Страница 207 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. К дробям с какими знаменателями применяют десятичную форму записи?

1. Десятичную форму записи (в виде конечной десятичной дроби) применяют к тем обыкновенным дробям, которые можно привести к знаменателю, являющемуся степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.).

Это возможно только в том случае, если знаменатель несократимой дроби при разложении на простые множители содержит только множители 2 и 5. Формально, знаменатель $b$ несократимой дроби $\frac{a}{b}$ должен иметь вид $b = 2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа.

Причина этого правила заключается в том, что наша система счисления является десятичной, а число 10 раскладывается на простые множители как $10 = 2 \cdot 5$. Поэтому, чтобы получить в знаменателе степень десяти ($10^k = 2^k \cdot 5^k$), исходный знаменатель должен состоять только из двоек и пятерок. Если знаменатель содержит другие простые множители (3, 7, 11 и т.д.), то его невозможно домножить на целое число и получить степень десяти.

Например:

Дробь $\frac{3}{4}$ можно записать в десятичном виде, так как ее знаменатель $4 = 2^2$. Для этого домножим числитель и знаменатель на $5^2=25$:$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0.75$.

Дробь $\frac{7}{50}$ также можно представить в виде конечной десятичной дроби, поскольку ее знаменатель $50 = 2 \cdot 5^2$. Домножим числитель и знаменатель на 2:$\frac{7}{50} = \frac{7 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{14}{100} = 0.14$.

В то же время, дробь $\frac{5}{6}$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Ее знаменатель $6 = 2 \cdot 3$ содержит простой множитель 3. При попытке деления получается бесконечная периодическая дробь: $5 \div 6 = 0.8333...$

Ответ: Десятичную форму записи применяют к дробям, знаменатели которых в несократимом виде не имеют других простых делителей, кроме 2 и 5.

2. Что в записи десятичной дроби отделяет целую часть от дробной?

В записи десятичной дроби целую часть от дробной отделяет запятая. Этот символ является десятичным разделителем.

Любая десятичная дробь состоит из двух частей, расположенных по обе стороны от запятой:

• Целая часть — это число, стоящее слева от запятой. Оно показывает количество целых единиц в числе.
• Дробная часть — это число, стоящее справа от запятой. Оно показывает долю единицы (десятые, сотые, тысячные доли и т. д.).

Рассмотрим на примере дроби $38,45$:

• $38$ — это целая часть.
• $45$ — это дробная часть (читается как "сорок пять сотых").
• Запятая между цифрами $8$ и $4$ является разделителем, который показывает, где заканчивается целая часть и начинается дробная.

Если целая часть отсутствует (меньше единицы), то на её месте пишется ноль, например: $0,7$. Здесь $0$ — целая часть, а $7$ — дробная.

Ответ: Запятая.

3. Чему равна целая часть правильной дроби?

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Пусть дана правильная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению правильной дроби, числитель $a$ строго меньше знаменателя $b$: $a < b$.

Целая часть дроби находится путем целочисленного деления числителя на знаменатель. Это означает, что мы определяем, сколько раз знаменатель "помещается" в числителе целиком.

Поскольку в любой правильной дроби числитель $a$ меньше знаменателя $b$, то при делении $a$ на $b$ мы всегда будем получать 0 в качестве целой части, а остаток от деления будет равен самому числителю $a$.

Например:
1. В дроби $\frac{2}{5}$ числитель 2 меньше знаменателя 5. При делении 2 на 5 получаем 0 целых и 2 в остатке. Целая часть равна 0.
2. В дроби $\frac{9}{10}$ числитель 9 меньше знаменателя 10. При делении 9 на 10 получаем 0 целых и 9 в остатке. Целая часть равна 0.

Любая положительная правильная дробь всегда больше 0, но меньше 1. Соответственно, её целая часть всегда равна нулю.

Ответ: 0

4. Сколько цифр содержит запись дробной части десятичной дроби?

Количество цифр в записи дробной части десятичной дроби, то есть цифр после запятой, зависит от вида дроби. Существует два основных случая.

Конечные десятичные дроби
В таких дробях количество цифр в дробной части конечно. Например, у дроби $0.5$ одна цифра после запятой, у дроби $3.14$ — две цифры, а у дроби $12.875$ — три цифры. Число цифр может быть любым, но оно всегда является определённым натуральным числом. Такие дроби получаются, когда знаменатель соответствующей обыкновенной несократимой дроби не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5.

