти требуемые величины.

1) сумму длин всех его рёбер

У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер: по 4 ребра каждой длины ($a$, $b$, $c$). Сумма длин всех рёбер $L$ находится по формуле:

$L = 4 \cdot (a + b + c)$

Подставим значения наших измерений в формулу:

$L = 4 \cdot (9 + 4,5 + 3,6) = 4 \cdot 17,1 = 68,4$ см.

Ответ: 68,4 см.

2) площадь его поверхности

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда $S$ — это сумма площадей всех его шести граней. Она вычисляется по формуле:

$S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$

Подставим значения в формулу:

$S = 2 \cdot (9 \cdot 4,5 + 4,5 \cdot 3,6 + 9 \cdot 3,6)$

$S = 2 \cdot (40,5 + 16,2 + 32,4)$

$S = 2 \cdot 89,1 = 178,2$ $см^2$.

Ответ: 178,2 $см^2$.

3) его объём

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ равен произведению трёх его измерений:

$V = a \cdot b \cdot c$

Подставим известные значения:

$V = 9 \cdot 4,5 \cdot 3,6 = 40,5 \cdot 3,6 = 145,8$ $см^3$.

Ответ: 145,8 $см^3$.