Номер 837, страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

837. Какие цифры можно поставить вместо звёздочек, чтобы образовалось верное неравенство (в правой и левой частях неравенства звёздочкой обозначена одна и та же цифра):

1) $0,*2 > 0,4*$;

2) $2,5* < 2,*6$;

3) $0,7*5 < 0,*69$;

4) $0,6* > 0,7*$;

5) $0,*6 < 0,6*$;

6) $0,*6 > 0,6*?$

1) 0,*2 > 0,4*

Обозначим искомую цифру, которую нужно поставить вместо звёздочки, через $x$. Тогда неравенство примет вид: $0,x2 > 0,4x$.
При сравнении десятичных дробей сначала сравнивают их целые части. В данном случае целые части обоих чисел равны 0.
Далее сравниваем цифры в разряде десятых. У первого числа это $x$, у второго — 4.
Чтобы первое число было больше второго, цифра в его разряде десятых должна быть больше или равна цифре в разряде десятых второго числа.
Рассмотрим три случая:
1. Если $x > 4$, то неравенство $0,x2 > 0,4x$ будет верным независимо от цифр в следующих разрядах. Этому условию удовлетворяют цифры 5, 6, 7, 8, 9.
2. Если $x = 4$, неравенство примет вид $0,42 > 0,44$. Теперь нужно сравнить цифры в разряде сотых. Так как $2 < 4$, то неравенство неверно.
3. Если $x < 4$, то левое число будет заведомо меньше правого. Например, $0,32 < 0,43$.
Таким образом, подходят только цифры, которые больше 4.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

2) 2,5* < 2,*6

Обозначим искомую цифру через $x$. Неравенство: $2,5x < 2,x6$.
Целые части обоих чисел равны 2.
Сравниваем цифры в разряде десятых. У первого числа это 5, у второго — $x$.
Чтобы первое число было меньше второго, цифра в его разряде десятых должна быть меньше или равна цифре в разряде десятых второго числа.
Рассмотрим три случая:
1. Если $x > 5$, то неравенство будет верным. Этому условию удовлетворяют цифры 6, 7, 8, 9.
2. Если $x = 5$, неравенство примет вид $2,55 < 2,56$. Сравниваем цифры в разряде сотых. Так как $5 < 6$, неравенство верно. Значит, цифра 5 подходит.
3. Если $x < 5$, то левое число будет заведомо больше правого. Например, $2,54 > 2,46$.
Следовательно, подходят цифра 5 и все цифры, которые больше 5.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

3) 0,7*5 < 0,*69

Обозначим искомую цифру через $x$. Неравенство: $0,7x5 < 0,x69$.
Целые части равны 0.
Сравниваем цифры в разряде десятых. У первого числа это 7, у второго — $x$.
Чтобы первое число было меньше второго, должно выполняться условие $7 \le x$.
Рассмотрим случаи:
1. Если $x > 7$, то неравенство будет верным. Этому условию удовлетворяют цифры 8, 9.
2. Если $x = 7$, неравенство примет вид $0,775 < 0,769$. Сравниваем цифры в разряде сотых. Так как $7 > 6$, то левое число больше правого, и неравенство неверно.
3. Если $x < 7$, то левое число будет заведомо больше правого. Например, $0,705 > 0,069$.
Таким образом, подходят только цифры, которые строго больше 7.

Ответ: 8, 9.

4) 0,6* > 0,7*

Обозначим искомую цифру через $x$. Неравенство: $0,6x > 0,7x$.
Целые части равны 0.
Сравниваем цифры в разряде десятых. У первого числа это 6, у второго — 7.
Поскольку $6 < 7$, левое число всегда будет меньше правого, независимо от того, какая цифра $x$ стоит в разряде сотых. Например, при $x=9$ получим $0,69 < 0,79$.
Следовательно, не существует такой цифры, при которой данное неравенство было бы верным.

Ответ: таких цифр нет.

5) 0,*6 < 0,6*

Обозначим искомую цифру через $x$. Неравенство: $0,x6 < 0,6x$.
Целые части равны 0.
Сравниваем цифры в разряде десятых. У первого числа это $x$, у второго — 6.
Чтобы первое число было меньше второго, должно выполняться условие $x \le 6$.
Рассмотрим случаи:
1. Если $x < 6$, то неравенство будет верным. Этому условию удовлетворяют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2. Если $x = 6$, неравенство примет вид $0,66 < 0,66$. Это неверно, так как числа равны.
3. Если $x > 6$, то левое число будет заведомо больше правого. Например, $0,76 > 0,67$.
Таким образом, подходят только цифры, которые меньше 6.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

6) 0,*6 > 0,6*

Обозначим искомую цифру через $x$. Неравенство: $0,x6 > 0,6x$.
Целые части равны 0.
Сравниваем цифры в разряде десятых. У первого числа это $x$, у второго — 6.
Чтобы первое число было больше второго, должно выполняться условие $x \ge 6$.
Рассмотрим случаи:
1. Если $x > 6$, то неравенство будет верным. Этому условию удовлетворяют цифры 7, 8, 9.
2. Если $x = 6$, неравенство примет вид $0,66 > 0,66$. Это неверно, так как числа равны.
3. Если $x < 6$, то левое число будет заведомо меньше правого. Например, $0,56 < 0,65$.
Таким образом, подходят только цифры, которые строго больше 6.

Ответ: 7, 8, 9.