Страница 220 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

855. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы округление было выполнено верно:

1) $4,9* \approx 4,9;$

2) $63,*5 \approx 64;$

3) $13,2*99 \approx 13,2?$

1) 4,9* ≈ 4,9;

В данном примере округление производится до десятых. Разряд десятых — это первая цифра после запятой, в данном случае это 9. Чтобы при округлении число $4,9*$ стало равным $4,9$, цифра в разряде десятых не должна измениться. Согласно правилу округления, это происходит, если следующая за ней цифра (стоящая на месте звёздочки) меньше 5.

К таким цифрам относятся: 0, 1, 2, 3, 4.

Например, если на месте звёздочки стоит 4, то $4,94 \approx 4,9$. Если же на месте звёздочки стоит 5, то $4,95 \approx 5,0$, что не удовлетворяет условию.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

2) 63,*5 ≈ 64;

В этом примере округление производится до целых (до единиц). Разряд единиц в числе $63,*5$ — это цифра 3. В результате округления получилось 64, это означает, что цифра в разряде единиц увеличилась на 1 ($3 \rightarrow 4$). По правилу округления, это происходит, если первая отбрасываемая цифра (стоящая на месте звёздочки в разряде десятых) равна 5 или больше.

К таким цифрам относятся: 5, 6, 7, 8, 9.

Например, если на месте звёздочки стоит 5, то $63,55 \approx 64$. Если же на месте звёздочки стоит 4, то $63,45 \approx 63$, что не удовлетворяет условию.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

3) 13,2*99 ≈ 13,2?

Здесь округление производится до десятых. Разряд десятых в числе $13,2*99$ — это цифра 2. В результате округления число должно стать $13,2$, то есть цифра в разряде десятых не должна измениться. Решение об округлении принимается на основании следующей цифры, то есть цифры в разряде сотых (на месте звёздочки). Чтобы цифра 2 не изменилась, цифра на месте звёздочки должна быть меньше 5. Остальные цифры ($99$) не влияют на результат округления до десятых.

К таким цифрам относятся: 0, 1, 2, 3, 4.

Например, если на месте звёздочки стоит 4, то $13,2499 \approx 13,2$. Если же на месте звёздочки стоит 5, то $13,2599 \approx 13,3$, что не удовлетворяет условию.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

856. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы округление было выполнено верно:

1) $5,47*4 \approx 5,47$

В данном примере округление выполнено до сотых. Для того чтобы округление было верным, мы должны посмотреть на цифру, следующую за разрядом сотых, то есть на цифру в разряде тысячных, которая обозначена звёздочкой. По правилам округления, если эта цифра меньше 5 (т.е. 0, 1, 2, 3, 4), то цифра в разряде сотых не изменяется, а все последующие цифры отбрасываются. Так как в результате округления мы получили $5,47$, то есть цифра 7 в разряде сотых не изменилась, значит на месте звёздочки могут стоять цифры от 0 до 4.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

2) $23*1 \approx 2400$

В этом примере число $23*1$ округлено до сотен. В результате округления цифра в разряде сотен увеличилась с 3 до 4. Округление в большую сторону происходит, когда цифра в следующем, более младшем разряде (в данном случае, в разряде десятков, где стоит звёздочка) равна 5 или больше (т.е. 5, 6, 7, 8, 9). При выполнении этого условия цифра в разряде сотен увеличивается на 1, а цифры в разрядах десятков и единиц заменяются нулями. Следовательно, на месте звёздочки могут стоять цифры от 5 до 9.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

857. У Вити есть 2 500 р. На свой день рождения он хочет угостить каждого из 30 своих одноклассников шоколадкой. Одна шоколадка стоит 78 р. Узнав это, Витя сразу сообразил, что денег ему хватит. Как, по вашему мнению, он смог это быстро определить?

Витя смог быстро определить, что ему хватит денег, используя метод оценки (прикидки). Этот метод позволяет быстро получить приблизительный результат, не выполняя точных вычислений, и он идеально подходит, чтобы ответить на вопрос «хватит ли денег?».

Скорее всего, Витя рассуждал следующим образом:

1. Он округлил цену одной шоколадки в большую сторону до ближайшего круглого числа, чтобы упростить расчет. 78 рублей удобнее всего округлить до 80 рублей. Округление именно в большую сторону дает гарантию: если хватит «дорогого» варианта, то хватит и реального.

