Номер 840, страница 215 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

840. Картонный прямоугольник, площадь которого равна $3 \text{ дм}^2$, а длины сторон выражаются целым числом сантиметров, разрезали на полоски шириной $1 \text{ см}$ и сложили из них одну длинную полоску. Какой длины получилась полоска?

Для решения задачи первым делом необходимо привести все единицы измерения к единой системе. Поскольку ширина полосок и длины сторон выражены в сантиметрах, переведем площадь прямоугольника из квадратных дециметров (дм²) в квадратные сантиметры (см²).

В одном дециметре содержится 10 сантиметров:
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Соответственно, в одном квадратном дециметре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных сантиметров:
$1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$

Теперь вычислим площадь картонного прямоугольника в квадратных сантиметрах:
$S = 3 \text{ дм}^2 = 3 \times 100 \text{ см}^2 = 300 \text{ см}^2$.

Когда прямоугольник разрезают на полоски, а затем эти полоски складывают в одну длинную, общая площадь материала не изменяется. Таким образом, новая длинная полоска, которая по сути тоже является прямоугольником, будет иметь ту же площадь, что и исходный прямоугольник, то есть $300 \text{ см}^2$.

Ширина этой новой длинной полоски, согласно условию, равна ширине маленьких полосок, то есть $1 \text{ см}$. Обозначим искомую длину новой полоски за $L$.

Площадь любого прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Для новой полоски это выглядит так:
$S_{новая} = L \times \text{ширина}$

Подставим известные нам значения в формулу:
$300 \text{ см}^2 = L \times 1 \text{ см}$

Из этого уравнения находим длину $L$:
$L = \frac{300 \text{ см}^2}{1 \text{ см}} = 300 \text{ см}$.

Условие о том, что стороны исходного прямоугольника выражаются целым числом сантиметров, означает, что существуют такие целые числа $a$ и $b$, что $a \times b = 300$ (например, $15 \text{ см}$ и $20 \text{ см}$). Однако конкретные значения сторон не влияют на конечный результат, так как длина итоговой полосы зависит только от общей площади.

Полученную длину можно также выразить в метрах: $300 \text{ см} = 3 \text{ м}$.

Ответ: $300 \text{ см}$ (или $3 \text{ м}$).