Бесконечные десятичные дроби
В таких дробях количество цифр в дробной части бесконечно. Например, если преобразовать обыкновенную дробь $1/3$ в десятичную, получится $0.333...$ — цифра 3 повторяется бесконечное число раз. Другой пример — иррациональные числа, такие как $\pi \approx 3.14159...$, которые также имеют бесконечное число цифр в дробной части, но без повторяющегося периода. Бесконечные периодические дроби получаются, когда в знаменателе соответствующей обыкновенной несократимой дроби есть простые множители, отличные от 2 и 5.

Таким образом, запись дробной части десятичной дроби может содержать как конечное, так и бесконечное число цифр.

Ответ: Запись дробной части десятичной дроби может содержать конечное или бесконечное число цифр.

5. Назовите по порядку четыре разряда, идущих в записи десятичной дроби после запятой.

В позиционной десятичной системе счисления значение каждой цифры в числе зависит от её положения, или разряда. Разряды, находящиеся справа от запятой, представляют дробную часть числа. Названия этих разрядов происходят от знаменателей соответствующих им простых дробей.

Четыре разряда, идущие в записи десятичной дроби сразу после запятой, в порядке их следования:

1. Разряд десятых. Это первая цифра после запятой. Она показывает, сколько десятых долей ($ \frac{1}{10} $, или $ 10^{-1} $) содержится в числе. Например, в числе 12,3 цифра 3 находится в разряде десятых.

2. Разряд сотых. Это вторая цифра после запятой. Она показывает количество сотых долей ($ \frac{1}{100} $, или $ 10^{-2} $). Например, в числе 5,67 цифра 7 находится в разряде сотых.

3. Разряд тысячных. Это третья цифра после запятой. Она показывает количество тысячных долей ($ \frac{1}{1000} $, или $ 10^{-3} $). Например, в числе 0,891 цифра 1 находится в разряде тысячных.

4. Разряд десятитысячных. Это четвертая цифра после запятой. Она показывает количество десятитысячных долей ($ \frac{1}{10000} $, или $ 10^{-4} $). Например, в числе 4,5678 цифра 8 находится в разряде десятитысячных.

Ответ: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные.

6. Как читают десятичную дробь?

Чтобы правильно прочитать десятичную дробь, необходимо последовательно назвать её целую и дробную части, следуя определённому алгоритму.

1. Прочитать целую часть. Сначала читают число, стоящее слева от запятой (целую часть), и добавляют слово «целых».
   • Исключение: если целая часть оканчивается на 1 (кроме чисел, оканчивающихся на 11), то говорят «целая». Например, $1,5$ читается как «одна целая...», а $21,3$ — «двадцать одна целая...».
   • Если целая часть равна нулю ($0$), то её при чтении опускают и сразу переходят к дробной части.
2. Прочитать дробную часть. Затем читают число, стоящее справа от запятой (дробную часть), как обычное натуральное число.
3. Назвать разряд. В конце произносят название разряда, которое определяется количеством цифр в дробной части. Название разряда должно быть грамматически согласовано с числом из дробной части.
   • 1 цифра после запятой — десятые (например, одна десятая, три десятых).
   • 2 цифры после запятой — сотые (например, одна сотая, двадцать три сотых).
   • 3 цифры после запятой — тысячные (например, одна тысячная, сто две тысячных).
   • 4 цифры после запятой — десятитысячные, и так далее.

Примеры:

• $7,2$ — семь целых две десятых.
• $15,36$ — пятнадцать целых тридцать шесть сотых.
• $1,121$ — одна целая сто двадцать одна тысячная.
• $0,08$ — восемь сотых (целая часть $0$ не произносится).
• $2,0005$ — две целых пять десятитысячных.

Ответ: Чтобы прочитать десятичную дробь, нужно сначала назвать её целую часть (число до запятой) со словом «целая» или «целых», а затем назвать её дробную часть (число после запятой) с добавлением названия разряда последней цифры (десятых, сотых, тысячных и т.д.). Если целая часть равна нулю, её не произносят, а начинают чтение сразу с дробной части.

1. Какую часть:

1) метра составляет: 1 см; 3 дм; 4 мм;

2) тонны составляет: 1 кг; 5 ц; 346 кг;

3) квадратного метра составляет: $1 \text{ дм}^2$; $8 \text{ см}^2$?

