Страница 231 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

[ ] $\rightarrow - 2,16 \rightarrow$ ( ) $\rightarrow + 1,4 \rightarrow$ (3,24) $\rightarrow + \text{\underline{\hspace{0.5em}}} \rightarrow$ (6) $\rightarrow + \text{\underline{\hspace{0.5em}}} \rightarrow$ [7,2]

Для того чтобы найти все недостающие числа в цепочке вычислений, необходимо решить несколько подзадач, последовательно находя каждое неизвестное значение.

Нахождение числа в первом круге

Обозначим неизвестное число в первом круге за $x$. Из схемы следует, что если к этому числу прибавить $1,4$, то получится $3,24$. Составим уравнение:

$x + 1,4 = 3,24$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы ($3,24$) вычесть известное слагаемое ($1,4$):

$x = 3,24 - 1,4 = 1,84$

Ответ: число в первом круге равно $1,84$.

Нахождение числа в первом квадрате

Обозначим неизвестное число в первом квадрате за $y$. Мы уже знаем, что число в первом круге равно $1,84$. Из схемы следует, что если из числа $y$ вычесть $2,16$, то получится $1,84$. Составим уравнение:

$y - 2,16 = 1,84$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $y$, нужно к разности ($1,84$) прибавить вычитаемое ($2,16$):

$y = 1,84 + 2,16 = 4$

Ответ: число в первом квадрате равно $4$.

Нахождение числа на третьей стрелке

Обозначим неизвестное число, которое прибавляется к $3,24$, за $a$. В результате этого сложения получается $6$. Составим уравнение:

$3,24 + a = 6$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $a$, нужно из суммы ($6$) вычесть известное слагаемое ($3,24$):

$a = 6 - 3,24 = 2,76$

Ответ: число на третьей стрелке равно $2,76$.

Нахождение числа на четвертой стрелке

Обозначим неизвестное число, которое прибавляется к $6$, за $b$. В результате этого сложения получается $7,2$. Составим уравнение:

$6 + b = 7,2$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $b$, нужно из суммы ($7,2$) вычесть известное слагаемое ($6$):

$b = 7,2 - 6 = 1,2$

Ответ: число на четвертой стрелке равно $1,2$.

2. Какое число:

1) на 2,06 меньше 3,6;

2) на 3,5 больше 7,05;

3) в 2 раза больше 27;

4) в 5 раз меньше 205?

1) на 2,06 меньше 3,6;

Чтобы найти число, которое на 2,06 меньше, чем 3,6, необходимо выполнить вычитание:

$3,6 - 2,06 = 1,54$

Ответ: 1,54

2) на 3,5 больше 7,05;

Чтобы найти число, которое на 3,5 больше, чем 7,05, необходимо выполнить сложение:

$7,05 + 3,5 = 10,55$

Ответ: 10,55

3) в 2 раза больше 27;

Чтобы найти число, которое в 2 раза больше, чем 27, необходимо выполнить умножение:

$27 \cdot 2 = 54$

Ответ: 54

4) в 5 раз меньше 205?

Чтобы найти число, которое в 5 раз меньше, чем 205, необходимо выполнить деление:

$205 : 5 = 41$

Ответ: 41

3. Выполните умножение:

1) $4 \cdot 1000$;

2) $36 \cdot 100$;

3) $72 \cdot 10$;

4) $370 \cdot 100$.

1) Чтобы умножить натуральное число на 1000, нужно приписать к этому числу справа три нуля, так как число 1000 содержит три нуля. В данном случае умножаем 4 на 1000.

$4 \cdot 1000 = 4000$

Ответ: 4000.

2) Чтобы умножить натуральное число на 100, необходимо приписать к нему справа два нуля. Умножаем 36 на 100.

$36 \cdot 100 = 3600$

Ответ: 3600.

3) Чтобы умножить натуральное число на 10, нужно приписать к нему справа один ноль. Умножаем 72 на 10.

$72 \cdot 10 = 720$

Ответ: 720.

4) Чтобы умножить число 370 на 100, необходимо приписать к числу 370 справа два нуля, так как множитель 100 имеет два нуля.

$370 \cdot 100 = 37000$

Ответ: 37000.

4. Упростите выражение:

1) $13a \cdot 2b;$

2) $28m \cdot 5n;$

3) $6p \cdot 8q \cdot 2c;$

4) $5a \cdot 4b \cdot 9c;$

5) $5x - 3x + 4x;$

6) $7y + 6y - y;$

7) $10a - 9a + 8;$

8) $8c - 3c + c - 7.$

1) Для упрощения выражения $13a \cdot 2b$ необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные. Это делается путем перемножения чисел отдельно и переменных отдельно.

