Страница 210 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

814. Мама поручила сыну купить продукты. На хлеб он потратил $\frac{3}{50}$ всех денег, на молоко $\frac{13}{50}$, на овощи $\frac{11}{50}$, а $\frac{19}{50}$ всех денег — на фрукты. На какую покупку было потрачено наибольшее количество денег? Наименьшее количество денег? Остались ли деньги у мальчика после покупок?

Чтобы решить задачу, сравним доли денег, потраченные на каждую покупку, а затем найдем общую потраченную сумму.

Доли потраченных денег:

• На хлеб: $ \frac{3}{50} $
• На молоко: $ \frac{13}{50} $
• На овощи: $ \frac{11}{50} $
• На фрукты: $ \frac{19}{50} $

Чтобы найти, на какую покупку было потрачено больше всего денег, нужно сравнить дроби $ \frac{3}{50}, \frac{13}{50}, \frac{11}{50} $ и $ \frac{19}{50} $. Поскольку у всех этих дробей одинаковый знаменатель (50), больше та дробь, у которой больше числитель. Сравним числители: $ 3, 13, 11, 19 $.

Самый большой числитель — 19. Следовательно, самая большая дробь — $ \frac{19}{50} $. Эта доля соответствует покупке фруктов.

Ответ: Наибольшее количество денег было потрачено на фрукты.

Аналогично, чтобы найти, на какую покупку было потрачено меньше всего денег, нужно найти дробь с наименьшим числителем. Сравниваем числители: $ 3, 13, 11, 19 $.

Самый маленький числитель — 3. Следовательно, самая маленькая дробь — $ \frac{3}{50} $. Эта доля соответствует покупке хлеба.

Ответ: Наименьшее количество денег было потрачено на хлеб.

Чтобы определить, остались ли деньги, нужно сложить все доли потраченных денег и сравнить полученную сумму с единицей (которая представляет собой все деньги, $ \frac{50}{50} $).

Найдем общую сумму потраченных денег:

$ \frac{3}{50} + \frac{13}{50} + \frac{11}{50} + \frac{19}{50} = \frac{3 + 13 + 11 + 19}{50} = \frac{46}{50} $

Мальчик потратил $ \frac{46}{50} $ всех денег. Сравним эту часть с общей суммой денег $ \frac{50}{50} $:

$ \frac{46}{50} < \frac{50}{50} $

Поскольку потраченная часть меньше, чем вся сумма, у мальчика остались деньги. Найдем остаток:

$ \frac{50}{50} - \frac{46}{50} = \frac{4}{50} $

У мальчика осталась $ \frac{4}{50} $ часть всех денег.

Ответ: Да, у мальчика остались деньги.

815. Во сколько раз $ \frac{5}{6} $ мин меньше, чем 4 мин 10 с?

Чтобы ответить на вопрос, во сколько раз одна величина меньше другой, необходимо обе величины выразить в одинаковых единицах измерения, а затем найти их отношение, разделив большую величину на меньшую. В данном случае удобно перевести обе временные величины в секунды.

1. Переведем $\frac{5}{6}$ минуты в секунды. Зная, что в 1 минуте 60 секунд, получаем:

$\frac{5}{6} \text{ мин} = \frac{5}{6} \times 60 \text{ с} = 5 \times 10 \text{ с} = 50 \text{ с}$

2. Переведем 4 минуты 10 секунд в секунды:

$4 \text{ мин} \ 10 \text{ с} = (4 \times 60) \text{ с} + 10 \text{ с} = 240 \text{ с} + 10 \text{ с} = 250 \text{ с}$

3. Теперь найдем, во сколько раз 50 секунд меньше, чем 250 секунд, для этого разделим большую величину на меньшую:

$\frac{250 \text{ с}}{50 \text{ с}} = 5$

Таким образом, $\frac{5}{6}$ мин меньше, чем 4 мин 10 с, в 5 раз.

Ответ: в 5 раз.

816. Во сколько раз 5 ч 50 мин больше, чем $ \frac{7}{12} $ ч?

Чтобы определить, во сколько раз 5 ч 50 мин больше, чем $\frac{7}{12}$ ч, необходимо разделить первую величину на вторую. Для удобства вычислений предварительно переведем обе величины в одну единицу измерения — минуты.

1. Выразим 5 ч 50 мин в минутах. В одном часе содержится 60 минут:

$5 \text{ ч } 50 \text{ мин } = 5 \cdot 60 \text{ мин } + 50 \text{ мин } = 300 \text{ мин } + 50 \text{ мин } = 350 \text{ мин }$

2. Выразим $\frac{7}{12}$ ч в минутах:

$\frac{7}{12} \text{ ч } = \frac{7}{12} \cdot 60 \text{ мин } = \frac{7 \cdot 60}{12} \text{ мин } = 7 \cdot 5 \text{ мин } = 35 \text{ мин }$

3. Теперь найдем отношение полученных величин, разделив первое значение на второе:

$350 : 35 = 10$

Ответ: 10

817. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы образовалось верное неравенство:

1) $346* < 3463$;

2) $4*40 > 4735$?

1) Рассмотрим неравенство $3\ 46* < 3\ 463$.
При сравнении двух натуральных чисел сначала сравнивают количество разрядов, а затем, если оно одинаково, сравнивают цифры в разрядах, начиная со старшего.
В данном случае оба числа четырёхзначные. Сравним их поразрядно слева направо:
- Цифры в разряде тысяч одинаковы: $3 = 3$.
- Цифры в разряде сотен одинаковы: $4 = 4$.
- Цифры в разряде десятков одинаковы: $6 = 6$.
Чтобы неравенство было верным, цифра в разряде единиц первого числа (на месте звёздочки) должна быть меньше цифры в разряде единиц второго числа.
Таким образом, должно выполняться условие: $* < 3$.
Этому условию удовлетворяют следующие цифры: 0, 1, 2.
Ответ: 0, 1, 2.

