Страница 215 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

838. Вычислите:

1) $(714 : 7 - 100)^6$;

2) $(963 : 9 - 618 : 6)^3$.

1) $(714 : 7 - 100)^6$

Для вычисления значения данного выражения необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем возвести полученный результат в степень. Согласно порядку выполнения арифметических операций, в скобках сначала выполняется деление, а затем вычитание.

1. Выполним деление: $714 : 7 = 102$.

2. Выполним вычитание: $102 - 100 = 2$.

3. Возведем результат в шестую степень: $2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.

Полная запись решения выглядит так: $(714 : 7 - 100)^6 = (102 - 100)^6 = 2^6 = 64$.

Ответ: 64

2) $(963 : 9 - 618 : 6)^3$

Для вычисления значения этого выражения также сначала выполняем действия в скобках, соблюдая порядок операций (сначала оба деления, затем вычитание), а после этого возводим результат в степень.

1. Выполним первое деление: $963 : 9 = 107$.

2. Выполним второе деление: $618 : 6 = 103$.

3. Выполним вычитание результатов деления: $107 - 103 = 4$.

4. Возведем полученное число в третью степень: $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$.

Полная запись решения выглядит так: $(963 : 9 - 618 : 6)^3 = (107 - 103)^3 = 4^3 = 64$.

Ответ: 64

839. Максим спешит в школу и идёт со скоростью 6 км/ч. Успеет ли Максим дойти до школы за 20 мин, если его дом находится на расстоянии 1 км от неё?

Чтобы определить, успеет ли Максим в школу, нужно вычислить время, которое он затратит на дорогу, и сравнить его с имеющимися 20 минутами. Для этого можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1. Вычисление необходимого времени

1. Сначала найдем, сколько времени в часах потребуется Максиму, чтобы пройти 1 км со скоростью 6 км/ч. Для этого используем формулу времени: $t = S / v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

$t = 1 \text{ км} / 6 \text{ км/ч} = 1/6$ часа.

2. Теперь переведем это время в минуты. В одном часе 60 минут.

$t_{мин} = 1/6 * 60 = 10$ минут.

3. Сравним необходимое время (10 минут) с имеющимся временем (20 минут):

$10 \text{ мин} < 20 \text{ мин}$

Так как времени на дорогу требуется меньше, чем есть в запасе, Максим успеет в школу.

Ответ: Да, Максим успеет.

Способ 2. Вычисление расстояния, которое можно пройти за 20 минут

1. Сначала переведем 20 минут в часы, чтобы единицы измерения времени совпадали со скоростью.

$t = 20 \text{ мин} = 20/60 \text{ часа} = 1/3$ часа.

2. Теперь найдем, какое расстояние $S$ Максим может пройти за это время со скоростью 6 км/ч. Используем формулу расстояния: $S = v * t$.

$S = 6 \text{ км/ч} * 1/3 \text{ ч} = 2$ км.

3. Сравним расстояние, которое Максим может пройти (2 км), с расстоянием до школы (1 км):

$2 \text{ км} > 1 \text{ км}$

За 20 минут Максим может пройти расстояние большее, чем расстояние до школы. Следовательно, он успеет.

Ответ: Да, Максим успеет.

840. Картонный прямоугольник, площадь которого равна $3 \text{ дм}^2$, а длины сторон выражаются целым числом сантиметров, разрезали на полоски шириной $1 \text{ см}$ и сложили из них одну длинную полоску. Какой длины получилась полоска?

Для решения задачи первым делом необходимо привести все единицы измерения к единой системе. Поскольку ширина полосок и длины сторон выражены в сантиметрах, переведем площадь прямоугольника из квадратных дециметров (дм²) в квадратные сантиметры (см²).

В одном дециметре содержится 10 сантиметров:
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Соответственно, в одном квадратном дециметре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных сантиметров:
$1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$

Теперь вычислим площадь картонного прямоугольника в квадратных сантиметрах:
$S = 3 \text{ дм}^2 = 3 \times 100 \text{ см}^2 = 300 \text{ см}^2$.

Когда прямоугольник разрезают на полоски, а затем эти полоски складывают в одну длинную, общая площадь материала не изменяется. Таким образом, новая длинная полоска, которая по сути тоже является прямоугольником, будет иметь ту же площадь, что и исходный прямоугольник, то есть $300 \text{ см}^2$.

Ширина этой новой длинной полоски, согласно условию, равна ширине маленьких полосок, то есть $1 \text{ см}$. Обозначим искомую длину новой полоски за $L$.

Площадь любого прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Для новой полоски это выглядит так:
$S_{новая} = L \times \text{ширина}$

Подставим известные нам значения в формулу:
$300 \text{ см}^2 = L \times 1 \text{ см}$

Из этого уравнения находим длину $L$:
$L = \frac{300 \text{ см}^2}{1 \text{ см}} = 300 \text{ см}$.

