Страница 203 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Какое число должно стоять в конце цепочки вычислений?

$6 \frac{3}{11} \xrightarrow{+ 1 \frac{2}{11}} \circ \xrightarrow{- 4 \frac{8}{11}} \circ \xrightarrow{+ 3 \frac{3}{11}} ?$

А) $6$

Б) $7$

В) $6 \frac{6}{11}$

Г) $5 \frac{10}{11}$

Чтобы найти число, которое должно стоять в конце цепочки, необходимо последовательно выполнить все указанные математические операции.

Вся цепочка вычислений выглядит так: $6\frac{3}{11} + 1\frac{2}{11} - 4\frac{8}{11} + 3\frac{3}{11}$.

Выполним вычисления по шагам:

Первое действие:

К начальному числу $6\frac{3}{11}$ прибавляем $1\frac{2}{11}$. Для сложения смешанных чисел складываем их целые и дробные части отдельно.

$6\frac{3}{11} + 1\frac{2}{11} = (6 + 1) + (\frac{3}{11} + \frac{2}{11}) = 7 + \frac{3+2}{11} = 7\frac{5}{11}$

Второе действие:

Из результата первого действия ($7\frac{5}{11}$) вычитаем $4\frac{8}{11}$. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{11}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{8}{11}$), необходимо преобразовать уменьшаемое, "заняв" единицу из целой части.

$7\frac{5}{11} = 6 + 1 + \frac{5}{11} = 6 + \frac{11}{11} + \frac{5}{11} = 6\frac{16}{11}$

Теперь выполняем вычитание:

$6\frac{16}{11} - 4\frac{8}{11} = (6 - 4) + (\frac{16}{11} - \frac{8}{11}) = 2 + \frac{16-8}{11} = 2\frac{8}{11}$

Третье действие:

К результату второго действия ($2\frac{8}{11}$) прибавляем $3\frac{3}{11}$.

$2\frac{8}{11} + 3\frac{3}{11} = (2 + 3) + (\frac{8}{11} + \frac{3}{11}) = 5 + \frac{8+3}{11} = 5 + \frac{11}{11} = 5 + 1 = 6$

В конце цепочки вычислений должно стоять число 6. Этот результат соответствует варианту ответа А).

Ответ: 6

11. При каком наибольшем натуральном значении m дробь $ \frac{30}{5m + 10} $ будет неправильной?

А) 3

Б) 4

В) 5

Г) 6

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. В нашем случае дробь имеет вид $\frac{30}{5m+10}$.

Чтобы эта дробь была неправильной, должно выполняться следующее неравенство:

$30 \geq 5m + 10$

В условии сказано, что $m$ — натуральное число, то есть $m$ может принимать значения 1, 2, 3, и так далее.

Решим неравенство относительно $m$:

Вычтем 10 из обеих частей неравенства:

$30 - 10 \geq 5m$

$20 \geq 5m$

Разделим обе части неравенства на 5:

$\frac{20}{5} \geq m$

$4 \geq m$

Таким образом, $m$ должно быть натуральным числом, меньшим или равным 4. Натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию: 1, 2, 3, 4.

Наибольшее из этих натуральных значений равно 4.

Проверим: если $m=4$, то знаменатель равен $5 \cdot 4 + 10 = 30$. Дробь $\frac{30}{30}$ является неправильной. Если взять следующее натуральное число $m=5$, то знаменатель будет равен $5 \cdot 5 + 10 = 35$. Дробь $\frac{30}{35}$ является правильной.

Следовательно, наибольшее натуральное значение $m$, при котором дробь будет неправильной, это 4.

Ответ: Б) 4

12. Укажите все натуральные значения $a$, при которых каждая из дробей $\frac{a}{7}$ и $\frac{4}{a}$ будет правильной.

А) 4; 5; 6; 7

Б) 5; 6

В) 5; 6; 7

Г) таких значений не существует

По условию задачи, обе дроби, $\frac{a}{7}$ и $\frac{4}{a}$, должны быть правильными. Также указано, что $a$ — натуральное число.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Поскольку $a$ является натуральным числом, числители и знаменатели в обеих дробях положительны.

1. Рассмотрим первую дробь $\frac{a}{7}$. Чтобы она была правильной, ее числитель $a$ должен быть меньше знаменателя $7$. Это дает нам первое неравенство:

$a < 7$

Поскольку $a$ — натуральное число, возможные значения для $a$ на этом шаге: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

2. Рассмотрим вторую дробь $\frac{4}{a}$. Чтобы она была правильной, ее числитель $4$ должен быть меньше знаменателя $a$. Это дает нам второе неравенство:

$4 < a$

Возможные натуральные значения для $a$ на этом шаге: $5, 6, 7, 8, \dots$

Для того чтобы обе дроби были правильными, значение $a$ должно удовлетворять обоим неравенствам одновременно. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} a < 7 \\ a > 4 \end{cases}$

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$4 < a < 7$

Натуральными числами, которые удовлетворяют этому двойному неравенству, являются числа, которые больше $4$ и одновременно меньше $7$. Такими числами являются $5$ и $6$.

Таким образом, только при $a=5$ и $a=6$ обе дроби будут правильными.

Проверим найденные значения:

• Если $a=5$, то дроби будут $\frac{5}{7}$ и $\frac{4}{5}$. Обе правильные, так как $5 < 7$ и $4 < 5$.
• Если $a=6$, то дроби будут $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{6}$. Обе правильные, так как $6 < 7$ и $4 < 6$.

Среди предложенных вариантов ответа, вариант Б) содержит именно эти значения.

Ответ: Б) 5; 6