Страница 227 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

902. Выразите данные величины в арах и выполните действия:

1) $3 \text{ а } 82 \text{ м}^2 + 8 \text{ а } 9 \text{ м}^2;$

2) $28 \text{ а } 7 \text{ м}^2 + 14 \text{ а } 26 \text{ м}^2;$

3) $57 \text{ а } 22 \text{ м}^2 - 48 \text{ а } 4 \text{ м}^2;$

4) $41 \text{ а } 5 \text{ м}^2 - 36 \text{ а } 19 \text{ м}^2;$

5) $9 \text{ га } 6 \text{ а } 8 \text{ м}^2 + 18 \text{ а } 10 \text{ м}^2;$

6) $24 \text{ га } 8 \text{ а } 4 \text{ м}^2 - 24 \text{ а } 20 \text{ м}^2.$

Для решения задачи необходимо выразить все данные величины в арах (а), а затем выполнить указанные действия. Будем использовать следующие соотношения единиц площади:
$1 \text{ ар (а)} = 100 \text{ квадратных метров (м}^2\text{)}$
$1 \text{ гектар (га)} = 100 \text{ ар (а)}$

1) $3 \text{ а } 82 \text{ м}^2 + 8 \text{ а } 9 \text{ м}^2$

Сначала переведем каждую величину в ары:
$3 \text{ а } 82 \text{ м}^2 = 3 + \frac{82}{100} \text{ а} = 3,82 \text{ а}$
$8 \text{ а } 9 \text{ м}^2 = 8 + \frac{9}{100} \text{ а} = 8,09 \text{ а}$
Теперь выполним сложение:
$3,82 \text{ а} + 8,09 \text{ а} = 11,91 \text{ а}$

Ответ: $11,91 \text{ а}$.

2) $28 \text{ а } 7 \text{ м}^2 + 14 \text{ а } 26 \text{ м}^2$

Переведем величины в ары:
$28 \text{ а } 7 \text{ м}^2 = 28 + \frac{7}{100} \text{ а} = 28,07 \text{ а}$
$14 \text{ а } 26 \text{ м}^2 = 14 + \frac{26}{100} \text{ а} = 14,26 \text{ а}$
Выполним сложение:
$28,07 \text{ а} + 14,26 \text{ а} = 42,33 \text{ а}$

Ответ: $42,33 \text{ а}$.

3) $57 \text{ а } 22 \text{ м}^2 - 48 \text{ а } 4 \text{ м}^2$

Переведем величины в ары:
$57 \text{ а } 22 \text{ м}^2 = 57 + \frac{22}{100} \text{ а} = 57,22 \text{ а}$
$48 \text{ а } 4 \text{ м}^2 = 48 + \frac{4}{100} \text{ а} = 48,04 \text{ а}$
Выполним вычитание:
$57,22 \text{ а} - 48,04 \text{ а} = 9,18 \text{ а}$

Ответ: $9,18 \text{ а}$.

4) $41 \text{ а } 5 \text{ м}^2 - 36 \text{ а } 19 \text{ м}^2$

Переведем величины в ары:
$41 \text{ а } 5 \text{ м}^2 = 41 + \frac{5}{100} \text{ а} = 41,05 \text{ а}$
$36 \text{ а } 19 \text{ м}^2 = 36 + \frac{19}{100} \text{ а} = 36,19 \text{ а}$
Выполним вычитание:
$41,05 \text{ а} - 36,19 \text{ а} = 4,86 \text{ а}$

Ответ: $4,86 \text{ а}$.

5) $9 \text{ га } 6 \text{ а } 8 \text{ м}^2 + 18 \text{ а } 10 \text{ м}^2$

Переведем величины в ары, учитывая, что $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$:
$9 \text{ га } 6 \text{ а } 8 \text{ м}^2 = (9 \times 100) \text{ а} + 6 \text{ а} + \frac{8}{100} \text{ а} = 900 + 6 + 0,08 = 906,08 \text{ а}$
$18 \text{ а } 10 \text{ м}^2 = 18 + \frac{10}{100} \text{ а} = 18,1 \text{ а}$
Выполним сложение:
$906,08 \text{ а} + 18,1 \text{ а} = 924,18 \text{ а}$

Ответ: $924,18 \text{ а}$.