Условие о том, что стороны исходного прямоугольника выражаются целым числом сантиметров, означает, что существуют такие целые числа $a$ и $b$, что $a \times b = 300$ (например, $15 \text{ см}$ и $20 \text{ см}$). Однако конкретные значения сторон не влияют на конечный результат, так как длина итоговой полосы зависит только от общей площади.

Полученную длину можно также выразить в метрах: $300 \text{ см} = 3 \text{ м}$.

Ответ: $300 \text{ см}$ (или $3 \text{ м}$).

841. Расположите в порядке убывания все трёхзначные числа, которые можно записать с помощью цифр 2, 4 и 5 (цифры в записи числа не повторяются).

Для решения задачи необходимо составить все возможные трёхзначные числа из цифр 2, 4 и 5, при условии, что цифры в записи числа не повторяются. После этого нужно расположить полученные числа в порядке убывания.

Так как у нас есть 3 различные цифры и мы составляем из них трёхзначные числа, каждое такое число будет являться перестановкой этих цифр. Общее количество таких чисел равно числу перестановок из 3 элементов: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Выпишем все возможные числа, систематически перебирая цифру в разряде сотен:

• Если в разряде сотен стоит цифра 5, то оставшиеся цифры 4 и 2 могут образовать числа: 542 и 524.
• Если в разряде сотен стоит цифра 4, то оставшиеся цифры 5 и 2 могут образовать числа: 452 и 425.
• Если в разряде сотен стоит цифра 2, то оставшиеся цифры 5 и 4 могут образовать числа: 254 и 245.

Таким образом, мы получили 6 уникальных трёхзначных чисел: 542, 524, 452, 425, 254, 245.

Теперь расположим эти числа в порядке убывания (от самого большого к самому маленькому), сравнивая их поразрядно, начиная со старшего разряда (сотен):

542, 524, 452, 425, 254, 245.

Ответ: 542, 524, 452, 425, 254, 245.

842. Расположите в порядке возрастания все трёхзначные числа, которые можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 (цифры в записи числа не повторяются).

Задача состоит в том, чтобы найти все возможные трёхзначные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3 без их повторения, и расположить их в порядке возрастания.

Поскольку цифры в числе не должны повторяться, нам нужно найти все перестановки из трёх элементов (1, 2, 3). Количество таких перестановок равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Чтобы составить числа в порядке возрастания, будем перебирать их, начиная с наименьшей цифры в старшем разряде (сотни).

1. Начнём с чисел, у которых в разряде сотен стоит цифра 1. Оставшиеся цифры — 2 и 3. Из них можно составить два числа:
- Поставив 2 в разряд десятков и 3 в разряд единиц, получим число 123.
- Поставив 3 в разряд десятков и 2 в разряд единиц, получим число 132.

2. Теперь рассмотрим числа, у которых в разряде сотен стоит цифра 2. Оставшиеся цифры — 1 и 3. Из них можно составить два числа:
- Поставив 1 в разряд десятков и 3 в разряд единиц, получим число 213.
- Поставив 3 в разряд десятков и 1 в разряд единиц, получим число 231.

3. Наконец, рассмотрим числа, у которых в разряде сотен стоит цифра 3. Оставшиеся цифры — 1 и 2. Из них можно составить два числа:
- Поставив 1 в разряд десятков и 2 в разряд единиц, получим число 312.
- Поставив 2 в разряд десятков и 1 в разряд единиц, получим число 321.

Мы получили 6 чисел. Наш метод перебора гарантирует, что они уже расположены в порядке возрастания. Запишем их в одну строку.

Ответ: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

843. В пачке было 1 000 конвертов. За какое наименьшее время почтальон сможет отложить 850 конвертов, если за 1 мин он отсчитывает 100 конвертов?

Чтобы найти наименьшее время, нужно рассмотреть самый эффективный способ действия. Почтальону нужно получить стопку из 850 конвертов, имея пачку из 1000 конвертов.

Есть два способа это сделать:

1. Отсчитать 850 конвертов.
2. Отсчитать то количество конвертов, которое нужно убрать из пачки, чтобы осталось 850, и отложить их.

Рассчитаем время для каждого способа, зная, что скорость почтальона — 100 конвертов в минуту.

Способ 1:
Время, необходимое для отсчета 850 конвертов:$850 \div 100 = 8.5$ минут.

Способ 2:
Сначала найдем, сколько конвертов нужно отсчитать и убрать из пачки:$1000 - 850 = 150$ конвертов.
Теперь найдем время, необходимое для отсчета 150 конвертов:$150 \div 100 = 1.5$ минуты.

Сравнивая два результата, видим, что второй способ значительно быстрее ($1.5$ минуты < $8.5$ минуты). Таким образом, наименьшее время, за которое почтальон сможет отложить 850 конвертов, составляет 1.5 минуты.

1.5 минуты — это 1 минута и 30 секунд ($0.5 \text{ мин} \times 60 \frac{\text{сек}}{\text{мин}} = 30 \text{ сек}$).

Ответ: 1.5 минуты.