2) Рассмотрим неравенство $4\ *40 > 4\ 735$.
Оба числа являются четырёхзначными. Сравним их поразрядно слева направо:
- Цифры в разряде тысяч одинаковы: $4 = 4$.
Теперь сравним цифры в разряде сотен. Чтобы первое число было больше второго, его цифра в разряде сотен (на месте звёздочки) должна быть больше цифры в разряде сотен второго числа.
Случай 1: Цифра на месте звёздочки больше 7.
Если $* > 7$, то первое число будет больше второго независимо от последующих цифр. Этому условию удовлетворяют цифры 8 и 9.
Например, $4\ 840 > 4\ 735$ (верно) и $4\ 940 > 4\ 735$ (верно).
Случай 2: Цифра на месте звёздочки равна 7.
Если $* = 7$, то неравенство примет вид $4\ 740 > 4\ 735$. Теперь нам нужно сравнить цифры в разряде десятков. У первого числа это 4, у второго — 3. Так как $4 > 3$, то и число $4\ 740$ больше числа $4\ 735$. Значит, цифра 7 также подходит.
Случай 3: Цифра на месте звёздочки меньше 7.
Если $* < 7$, то первое число будет меньше второго (например, $4\ 640 < 4\ 735$), и неравенство не будет верным.
Таким образом, подходящие цифры — это 7, 8 и 9.
Ответ: 7, 8, 9.

818. В числах стёрли несколько цифр и вместо них поставили звёздочки.

Сравните эти числа:

1) $35*** \text{ и } 32***;$

2) $52* \text{ и } **98.$

1) Сравним числа $35***$ и $32***$.

Оба числа являются пятизначными. При сравнении многозначных чисел мы начинаем сравнивать цифры по разрядам, двигаясь слева направо, от старших разрядов к младшим.

- Цифра в разряде десятков тысяч у обоих чисел одинакова и равна 3.
- Цифра в разряде тысяч у первого числа равна 5, а у второго — 2.

Поскольку $5 > 2$, то первое число всегда будет больше второго, независимо от того, какие цифры скрыты за звёздочками.

Для примера, наименьшее возможное значение для первого числа — это $35000$ (когда все звёздочки — нули), а наибольшее возможное значение для второго числа — это $32999$ (когда все звёздочки — девятки). Даже в этом случае $35000 > 32999$.

Следовательно, $35*** > 32***$.

Ответ: $35*** > 32***$.

2) Сравним числа $52*$ и $**98$.

В этом случае нужно сравнить количество разрядов (цифр) в каждом числе. Количество знаков в записи (цифр и звёздочек) соответствует количеству разрядов в числе.

Первое число, $52*$, является трёхзначным. Его значение находится в диапазоне от $520$ до $529$.

Второе число, $**98$, является четырёхзначным. Его наименьшее возможное значение — $1098$ (когда первая звёздочка — 1, а вторая — 0), а наибольшее — $9998$.

Любое четырёхзначное число всегда больше любого трёхзначного числа. Так как наименьшее возможное значение числа $**98$ ($1098$) больше, чем наибольшее возможное значение числа $52*$ ($529$), то второе число всегда будет больше первого.

Следовательно, $52* < **98$.

Ответ: $52* < **98$.

819. Как поделить поровну 7 яблок между 12 друзьями, если каждое яблоко можно разрезать не более чем на 4 части?

Для того чтобы разделить 7 яблок поровну между 12 друзьями, необходимо сначала определить, какая доля от общего количества яблок достанется каждому. Для этого общее количество яблок делим на количество друзей:

$7 \div 12 = \frac{7}{12}$

Следовательно, каждый друг должен получить $\frac{7}{12}$ яблока.

Согласно условию, каждое яблоко можно разрезать не более чем на 4 части. Это значит, что мы можем получать куски размером в половину ($\frac{1}{2}$), треть ($\frac{1}{3}$) или четверть ($\frac{1}{4}$) яблока. Наша задача — представить долю $\frac{7}{12}$ в виде суммы таких дробей. Удобнее всего разложить дробь на слагаемые со знаменателями, которые соответствуют разрешенному количеству частей, то есть 2, 3 или 4.

Представим долю каждого друга в виде суммы двух частей, используя знаменатели 3 и 4:

$\frac{7}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

Это означает, что каждому из 12 друзей можно дать один кусок размером в $\frac{1}{3}$ яблока и один кусок размером в $\frac{1}{4}$ яблока. В сумме каждый получит свою равную долю.

Исходя из этого, составим план разрезания яблок:

1. Чтобы получить 12 кусков размером в $\frac{1}{3}$ яблока, нужно взять 4 яблока и каждое из них разрезать на 3 равные части. Так мы получим $4 \times 3 = 12$ кусков.

2. Чтобы получить 12 кусков размером в $\frac{1}{4}$ яблока, нужно взять оставшиеся $7 - 4 = 3$ яблока и каждое из них разрезать на 4 равные части. Так мы получим $3 \times 4 = 12$ кусков.

В результате мы использовали все 7 яблок, получили 12 кусков по $\frac{1}{3}$ яблока и 12 кусков по $\frac{1}{4}$ яблока. Этого достаточно, чтобы дать каждому из 12 друзей по одному куску каждого вида. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 4 яблока нужно разрезать на 3 равные части каждое, а оставшиеся 3 яблока — на 4 равные части каждое. Затем каждому из 12 друзей дать по одному куску в $\frac{1}{3}$ яблока и по одному куску в $\frac{1}{4}$ яблока.