6) $24 \text{ га } 8 \text{ а } 4 \text{ м}^2 - 24 \text{ а } 20 \text{ м}^2$

Переведем величины в ары:
$24 \text{ га } 8 \text{ а } 4 \text{ м}^2 = (24 \times 100) \text{ а} + 8 \text{ а} + \frac{4}{100} \text{ а} = 2400 + 8 + 0,04 = 2408,04 \text{ а}$
$24 \text{ а } 20 \text{ м}^2 = 24 + \frac{20}{100} \text{ а} = 24,2 \text{ а}$
Выполним вычитание:
$2408,04 \text{ а} - 24,2 \text{ а} = 2383,84 \text{ а}$

Ответ: $2383,84 \text{ а}$.

903. Выразите данные величины в центнерах и выполните действия:

1) $9 \text{ ц} - 524 \text{ кг};$

2) $8 \text{ ц } 44 \text{ кг} - 836 \text{ кг};$

3) $42 \text{ ц } 5 \text{ кг} + 85 \text{ кг};$

4) $2.92 \text{ т} + 684 \text{ кг};$

5) $7 \text{ т } 6 \text{ ц } 4 \text{ кг} - 8 \text{ ц } 18 \text{ кг};$

6) $1 \text{ т } 2 \text{ ц } 3 \text{ кг} - 1 \text{ т } 15 \text{ кг}.$

Для решения задачи необходимо выразить все данные величины в центнерах (ц) и затем выполнить указанные арифметические действия. Будем использовать следующие соотношения: $1 \text{ центнер} = 100 \text{ килограмм}$ ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$), $1 \text{ тонна} = 10 \text{ центнеров}$ ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$).

1) 9 ц – 524 кг

Переведем 524 кг в центнеры: $524 \text{ кг} = \frac{524}{100} \text{ ц} = 5,24 \text{ ц}$.

Теперь выполним вычитание: $9 \text{ ц} - 5,24 \text{ ц} = 3,76 \text{ ц}$.

Ответ: $3,76$ ц.

2) 8 ц 44 кг – 836 кг

Сначала выразим обе величины в центнерах:

$8 \text{ ц } 44 \text{ кг} = 8 \text{ ц} + \frac{44}{100} \text{ ц} = 8,44 \text{ ц}$.

$836 \text{ кг} = \frac{836}{100} \text{ ц} = 8,36 \text{ ц}$.

Выполним вычитание: $8,44 \text{ ц} - 8,36 \text{ ц} = 0,08 \text{ ц}$.

Ответ: $0,08$ ц.

3) 42 ц 5 кг + 85 кг

Выразим все слагаемые в центнерах:

$42 \text{ ц } 5 \text{ кг} = 42 \text{ ц} + \frac{5}{100} \text{ ц} = 42,05 \text{ ц}$.

$85 \text{ кг} = \frac{85}{100} \text{ ц} = 0,85 \text{ ц}$.

Выполним сложение: $42,05 \text{ ц} + 0,85 \text{ ц} = 42,9 \text{ ц}$.

Ответ: $42,9$ ц.

4) 2,92 т + 684 кг

Выразим обе величины в центнерах:

$2,92 \text{ т} = 2,92 \cdot 10 \text{ ц} = 29,2 \text{ ц}$.

$684 \text{ кг} = \frac{684}{100} \text{ ц} = 6,84 \text{ ц}$.

Выполним сложение: $29,2 \text{ ц} + 6,84 \text{ ц} = 36,04 \text{ ц}$.

Ответ: $36,04$ ц.

5) 7 т 6 ц 4 кг – 8 ц 18 кг

Приведем уменьшаемое и вычитаемое к центнерам:

$7 \text{ т } 6 \text{ ц } 4 \text{ кг} = (7 \cdot 10) \text{ ц} + 6 \text{ ц} + \frac{4}{100} \text{ ц} = 70 \text{ ц} + 6 \text{ ц} + 0,04 \text{ ц} = 76,04 \text{ ц}$.

$8 \text{ ц } 18 \text{ кг} = 8 \text{ ц} + \frac{18}{100} \text{ ц} = 8 \text{ ц} + 0,18 \text{ ц} = 8,18 \text{ ц}$.

Выполним вычитание: $76,04 \text{ ц} - 8,18 \text{ ц} = 67,86 \text{ ц}$.

Ответ: $67,86$ ц.

6) 1 т 2 ц 3 кг – 1 т 15 кг

Выразим обе величины в центнерах:

$1 \text{ т } 2 \text{ ц } 3 \text{ кг} = (1 \cdot 10) \text{ ц} + 2 \text{ ц} + \frac{3}{100} \text{ ц} = 10 \text{ ц} + 2 \text{ ц} + 0,03 \text{ ц} = 12,03 \text{ ц}$.