2. Затем он умножил эту округленную цену на количество одноклассников. Этот расчет легко выполнить в уме:
$30 \text{ одноклассников} \times 80 \text{ рублей} = 2400 \text{ рублей}$.

3. Наконец, он сравнил полученную оценочную сумму с имеющимися у него деньгами: $2400 \text{ рублей} < 2500 \text{ рублей}$.

Поскольку даже завышенная стоимость всей покупки оказалась меньше той суммы, что у него есть, Витя сразу понял, что реальной суммы (которая будет еще меньше) ему точно хватит.

Альтернативно, он мог быстро выполнить и точный расчет в уме, представив число 78 как разность $(80-2)$:
$30 \times 78 = 30 \times (80 - 2) = 30 \times 80 - 30 \times 2 = 2400 - 60 = 2340$ рублей.
Так как $2340 < 2500$, денег ему хватает. Однако метод оценки с округлением обычно является самым быстрым.

Ответ: Витя, скорее всего, округлил цену шоколадки с 78 до 80 рублей. Умножив 30 на 80, он получил 2400 рублей. Так как эта сумма меньше, чем имеющиеся у него 2500 рублей, он сразу понял, что денег ему хватит.

858. Требуется привезти 102 ящика массой 30,7 кг каждый. Водитель автомобиля, грузоподъёмность которого составляет 3 т, быстро определил, что выполнить это задание, сделав один рейс, невозможно. Как, по вашему мнению, он смог это быстро определить?

Водитель смог быстро определить, что выполнить задание за один рейс невозможно, используя метод мысленной оценки (прикидки), а не точных вычислений. Его рассуждения могли быть следующими.

1. Во-первых, он знает грузоподъемность своего автомобиля в килограммах: 3 тонны – это $3000$ кг.

2. Во-вторых, для упрощения устного счета он мог округлить массу одного ящика в меньшую сторону, до $30$ кг (вместо $30,7$ кг).

3. Затем он выполнил простое умножение в уме:
$102 \text{ ящика} \times 30 \text{ кг} = 3060 \text{ кг}$.

4. Полученный результат ($3060$ кг) уже превышает грузоподъемность автомобиля ($3000$ кг). Поскольку для этого расчета водитель использовал заведомо заниженную массу одного ящика, он мог быть абсолютно уверен, что реальный общий вес груза будет еще больше. Следовательно, перевезти все ящики за один раз невозможно.

В качестве альтернативного способа быстрой оценки можно было округлить количество ящиков до $100$. Тогда расчет был бы таким: $100 \times 30,7 = 3070$ кг. Этот вес также превышает $3000$ кг, и это без учета оставшихся двух ящиков.

Ответ: Водитель мог применить метод быстрой оценки, округлив массу одного ящика до $30$ кг. Умножив $102$ ящика на $30$ кг, он получил бы в уме $3060$ кг. Эта величина уже превышает грузоподъемность автомобиля в $3000$ кг, что позволило ему сделать мгновенный вывод о невозможности перевозки всего груза за один рейс.

859. Кролик живёт до 12 лет, что составляет:

1) $ \frac{6}{7} $ продолжительности жизни овцы;

2) $ \frac{2}{3} $ продолжительности жизни козы;

3) $ \frac{3}{5} $ продолжительности жизни фазана. Найдите продолжительность жизни овцы, козы и фазана.

Эта задача на нахождение целого по его части. Продолжительность жизни кролика, равная 12 годам, является известной частью от продолжительности жизни других животных. Чтобы найти целое (полную продолжительность жизни), нужно известную часть разделить на соответствующую ей дробь.

1) Найдём продолжительность жизни овцы.
Известно, что 12 лет — это $\frac{6}{7}$ от продолжительности жизни овцы. Чтобы найти полную продолжительность жизни овцы, выполним деление:
$12 \div \frac{6}{7} = 12 \times \frac{7}{6} = \frac{12 \times 7}{6} = 2 \times 7 = 14$ (лет).
Ответ: продолжительность жизни овцы составляет 14 лет.

2) Найдём продолжительность жизни козы.
Известно, что 12 лет — это $\frac{2}{3}$ от продолжительности жизни козы. Чтобы найти полную продолжительность жизни козы, выполним деление:
$12 \div \frac{2}{3} = 12 \times \frac{3}{2} = \frac{12 \times 3}{2} = 6 \times 3 = 18$ (лет).
Ответ: продолжительность жизни козы составляет 18 лет.

