Страница 202 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Бревно распилили на две части длиной 3 м и 4 м. Какую часть данного бревна составляет меньшее из полученных брёвен?

А) $ \frac{3}{7} $

Б) $ \frac{3}{4} $

В) $ \frac{1}{3} $

Г) $ \frac{1}{7} $

Для того чтобы определить, какую часть от всего бревна составляет его меньшая часть, необходимо выполнить два действия.

1. Найти общую длину исходного бревна. Так как бревно распилили на две части, его общая длина будет равна сумме длин этих частей:
$3 \text{ м} + 4 \text{ м} = 7 \text{ м}$.
Таким образом, общая длина бревна до распила составляла 7 метров.

2. Определить, какую часть от общей длины составляет меньший кусок. Длины кусков — 3 м и 4 м. Меньший из них имеет длину 3 м. Чтобы найти долю, нужно разделить длину меньшей части на общую длину бревна:
$\frac{3}{7}$.
Следовательно, меньшее из полученных брёвен составляет $\frac{3}{7}$ от всего бревна. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту А.

Ответ: А) $\frac{3}{7}$

2. На рисунке изображена часть координатного луча. Какую координату имеет точка A?

А) $3$

Б) $2\frac{1}{4}$

В) $2\frac{3}{4}$

Г) $3\frac{1}{3}$

Для того чтобы определить координату точки A, необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Найдем длину отрезка между известными точками.
На координатном луче отмечены точки с координатами 1 и 4. Длина отрезка между ними равна разности их координат: $L = 4 - 1 = 3$.

2. Определим количество делений на этом отрезке.
Посчитаем количество равных промежутков (делений) между точками 1 и 4. На рисунке видно, что этот отрезок разделен на 12 таких промежутков.

3. Вычислим цену одного деления.
Цена одного деления (то есть, на какую величину увеличивается координата при переходе к следующей отметке) равна общей длине отрезка, разделенной на количество делений: $Цена\ деления = \frac{L}{Количество\ делений} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

4. Найдем координату точки A.
Точка A находится на 7-й отметке после точки с координатой 1. Чтобы найти ее координату, нужно к начальной координате (1) прибавить произведение количества делений от начала (7) на цену одного деления ($\frac{1}{4}$): $Координата\ A = 1 + 7 \times \frac{1}{4} = 1 + \frac{7}{4}$.

5. Преобразуем полученное значение.
Переведем неправильную дробь $\frac{7}{4}$ в смешанное число: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$. Теперь вычислим итоговую координату: $Координата\ A = 1 + 1\frac{3}{4} = 2\frac{3}{4}$.

Таким образом, точка A имеет координату $2\frac{3}{4}$. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: В) $2\frac{3}{4}$

3. Укажите верное неравенство.

А) $\frac{7}{6} < \frac{6}{7}$

Б) $\frac{1}{5} > \frac{1}{4}$

В) $\frac{7}{13} < \frac{9}{13}$

Г) $\frac{15}{19} > \frac{17}{19}$

Для того чтобы найти верное неравенство, проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) $\frac{7}{6} < \frac{6}{7}$

Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{6}$ и $\frac{6}{7}$, можно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $6 \times 7 = 42$.
$\frac{7}{6} = \frac{7 \times 7}{6 \times 7} = \frac{49}{42}$
$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 6}{7 \times 6} = \frac{36}{42}$
Так как $49 > 36$, то $\frac{49}{42} > \frac{36}{42}$, и, следовательно, $\frac{7}{6} > \frac{6}{7}$.
Также можно заметить, что дробь $\frac{7}{6}$ неправильная (больше 1), а дробь $\frac{6}{7}$ правильная (меньше 1), поэтому первая дробь больше второй.
Неравенство $\frac{7}{6} < \frac{6}{7}$ неверно.
Ответ: неверно.