$1 \text{ т } 15 \text{ кг} = (1 \cdot 10) \text{ ц} + \frac{15}{100} \text{ ц} = 10 \text{ ц} + 0,15 \text{ ц} = 10,15 \text{ ц}$.

Выполним вычитание: $12,03 \text{ ц} - 10,15 \text{ ц} = 1,88 \text{ ц}$.

Ответ: $1,88$ ц.

904. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(4,12 + 0,116) - 1,12;$

2) $(5,93 + 67,5) - 27,5;$

3) $0,844 - (0,244 + 0,018);$

4) $7,29 - (3,961 + 2,29).$

1) Для удобства вычислений воспользуемся сочетательным свойством сложения. Можно раскрыть скобки и сгруппировать числа так, чтобы упростить вычитание.

$(4,12 + 0,116) - 1,12 = 4,12 + 0,116 - 1,12$

Теперь сгруппируем первое и третье числа:

$(4,12 - 1,12) + 0,116 = 3 + 0,116 = 3,116$

Ответ: $3,116$.

2) Аналогично предыдущему примеру, раскроем скобки и применим сочетательное свойство, чтобы сначала выполнить более простое вычитание.

$(5,93 + 67,5) - 27,5 = 5,93 + 67,5 - 27,5$

Сгруппируем второе и третье числа:

$5,93 + (67,5 - 27,5) = 5,93 + 40 = 45,93$

Ответ: $45,93$.

3) В данном выражении из числа вычитается сумма. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, нужно изменить знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные: $a - (b + c) = a - b - c$.

$0,844 - (0,244 + 0,018) = 0,844 - 0,244 - 0,018$

Сначала удобнее выполнить первое вычитание:

$(0,844 - 0,244) - 0,018 = 0,6 - 0,018 = 0,582$

Ответ: $0,582$.

4) Используем тот же принцип, что и в примере 3. Раскроем скобки, изменив знаки, а затем сгруппируем числа для удобного вычитания.

$7,29 - (3,961 + 2,29) = 7,29 - 3,961 - 2,29$

Перегруппируем числа, чтобы вычесть $2,29$ из $7,29$:

$(7,29 - 2,29) - 3,961 = 5 - 3,961 = 1,039$

Ответ: $1,039$.

905. От двух пристаней, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно в одном направлении отчалили лодка и катер (лодка двигалась впереди катера). Скорость лодки равна 8 км/ч и составляет $\frac{4}{5}$ скорости катера. Через сколько часов после начала движения катер догонит лодку?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдем скорость катера.

   Из условия известно, что скорость лодки равна 8 км/ч и это составляет $\frac{4}{5}$ от скорости катера. Чтобы найти скорость катера, необходимо скорость лодки разделить на эту дробь.

   Пусть $v_{л}$ – скорость лодки, а $v_{к}$ – скорость катера.

   $v_{л} = \frac{4}{5} v_{к}$

   $8 = \frac{4}{5} v_{к}$

   $v_{к} = 8 \div \frac{4}{5} = 8 \times \frac{5}{4} = \frac{40}{4} = 10$ км/ч.

   Таким образом, скорость катера составляет 10 км/ч.

2. Найдем скорость сближения.

   Катер догоняет лодку, так как они движутся в одном направлении и скорость катера больше скорости лодки. Скорость, с которой катер догоняет лодку (скорость сближения), равна разности их скоростей.

   $v_{сбл} = v_{к} - v_{л} = 10 \text{ км/ч} - 8 \text{ км/ч} = 2$ км/ч.

   Это значит, что за каждый час расстояние между катером и лодкой сокращается на 2 км.

3. Найдем время, через которое катер догонит лодку.

   Начальное расстояние между лодкой и катером составляет 24 км. Чтобы найти время, которое потребуется катеру, чтобы догнать лодку, нужно начальное расстояние разделить на скорость сближения.

   Пусть $S$ – начальное расстояние, а $t$ – время.

   $t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{24 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

906. Длина бассейна равна 12 м, ширина его составляет $\frac{3}{4}$ длины, а глубина $-$ $\frac{2}{3}$ ширины. Водой было наполнено $\frac{11}{18}$ объёма бассейна.

Сколько кубических метров воды налили в бассейн?

Для того чтобы узнать, сколько воды налили в бассейн, необходимо сначала найти его размеры (ширину и глубину), затем вычислить полный объем бассейна и после этого определить объем воды.