1) метра составляет: 1 см; 3 дм; 4 мм

Чтобы найти, какую часть одна величина составляет от другой, нужно меньшую величину разделить на большую, предварительно приведя их к одинаковым единицам измерения.

Для 1 см:
Мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Следовательно, 1 сантиметр составляет $\frac{1}{100}$ часть метра.

Для 3 дм:
Мы знаем, что в одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$).
Следовательно, 3 дециметра составляют $\frac{3}{10}$ части метра.

Для 4 мм:
Мы знаем, что в одном метре 1000 миллиметров ($1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$).
Следовательно, 4 миллиметра составляют $\frac{4}{1000}$ часть метра. Эту дробь можно сократить: $\frac{4}{1000} = \frac{1}{250}$.
Ответ: 1 см составляет $\frac{1}{100}$ часть метра; 3 дм составляют $\frac{3}{10}$ части метра; 4 мм составляют $\frac{4}{1000}$ (или $\frac{1}{250}$) часть метра.

2) тонны составляет: 1 кг; 5 ц; 346 кг

Аналогично, используем соотношения единиц массы, чтобы найти требуемые части.

Для 1 кг:
Мы знаем, что в одной тонне 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).
Следовательно, 1 килограмм составляет $\frac{1}{1000}$ часть тонны.

Для 5 ц:
Мы знаем, что в одной тонне 10 центнеров ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$).
Следовательно, 5 центнеров составляют $\frac{5}{10}$ части тонны. Эту дробь можно сократить до $\frac{1}{2}$.

Для 346 кг:
Мы знаем, что в одной тонне 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).
Следовательно, 346 килограммов составляют $\frac{346}{1000}$ части тонны. Эту дробь можно сократить до $\frac{173}{500}$.
Ответ: 1 кг составляет $\frac{1}{1000}$ часть тонны; 5 ц составляют $\frac{5}{10}$ (или $\frac{1}{2}$) части тонны; 346 кг составляют $\frac{346}{1000}$ (или $\frac{173}{500}$) части тонны.

3) квадратного метра составляет: 1 дм²; 8 см²?

Для единиц площади нужно возвести в квадрат соотношения соответствующих линейных единиц.

Для 1 дм²:
Так как $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, то $1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$.
Следовательно, 1 квадратный дециметр составляет $\frac{1}{100}$ часть квадратного метра.

Для 8 см²:
Так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$.
Следовательно, 8 квадратных сантиметров составляют $\frac{8}{10000}$ части квадратного метра. Эту дробь можно сократить до $\frac{1}{1250}$.
Ответ: 1 дм² составляет $\frac{1}{100}$ часть квадратного метра; 8 см² составляют $\frac{8}{10000}$ (или $\frac{1}{1250}$) части квадратного метра.

2. Во сколько раз:

1) $1 \text{ см}$ меньше $1 \text{ м}$;

2) $10 \text{ г}$ меньше $1 \text{ кг}$;

3) $9 \text{ м}$ больше $9 \text{ дм}$;

4) $4 \text{ ц}$ больше $20 \text{ кг}$?

1) 1 см меньше 1 м;

Чтобы определить, во сколько раз одна величина меньше другой, нужно большую величину разделить на меньшую. Сначала приведем обе величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести метры в сантиметры.

В одном метре 100 сантиметров:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Теперь разделим большую величину на меньшую:

$100 \text{ см} \div 1 \text{ см} = 100$

Таким образом, 1 см меньше 1 м в 100 раз.

Ответ: в 100 раз.

2) 10 г меньше 1 кг;

Для решения этой задачи приведем обе величины к граммам. В одном килограмме 1000 граммов:

$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Чтобы найти, во сколько раз 10 г меньше 1 кг, разделим большую величину на меньшую:

$1000 \text{ г} \div 10 \text{ г} = 100$

Следовательно, 10 г меньше 1 кг в 100 раз.

Ответ: в 100 раз.

3) 9 м больше 9 дм;

Чтобы определить, во сколько раз одна величина больше другой, нужно разделить большую величину на меньшую, предварительно приведя их к одинаковым единицам измерения. Переведем метры в дециметры.

В одном метре 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Тогда 9 метров — это:

$9 \text{ м} = 9 \times 10 \text{ дм} = 90 \text{ дм}$

Теперь разделим большую величину на меньшую:

$90 \text{ дм} \div 9 \text{ дм} = 10$

Таким образом, 9 м больше 9 дм в 10 раз.