Б) $\frac{1}{5} > \frac{1}{4}$

Для сравнения дробей с одинаковыми числителями (в данном случае 1) большей является та, у которой знаменатель меньше.
Поскольку $5 > 4$, то $\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$.
Приведем к общему знаменателю $5 \times 4 = 20$:
$\frac{1}{5} = \frac{4}{20}$
$\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$
Так как $4 < 5$, то $\frac{4}{20} < \frac{5}{20}$, что подтверждает $\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$.
Неравенство $\frac{1}{5} > \frac{1}{4}$ неверно.
Ответ: неверно.

В) $\frac{7}{13} < \frac{9}{13}$

Данные дроби имеют одинаковый знаменатель. Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями нужно сравнить их числители. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.
Сравниваем числители: $7 < 9$.
Следовательно, $\frac{7}{13} < \frac{9}{13}$.
Неравенство верно.
Ответ: верно.

Г) $\frac{15}{19} > \frac{17}{19}$

Эти дроби также имеют одинаковый знаменатель. Сравниваем их числители.
Сравниваем числители: $15 < 17$.
Следовательно, $\frac{15}{19} < \frac{17}{19}$.
Неравенство $\frac{15}{19} > \frac{17}{19}$ неверно.
Ответ: неверно.

Единственное верное неравенство — В).

4. В магазин завезли 250 кг сахара. За первый день было продано $ \frac{3}{5} $ завезённого сахара. Сколько килограммов сахара было продано за первый день?

А) 180 кг

Б) 120 кг

В) 200 кг

Г) 150 кг

Для того чтобы найти, сколько килограммов сахара было продано за первый день, необходимо вычислить, какую часть составляет проданный сахар от общего количества.

Всего в магазин завезли 250 кг сахара. В первый день было продано $ \frac{3}{5} $ от этого количества. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь.

Выполним вычисление:

$ 250 \cdot \frac{3}{5} $

Для удобства вычислений можно сначала разделить 250 на знаменатель дроби (5), а затем результат умножить на числитель (3):

$ (250 \div 5) \cdot 3 = 50 \cdot 3 = 150 $ кг.

Таким образом, за первый день было продано 150 кг сахара.

Ответ: Г) 150 кг

5. В школе учатся 280 мальчиков, что составляет $\frac{4}{7}$ всех учащихся. Сколько всего учащихся в этой школе?

А) 490
Б) 420
В) 240
Г) 160

Для решения этой задачи необходимо найти целое число по его части. Нам известно, что 280 мальчиков — это часть от общего числа учащихся, и эта часть составляет $ \frac{4}{7} $.

Пусть $x$ — это общее количество учащихся в школе. Тогда, согласно условию, можно составить уравнение:
$ \frac{4}{7} \cdot x = 280 $

Чтобы найти $x$ (общее число учащихся), нужно известную часть (280) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($ \frac{4}{7} $):
$ x = 280 : \frac{4}{7} $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$ x = 280 \cdot \frac{7}{4} $

Теперь выполним вычисления. Можно сначала разделить 280 на 4, а затем умножить на 7:
$ x = (280 : 4) \cdot 7 $
$ x = 70 \cdot 7 $
$ x = 490 $

Таким образом, общее количество учащихся в школе составляет 490 человек.
Проверим решение: найдем $ \frac{4}{7} $ от 490.
$ 490 \cdot \frac{4}{7} = (490 : 7) \cdot 4 = 70 \cdot 4 = 280 $.
Результат совпадает с количеством мальчиков в условии, значит, решение верное.
Ответ: 490

6. Преобразуйте в смешанное число дробь $ \frac{49}{11} $.

А) $ 5 \frac{6}{11} $

Б) $ 4 \frac{5}{11} $

В) $ 4 \frac{4}{11} $

Г) $ 5 \frac{4}{11} $

Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{49}{11}$ в смешанное число, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком.

1. Выполним деление числителя 49 на знаменатель 11, чтобы найти целую часть будущего смешанного числа. Ближайшее к 49 число, которое меньше его и делится на 11 без остатка, это 44 ($11 \times 4 = 44$).

$49 \div 11 = 4$ (неполное частное)

Таким образом, целая часть смешанного числа равна 4.