$13a \cdot 2b = (13 \cdot 2) \cdot (a \cdot b) = 26ab$

Ответ: $26ab$.

2) В выражении $28m \cdot 5n$ перемножим числовые коэффициенты $28$ и $5$, а также переменные $m$ и $n$.

$28m \cdot 5n = (28 \cdot 5) \cdot (m \cdot n) = 140mn$

Ответ: $140mn$.

3) Чтобы упростить выражение $6p \cdot 8q \cdot 2c$, нужно перемножить все числовые коэффициенты и все переменные.

$6p \cdot 8q \cdot 2c = (6 \cdot 8 \cdot 2) \cdot (p \cdot q \cdot c) = 48 \cdot 2 \cdot pqc = 96pqc$

Ответ: $96pqc$.

4) Аналогично предыдущему примеру, перемножим коэффициенты и переменные в выражении $5a \cdot 4b \cdot 9c$.

$5a \cdot 4b \cdot 9c = (5 \cdot 4 \cdot 9) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 20 \cdot 9 \cdot abc = 180abc$

Ответ: $180abc$.

5) В выражении $5x - 3x + 4x$ все слагаемые являются подобными, так как содержат одну и ту же переменную $x$. Для упрощения нужно сложить и вычесть их коэффициенты.

$5x - 3x + 4x = (5 - 3 + 4)x = (2 + 4)x = 6x$

Ответ: $6x$.

6) В выражении $7y + 6y - y$ все слагаемые также являются подобными. Коэффициент у слагаемого $-y$ равен $-1$. Приведем подобные слагаемые.

$7y + 6y - y = (7 + 6 - 1)y = (13 - 1)y = 12y$

Ответ: $12y$.

7) В выражении $10a - 9a + 8$ есть два подобных слагаемых ($10a$ и $-9a$) и одно числовое слагаемое ($8$). Упростим, выполнив действие с подобными слагаемыми.

$10a - 9a + 8 = (10 - 9)a + 8 = 1a + 8 = a + 8$

Ответ: $a + 8$.

8) В выражении $8c - 3c + c - 7$ сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Коэффициент у слагаемого $c$ равен $1$.

$8c - 3c + c - 7 = (8 - 3 + 1)c - 7 = (5 + 1)c - 7 = 6c - 7$

Ответ: $6c - 7$.

5. Укажите цифру, которую надо поставить в запись $*,4 + *,5 + *,6 = 7,5$ вместо звёздочек так, чтобы полученное равенство оказалось верным.

Для решения задачи заменим звёздочки на неизвестную цифру, которую обозначим переменной $x$. Поскольку звёздочки стоят в разряде единиц десятичных дробей, мы получаем следующее уравнение:

$x,4 + x,5 + x,6 = 7,5$

Это равенство можно представить в виде суммы целых и дробных частей каждого слагаемого:

$(x + 0,4) + (x + 0,5) + (x + 0,6) = 7,5$

Теперь сгруппируем и сложим отдельно целые части (переменные $x$) и отдельно дробные части:

$(x + x + x) + (0,4 + 0,5 + 0,6) = 7,5$

Выполним сложение в скобках:

$3x + 1,5 = 7,5$

Чтобы найти $3x$, вычтем 1,5 из обеих частей уравнения:

$3x = 7,5 - 1,5$

$3x = 6$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Следовательно, искомая цифра – это 2.

Сделаем проверку, подставив 2 вместо звёздочек в исходное выражение:

$2,4 + 2,5 + 2,6 = 4,9 + 2,6 = 7,5$

$7,5 = 7,5$

Равенство верно.

Ответ: 2

6. Во сколько раз двузначных чисел больше, чем однозначных?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сначала посчитать, сколько существует однозначных и двузначных натуральных чисел.

1. Однозначные натуральные числа — это числа от 1 до 9. Всего их 9.

2. Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99. Чтобы найти их количество, можно из общего количества чисел от 1 до 99 (их 99) вычесть количество однозначных чисел (их 9).
Количество двузначных чисел: $99 - 9 = 90$.

3. Теперь, чтобы узнать, во сколько раз двузначных чисел больше, чем однозначных, необходимо разделить количество двузначных чисел на количество однозначных:
$90 / 9 = 10$.

Таким образом, двузначных чисел в 10 раз больше, чем однозначных.

Ответ: 10

909. Сколько цифр записано справа от запятой в произведении чисел:

1) $4,2$ и $8,14$;

2) $9,36$ и $19,426$;

3) $0,018$ и $0,001$?