3) Найдём продолжительность жизни фазана.
Известно, что 12 лет — это $\frac{3}{5}$ от продолжительности жизни фазана. Чтобы найти полную продолжительность жизни фазана, выполним деление:
$12 \div \frac{3}{5} = 12 \times \frac{5}{3} = \frac{12 \times 5}{3} = 4 \times 5 = 20$ (лет).
Ответ: продолжительность жизни фазана составляет 20 лет.

860. 1) При преобразовании неправильной дроби $\frac{a}{7}$ в смешанное число получили неполное частное 19 и остаток 5. Найдите значение $a$.

2) При преобразовании неправильной дроби $\frac{m}{12}$ в смешанное число получили неполное частное 20 и остаток 10. Найдите значение $m$.

1)

При преобразовании неправильной дроби в смешанное число числитель делят на знаменатель с остатком. Неполное частное становится целой частью смешанного числа, остаток — числителем дробной части, а знаменатель остается прежним.

Чтобы найти исходный числитель $a$, который является делимым, нужно делитель (знаменатель дроби, $7$) умножить на неполное частное ($19$) и прибавить остаток ($5$).

Запишем это в виде формулы:

$a = 7 \times 19 + 5$

Выполним вычисления:

$7 \times 19 = 133$

$133 + 5 = 138$

Таким образом, значение $a$ равно $138$.

Ответ: $a = 138$.

2)

Действуем аналогично первому пункту. В данном случае числитель $m$ является делимым, знаменатель $12$ — делителем, неполное частное равно $20$, а остаток — $10$.

Чтобы найти значение $m$, нужно делитель ($12$) умножить на неполное частное ($20$) и прибавить остаток ($10$).

Запишем формулу:

$m = 12 \times 20 + 10$

Выполним вычисления:

$12 \times 20 = 240$

$240 + 10 = 250$

Таким образом, значение $m$ равно $250$.

Ответ: $m = 250$.

861. Масса торта составляет $ \frac{4}{5} $ кг и ещё $ \frac{4}{5} $ его массы. Какова масса торта?

Пусть $x$ – это полная масса торта в килограммах.

Согласно условию задачи, масса торта ($x$) равна сумме $\frac{4}{5}$ кг и $\frac{4}{5}$ от его полной массы ($\frac{4}{5}x$).

Составим уравнение на основе этого условия:

$x = \frac{4}{5} + \frac{4}{5}x$

Чтобы решить это уравнение, сгруппируем все члены, содержащие $x$, в одной части уравнения. Для этого вычтем $\frac{4}{5}x$ из обеих частей:

$x - \frac{4}{5}x = \frac{4}{5}$

Представим $x$ как $\frac{5}{5}x$, чтобы было удобнее вычитать дроби:

$\frac{5}{5}x - \frac{4}{5}x = \frac{4}{5}$

$(\frac{5}{5} - \frac{4}{5})x = \frac{4}{5}$

$\frac{1}{5}x = \frac{4}{5}$

Из этого следует, что $\frac{1}{5}$ массы торта равна $\frac{4}{5}$ кг. Чтобы найти полную массу торта ($x$), умножим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{4}{5} \cdot 5$

$x = 4$

Таким образом, полная масса торта составляет 4 кг.

Ответ: 4 кг.

862. Вася рассказал друзьям, что позавчера ему ещё было 10 лет, а в следующем году ему исполнится 13. Как такое может быть?

Это утверждение может быть правдой, если совпали две даты: день рождения Васи и смена календарного года. Ситуация становится возможной, если Вася рассказывает свою историю 1 января, а его день рождения — 31 декабря.

Рассмотрим события по порядку:

Позавчера (30 декабря): Васе было 10 лет.

Вчера (31 декабря): У Васи был день рождения, и ему исполнилось 11 лет.

Сегодня (1 января): Вася разговаривает с друзьями. Ему 11 лет.

В текущем году (31 декабря): Васе исполнится 12 лет.

В следующем году (31 декабря): Васе исполнится 13 лет.

Таким образом, все условия задачи выполняются: позавчера ему действительно было 10 лет, а в следующем году исполнится 13.

Ответ: Вася рассказал эту историю 1 января, а его день рождения — 31 декабря.