2. Теперь найдем остаток от деления. Для этого из числителя 49 вычтем произведение найденной целой части (4) и знаменателя (11):

$49 - (4 \times 11) = 49 - 44 = 5$

Остаток равен 5. Этот остаток становится числителем дробной части смешанного числа.

3. Составим смешанное число. Целая часть равна 4, числитель дробной части — 5, а знаменатель остается тем же — 11.

В результате получаем смешанное число $4\frac{5}{11}$.

Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $4\frac{5}{11}$

7. Представьте в виде неправильной дроби число $4 \frac{5}{12}$.

А) $\frac{64}{12}$

Б) $\frac{53}{12}$

В) $\frac{9}{12}$

Г) $\frac{21}{12}$

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо его целую часть умножить на знаменатель, к полученному произведению прибавить числитель, а знаменатель оставить без изменений.

Для заданного числа $4 \frac{5}{12}$ выполним следующие действия:

1. Умножим целую часть (4) на знаменатель (12):

$4 \cdot 12 = 48$

2. К полученному результату (48) прибавим числитель (5):

$48 + 5 = 53$

3. Полученное число (53) будет числителем неправильной дроби, а знаменатель (12) останется прежним.

Таким образом, смешанное число $4 \frac{5}{12}$ в виде неправильной дроби записывается как $\frac{53}{12}$.

Этот результат соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $\frac{53}{12}$

8. Чему равна разность $9-5\frac{2}{7}$?

А) $4\frac{5}{7}$

Б) $3\frac{2}{7}$

В) $4\frac{2}{7}$

Г) $3\frac{5}{7}$

Чтобы найти разность между целым числом и смешанной дробью, необходимо представить целое число в виде смешанной дроби с таким же знаменателем.

1. Представим число 9 в виде суммы $8 + 1$.

2. Единицу представим в виде неправильной дроби со знаменателем 7, чтобы можно было выполнить вычитание дробей: $1 = \frac{7}{7}$.

3. Таким образом, число 9 можно записать как $8\frac{7}{7}$.

4. Теперь выполним вычитание. Вычитаем целые части и дробные части отдельно:

$9 - 5\frac{2}{7} = 8\frac{7}{7} - 5\frac{2}{7} = (8 - 5) + (\frac{7}{7} - \frac{2}{7}) = 3 + \frac{7 - 2}{7} = 3 + \frac{5}{7} = 3\frac{5}{7}$.

Следовательно, разность равна $3\frac{5}{7}$. Это соответствует варианту Г.

Ответ: $3\frac{5}{7}$

9. Чему равно наименьшее натуральное значение m, при котором

верно неравенство $m > \frac{35}{6}$?

А) 4

Б) 5

В) 6

Г) 7

В задаче требуется найти наименьшее натуральное значение m, при котором будет верным неравенство $m > \frac{35}{6}$.

Для того чтобы найти это значение, сначала преобразуем дробь $\frac{35}{6}$ в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:

$35 \div 6 = 5$ (остаток $5$).

Таким образом, дробь $\frac{35}{6}$ равна смешанному числу $5\frac{5}{6}$.

Теперь неравенство можно переписать в виде: $m > 5\frac{5}{6}$.

По условию, m — это натуральное число (то есть целое положительное число: 1, 2, 3, ...). Нам нужно найти наименьшее натуральное число, которое больше $5\frac{5}{6}$.

Натуральные числа, которые идут после 5, это 6, 7, 8 и так далее.

Сравним число $5\frac{5}{6}$ с ближайшими натуральными числами:

• Число 5 меньше, чем $5\frac{5}{6}$, поэтому оно не удовлетворяет неравенству.
• Следующее натуральное число — 6. Проверим неравенство: $6 > 5\frac{5}{6}$. Это верно.

Поскольку 5 не подходит, а 6 — первое натуральное число, которое больше $5\frac{5}{6}$, оно и является искомым наименьшим натуральным значением.

Ответ: 6