Чтобы определить, сколько цифр будет записано справа от запятой в произведении двух десятичных дробей, необходимо сложить количество цифр, стоящих справа от запятой в каждом из множителей. Это правило действует, если последний знак в произведении не является нулем. Если произведение оканчивается на ноль, то этот ноль в дробной части отбрасывается, и количество знаков после запятой уменьшается. В данных примерах произведение не будет оканчиваться на ноль (42 * 814 оканчивается на 8; 936 * 19426 оканчивается на 6; 18 * 1 оканчивается на 8).

1) 4,2 и 8,14
В первом множителе (4,2) одна цифра справа от запятой.
Во втором множителе (8,14) две цифры справа от запятой.
Следовательно, в произведении будет $1 + 2 = 3$ цифры справа от запятой.
Проверим: $4,2 \times 8,14 = 34,188$.
Ответ: 3.

2) 9,36 и 19,426
В первом множителе (9,36) две цифры справа от запятой.
Во втором множителе (19,426) три цифры справа от запятой.
Следовательно, в произведении будет $2 + 3 = 5$ цифр справа от запятой.
Проверим: $9,36 \times 19,426 = 181,82736$.
Ответ: 5.

3) 0,018 и 0,001
В первом множителе (0,018) три цифры справа от запятой.
Во втором множителе (0,001) три цифры справа от запятой.
Следовательно, в произведении будет $3 + 3 = 6$ цифр справа от запятой.
Проверим: $0,018 \times 0,001 = 0,000018$.
Ответ: 6.

910. Найдите произведение:

1) $6,58 \cdot 10;$

2) $6,58 \cdot 100;$

3) $6,58 \cdot 1000;$

4) $6,58 \cdot 10000.$

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на столько знаков, сколько нулей содержится в множителе (10, 100, 1000 и т.д.).

1) 6,58 ⋅ 10

В числе 10 один ноль, поэтому переносим запятую в числе 6,58 на один знак вправо:

$6,58 \cdot 10 = 65,8$

Ответ: $65,8$

2) 6,58 ⋅ 100

В числе 100 два ноля, поэтому переносим запятую в числе 6,58 на два знака вправо:

$6,58 \cdot 100 = 658$

Ответ: $658$

3) 6,58 ⋅ 1 000

В числе 1 000 три ноля. Чтобы перенести запятую в числе 6,58 на три знака вправо, необходимо добавить один ноль в конце числа, так как в дробной части всего две цифры.

$6,58 \cdot 1000 = 6580$

Ответ: $6580$

4) 6,58 ⋅ 10 000

В числе 10 000 четыре ноля. Чтобы перенести запятую в числе 6,58 на четыре знака вправо, необходимо добавить два ноля в конце числа.

$6,58 \cdot 10000 = 65800$

Ответ: $65800$

911. Выполните умножение:

1) $9.6 \cdot 10;$

2) $0.065 \cdot 100;$

3) $7.03 \cdot 100;$

4) $32.97 \cdot 1000;$

5) $8.1 \cdot 10000;$

6) $0.028 \cdot 10000.$

1) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно перенести запятую в этой дроби на один знак вправо. В числе 9,6 переносим запятую на один знак вправо и получаем 96.

$9,6 \cdot 10 = 96$

Ответ: 96

2) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую в этой дроби на два знака вправо. В числе 0,065 переносим запятую на два знака вправо и получаем 6,5.

$0,065 \cdot 100 = 6,5$

Ответ: 6,5

3) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую в этой дроби на два знака вправо. В числе 7,03 переносим запятую на два знака вправо и получаем 703.

$7,03 \cdot 100 = 703$

Ответ: 703

4) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, нужно перенести запятую в этой дроби на три знака вправо. В числе 32,97 после запятой стоят только две цифры, поэтому, чтобы перенести запятую на три знака, мы дописываем в конце числа один ноль: 32,970. Теперь переносим запятую на три знака вправо и получаем 32970.

$32,97 \cdot 1000 = 32970$

Ответ: 32970

5) Чтобы умножить десятичную дробь на 10 000, нужно перенести запятую в этой дроби на четыре знака вправо. В числе 8,1 после запятой стоит только одна цифра. Дописываем в конце числа три ноля, чтобы можно было перенести запятую на четыре знака: 8,1000. Переносим запятую и получаем 81000.