Ответ: в 10 раз.

4) 4 ц больше 20 кг?

Для решения приведем обе величины к килограммам. Центнер (ц) — это единица массы, равная 100 килограммам.

$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$

Переведем 4 центнера в килограммы:

$4 \text{ ц} = 4 \times 100 \text{ кг} = 400 \text{ кг}$

Теперь разделим большую величину на меньшую, чтобы найти, во сколько раз 4 ц больше 20 кг:

$400 \text{ кг} \div 20 \text{ кг} = 20$

Следовательно, 4 ц больше 20 кг в 20 раз.

Ответ: в 20 раз.

3. К сумме чисел 28 и 6 прибавьте сумму чисел 12 и 14. $$(28 + 6) + (12 + 14)$$

Для решения задачи необходимо выполнить действия по порядку, как указано в условии.

1. Находим сумму чисел 28 и 6. Это будет первое слагаемое.

$28 + 6 = 34$

2. Находим сумму чисел 12 и 14. Это будет второе слагаемое.

$12 + 14 = 26$

3. К первой полученной сумме (34) прибавляем вторую полученную сумму (26).

$34 + 26 = 60$

Целиком выражение можно записать так:

$(28 + 6) + (12 + 14) = 34 + 26 = 60$

Ответ: 60

4. Из разности чисел 30 и 16 вычтите разность чисел 42 и 29.

Для решения этой задачи необходимо выполнить действия по порядку. Сначала мы находим две разности, а затем вычитаем одну из другой.

1. Находим разность чисел 30 и 16. Разность – это результат вычитания.

$30 - 16 = 14$

2. Находим разность чисел 42 и 29.

$42 - 29 = 13$

3. Теперь из первой полученной разности (14) вычитаем вторую (13), как и требуется в условии.

$14 - 13 = 1$

Полное выражение выглядит следующим образом:

$(30 - 16) - (42 - 29) = 14 - 13 = 1$

Ответ: 1

5. Произведение чисел 12 и 5 умножьте на произведение чисел 15 и 4.

Чтобы решить данную задачу, необходимо выполнить два действия по умножению, а затем перемножить их результаты.

1. Сначала найдем произведение чисел 12 и 5. Произведение — это результат умножения.
$12 \times 5 = 60$

2. Затем найдем произведение чисел 15 и 4.
$15 \times 4 = 60$

3. Наконец, умножим первый результат на второй, как того требует условие задачи.
$60 \times 60 = 3600$

Таким образом, все вычисление можно записать одним выражением:
$(12 \times 5) \times (15 \times 4) = 60 \times 60 = 3600$

Ответ: 3600

6. Частное чисел 90 и 15 разделите на частное чисел 84 и 14.

$(90 \div 15) \div (84 \div 14)$

Чтобы решить эту задачу, нужно выполнить действия в правильном порядке. Сначала находим оба частных, а затем делим одно на другое.

1. Находим частное чисел 90 и 15. Частное — это результат деления.
$90 \div 15 = 6$

2. Находим частное чисел 84 и 14.
$84 \div 14 = 6$

3. Делим первое частное (результат первого действия) на второе частное (результат второго действия).
$6 \div 6 = 1$

Таким образом, всё выражение можно записать так:
$(90 \div 15) \div (84 \div 14) = 1$

Ответ: 1

797. Запишите в виде десятичной дроби:

1) $\frac{8}{10}$;

2) $\frac{34}{100}$;

3) $\frac{683}{1000}$;

4) $14 \frac{5}{10}$;

5) $6 \frac{27}{100}$;

6) $42 \frac{174}{1000}$;

7) $9 \frac{3}{100}$;

8) $17 \frac{24}{1000}$;

9) $5 \frac{1}{1000}$;

10) $63 \frac{19}{100000}$;

11) $\frac{32}{10000}$;

12) $\frac{4}{1000}$;

13) $\frac{3}{1000000}$;

14) $3 \frac{15}{100}$;

15) $3 \frac{15}{1000}$;

16) $3 \frac{15}{10000}$.

1) Чтобы записать обыкновенную дробь $\frac{8}{10}$ в виде десятичной, нужно числитель (8) разделить на знаменатель (10). Так как в знаменателе один ноль, в десятичной записи после запятой будет одна цифра.
$\frac{8}{10} = 0,8$
Ответ: 0,8.