1. Вычисление ширины бассейна
Длина бассейна равна 12 м. Согласно условию, ширина составляет $ \frac{3}{4} $ от длины.
$ 12 \cdot \frac{3}{4} = \frac{12 \cdot 3}{4} = \frac{36}{4} = 9 $ м.

2. Вычисление глубины бассейна
Мы нашли, что ширина бассейна — 9 м. Глубина составляет $ \frac{2}{3} $ от ширины.
$ 9 \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 2}{3} = \frac{18}{3} = 6 $ м.

3. Вычисление полного объема бассейна
Объем бассейна ($V$) вычисляется как произведение его длины, ширины и глубины.
$ V_{бассейна} = 12 \text{ м} \cdot 9 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 108 \text{ м}^2 \cdot 6 \text{ м} = 648 \text{ м}^3 $.

4. Вычисление объема воды в бассейне
Известно, что бассейн был наполнен водой на $ \frac{11}{18} $ от его полного объема.
$ V_{воды} = 648 \cdot \frac{11}{18} = \frac{648 \cdot 11}{18} $
Сократим дробь, разделив 648 на 18: $ 648 \div 18 = 36 $.
Теперь умножим результат на 11:
$ V_{воды} = 36 \cdot 11 = 396 \text{ м}^3 $.

Ответ: в бассейн налили 396 кубических метров воды.

907. За шоколадку и четыре пирожных заплатили 414 р., а за такую же шоколадку и восемь таких пирожных — 750 р. Сколько рублей стоит шоколадка?

Для решения этой задачи сравним две покупки. Мы знаем, что:

1) 1 шоколадка + 4 пирожных = 414 рублей.

2) 1 шоколадка + 8 пирожных = 750 рублей.

Разница между второй и первой покупкой заключается в количестве пирожных. Во второй покупке на $8 - 4 = 4$ пирожных больше.

Найдем разницу в стоимости этих двух покупок:

$750 - 414 = 336$ рублей.

Эта разница в стоимости (336 рублей) приходится на разницу в количестве товаров, то есть на 4 пирожных. Таким образом, стоимость четырех пирожных составляет 336 рублей.

Теперь мы можем найти стоимость шоколадки, используя данные о первой покупке. Из общей суммы в 414 рублей вычтем стоимость четырех пирожных, которую мы только что нашли:

$414 - 336 = 78$ рублей.

Следовательно, стоимость одной шоколадки составляет 78 рублей.

Ответ: 78

Задача от мудрой совы

908. Хитрый Лисёнок предложил Петру Скупердяйкину: «Каждый раз, когда ты перейдёшь мост, который я заколдую, твои деньги удваиваются. За это будешь мне каждый раз отдавать 24 монеты». Сделал Скупердяйкин так три раза и остался совсем без денег. Сколько денег было у Петра до встречи с Хитрым Лисёнком?

Эту задачу удобнее всего решать с конца, выполняя действия в обратном порядке.

В конце у Петра Скупердяйкина осталось 0 монет. Это произошло после того, как он в третий раз перешел мост и отдал 24 монеты.

1. Расчет для третьего перехода

Перед тем, как Петр отдал Лисёнку 24 монеты в третий раз, у него было $0 + 24 = 24$ монеты. Эта сумма у него получилась после удвоения денег при переходе через мост. Значит, до того, как он перешел мост в третий раз, у него было $24 \div 2 = 12$ монет.Таким образом, после второго перехода у него оставалось 12 монет.

2. Расчет для второго перехода

Перед тем, как Петр отдал 24 монеты во второй раз, у него было $12 + 24 = 36$ монет. Эта сумма получилась после удвоения. Следовательно, до второго перехода через мост у него было $36 \div 2 = 18$ монет.Таким образом, после первого перехода у него оставалось 18 монет.

3. Расчет для первого перехода

Перед тем, как Петр отдал 24 монеты в самый первый раз, у него было $18 + 24 = 42$ монеты. Эта сумма получилась после удвоения. Следовательно, до самого первого перехода через мост у него было $42 \div 2 = 21$ монета.

Проверим решение, двигаясь от начала к концу:

• Изначально было 21 монета. После первого перехода стало $21 \times 2 = 42$. Петр отдал 24, осталось $42 - 24 = 18$ монет.
• После второго перехода стало $18 \times 2 = 36$. Петр отдал 24, осталось $36 - 24 = 12$ монет.
• После третьего перехода стало $12 \times 2 = 24$. Петр отдал 24, осталось $24 - 24 = 0$ монет.

Все верно.

Ответ: до встречи с Хитрым Лисёнком у Петра была 21 монета.