$8,1 \cdot 10000 = 81000$

Ответ: 81000

6) Чтобы умножить десятичную дробь на 10 000, нужно перенести запятую в этой дроби на четыре знака вправо. В числе 0,028 после запятой стоят три цифры. Дописываем в конце числа один ноль: 0,0280. Переносим запятую на четыре знака вправо и получаем 280.

$0,028 \cdot 10000 = 280$

Ответ: 280

912. Выполните умножение:

1) $3,284 \cdot 10;$

2) $6,3 \cdot 100;$

3) $4,125 \cdot 1\ 000;$

4) $924,587 \cdot 100\ 000.$

1) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби на один знак вправо.
$3,284 \cdot 10 = 32,84$
Ответ: $32,84$.

2) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую на два знака вправо. Так как в числе $6,3$ после запятой только одна цифра, необходимо дописать один ноль.
$6,3 \cdot 100 = 630$
Ответ: $630$.

3) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую на три знака вправо.
$4,125 \cdot 1000 = 4125$
Ответ: $4125$.

4) Чтобы умножить десятичную дробь на 100 000, необходимо перенести запятую на пять знаков вправо. В числе $924,587$ после запятой три цифры, поэтому необходимо дописать еще два ноля, чтобы перенести запятую на пять знаков.
$924,587 \cdot 100000 = 92458700$
Ответ: $92458700$.

913. Известно, что $428 \cdot 76 = 32528$. Поставьте в правой части равенства запятую так, чтобы умножение было выполнено правильно:

1) $4,28 \cdot 76 = 32528$;

2) $42,8 \cdot 7,6 = 32528$;

3) $4,28 \cdot 7,6 = 32528$;

4) $42,8 \cdot 0,76 = 32528$;

5) $0,428 \cdot 7,6 = 32528$;

6) $0,428 \cdot 0,076 = 32528$.

Для решения этой задачи необходимо применить правило умножения десятичных дробей. Согласно этому правилу, нужно сначала перемножить числа, игнорируя запятые (в нашем случае результат этого действия уже дан: $428 \cdot 76 = 32528$). Затем в полученном произведении следует отделить запятой справа столько цифр, сколько знаков после запятой находится в обоих множителях в сумме.

1) В выражении $4,28 \cdot 76$ первый множитель ($4,28$) имеет 2 знака после запятой, а второй ($76$) — 0. Общее количество десятичных знаков: $2 + 0 = 2$. В результате $32528$ отделяем 2 знака справа, получая $325,28$.
Правильное равенство: $4,28 \cdot 76 = 325,28$.
Ответ: $325,28$.

2) В выражении $42,8 \cdot 7,6$ первый множитель ($42,8$) имеет 1 знак после запятой, и второй множитель ($7,6$) также имеет 1 знак. Общее количество десятичных знаков: $1 + 1 = 2$. В результате $32528$ отделяем 2 знака справа, получая $325,28$.
Правильное равенство: $42,8 \cdot 7,6 = 325,28$.
Ответ: $325,28$.

3) В выражении $4,28 \cdot 7,6$ первый множитель ($4,28$) имеет 2 знака после запятой, а второй ($7,6$) — 1 знак. Общее количество десятичных знаков: $2 + 1 = 3$. В результате $32528$ отделяем 3 знака справа, получая $32,528$.
Правильное равенство: $4,28 \cdot 7,6 = 32,528$.
Ответ: $32,528$.

4) В выражении $42,8 \cdot 0,76$ первый множитель ($42,8$) имеет 1 знак после запятой, а второй ($0,76$) — 2 знака. Общее количество десятичных знаков: $1 + 2 = 3$. В результате $32528$ отделяем 3 знака справа, получая $32,528$.
Правильное равенство: $42,8 \cdot 0,76 = 32,528$.
Ответ: $32,528$.

5) В выражении $0,428 \cdot 7,6$ первый множитель ($0,428$) имеет 3 знака после запятой, а второй ($7,6$) — 1 знак. Общее количество десятичных знаков: $3 + 1 = 4$. В результате $32528$ отделяем 4 знака справа, получая $3,2528$.
Правильное равенство: $0,428 \cdot 7,6 = 3,2528$.
Ответ: $3,2528$.

6) В выражении $0,428 \cdot 0,076$ первый множитель ($0,428$) имеет 3 знака после запятой, и второй ($0,076$) также имеет 3 знака. Общее количество десятичных знаков: $3 + 3 = 6$. В числе $32528$ всего 5 цифр, поэтому для отделения 6 знаков необходимо добавить спереди недостающие нули. Получаем $0,032528$.
Правильное равенство: $0,428 \cdot 0,076 = 0,032528$.
Ответ: $0,032528$.