2) Для дроби $\frac{34}{100}$ знаменатель равен 100, что означает, что в десятичной записи должно быть две цифры после запятой.
$\frac{34}{100} = 0,34$
Ответ: 0,34.

3) В дроби $\frac{683}{1000}$ в знаменателе 1000 (три ноля), поэтому в десятичной записи будет три цифры после запятой.
$\frac{683}{1000} = 0,683$
Ответ: 0,683.

4) В смешанном числе $14 \frac{5}{10}$ целая часть (14) становится целой частью десятичной дроби. Дробную часть $\frac{5}{10}$ записываем как 0,5.
$14 \frac{5}{10} = 14 + 0,5 = 14,5$
Ответ: 14,5.

5) В смешанном числе $6 \frac{27}{100}$ целая часть равна 6. Дробную часть $\frac{27}{100}$ записываем как 0,27, так как в знаменателе два ноля.
$6 \frac{27}{100} = 6 + 0,27 = 6,27$
Ответ: 6,27.

6) В смешанном числе $42 \frac{174}{1000}$ целая часть равна 42. Дробную часть $\frac{174}{1000}$ записываем как 0,174, так как в знаменателе три ноля.
$42 \frac{174}{1000} = 42 + 0,174 = 42,174$
Ответ: 42,174.

7) В смешанном числе $9 \frac{3}{100}$ целая часть равна 9. Для записи дробной части $\frac{3}{100}$ нам нужно две цифры после запятой. Так как в числителе только одна цифра, мы добавляем перед ней ноль.
$9 \frac{3}{100} = 9 + 0,03 = 9,03$
Ответ: 9,03.

8) В смешанном числе $17 \frac{24}{1000}$ целая часть равна 17. Для записи дробной части $\frac{24}{1000}$ нам нужно три цифры после запятой. Добавляем один ноль перед числителем 24.
$17 \frac{24}{1000} = 17 + 0,024 = 17,024$
Ответ: 17,024.

9) В смешанном числе $5 \frac{1}{1000}$ целая часть равна 5. Для записи дробной части $\frac{1}{1000}$ нам нужно три цифры после запятой. Добавляем два ноля перед числителем 1.
$5 \frac{1}{1000} = 5 + 0,001 = 5,001$
Ответ: 5,001.

10) В смешанном числе $63 \frac{19}{100000}$ целая часть равна 63. Знаменатель дробной части содержит пять нолей, значит, после запятой должно быть пять цифр. Добавляем три ноля перед числителем 19.
$63 \frac{19}{100000} = 63 + 0,00019 = 63,00019$
Ответ: 63,00019.

11) В дроби $\frac{32}{10000}$ в знаменателе четыре ноля. Следовательно, в десятичной записи должно быть четыре цифры после запятой. Добавляем два ноля перед числителем 32.
$\frac{32}{10000} = 0,0032$
Ответ: 0,0032.

12) В дроби $\frac{4}{1000}$ в знаменателе три ноля. Следовательно, в десятичной записи должно быть три цифры после запятой. Добавляем два ноля перед числителем 4.
$\frac{4}{1000} = 0,004$
Ответ: 0,004.

13) В дроби $\frac{3}{1000000}$ в знаменателе шесть нолей. Следовательно, в десятичной записи должно быть шесть цифр после запятой. Добавляем пять нолей перед числителем 3.
$\frac{3}{1000000} = 0,000003$
Ответ: 0,000003.

14) В смешанном числе $3 \frac{15}{100}$ целая часть равна 3. Дробную часть $\frac{15}{100}$ записываем как 0,15.
$3 \frac{15}{100} = 3 + 0,15 = 3,15$
Ответ: 3,15.

15) В смешанном числе $3 \frac{15}{1000}$ целая часть равна 3. Для записи дробной части $\frac{15}{1000}$ нужно три цифры после запятой. Добавляем один ноль перед числителем 15.
$3 \frac{15}{1000} = 3 + 0,015 = 3,015$
Ответ: 3,015.

16) В смешанном числе $3 \frac{15}{10000}$ целая часть равна 3. Для записи дробной части $\frac{15}{10000}$ нужно четыре цифры после запятой. Добавляем два ноля перед числителем 15.
$3 \frac{15}{10000} = 3 + 0,0015 = 3,0015$
Ответ: 3,0015.