Страница 198 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Назовите все пары правильных дробей со знаменателем 9, сумма которых равна $ \frac{7}{9} $.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Мы ищем пары правильных дробей со знаменателем 9. Это значит, что дроби имеют вид $\frac{a}{9}$, где $a$ — это натуральное число от 1 до 8.

Пусть искомые дроби — это $\frac{a}{9}$ и $\frac{b}{9}$. По условию, их числители $a$ и $b$ должны быть натуральными числами, меньшими 9.

Сумма этих дробей равна $\frac{7}{9}$, что можно записать в виде уравнения:

$\frac{a}{9} + \frac{b}{9} = \frac{7}{9}$

При сложении дробей с одинаковым знаменателем, мы складываем их числители:

$\frac{a + b}{9} = \frac{7}{9}$

Отсюда следует, что сумма числителей должна быть равна 7:

$a + b = 7$

Теперь найдем все пары натуральных чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 7. Чтобы не повторять пары (например, $\frac{1}{9}$ и $\frac{6}{9}$ — та же пара, что и $\frac{6}{9}$ и $\frac{1}{9}$), будем перебирать значения, считая, что $a$ не больше $b$.

1. Если $a = 1$, то $b = 7 - 1 = 6$. Оба числителя (1 и 6) меньше 9, значит, дроби $\frac{1}{9}$ и $\frac{6}{9}$ являются правильными. Это первая искомая пара.

2. Если $a = 2$, то $b = 7 - 2 = 5$. Оба числителя (2 и 5) меньше 9, значит, дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{9}$ являются правильными. Это вторая искомая пара.

3. Если $a = 3$, то $b = 7 - 3 = 4$. Оба числителя (3 и 4) меньше 9, значит, дроби $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$ являются правильными. Это третья искомая пара.

Если взять $a = 4$, то $b = 3$, что является повторением третьей пары. Таким образом, мы нашли все уникальные пары.

Ответ: $\frac{1}{9}$ и $\frac{6}{9}$; $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{9}$; $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$.

5. На обед Пончик съел 42 вареника, из которых $\frac{4}{7}$ составляли вареники с творогом, $\frac{1}{7}$ вареники с картофелем, а остальные — вареники с вишней. Сколько вареников с вишней съел Пончик?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Последовательное вычисление количества вареников

1. Найдём количество вареников с творогом.

Чтобы найти часть от целого, нужно общее количество (42) умножить на дробь, которая выражает эту часть ($\frac{4}{7}$).

$42 \cdot \frac{4}{7} = \frac{42 \cdot 4}{7} = 6 \cdot 4 = 24$ (вареника) — с творогом.

2. Найдём количество вареников с картофелем.

Аналогично, найдём $\frac{1}{7}$ от 42.

$42 \cdot \frac{1}{7} = \frac{42}{7} = 6$ (вареников) — с картофелем.

3. Найдём количество вареников с вишней.

Теперь из общего количества вареников вычтем количество вареников с творогом и с картофелем.

$42 - (24 + 6) = 42 - 30 = 12$ (вареников) — с вишней.

Ответ: Пончик съел 12 вареников с вишней.

Способ 2: Вычисление через оставшуюся долю

1. Найдём, какую общую долю составляют вареники с творогом и картофелем.

Для этого сложим их доли:

$\frac{4}{7} + \frac{1}{7} = \frac{4+1}{7} = \frac{5}{7}$.

2. Найдём, какую долю составляют вареники с вишней.

Всё количество вареников примем за единицу (1 или $\frac{7}{7}$). Чтобы найти долю вареников с вишней, вычтем из целого долю вареников с другими начинками:

$1 - \frac{5}{7} = \frac{7}{7} - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$.

Значит, вареники с вишней составляют $\frac{2}{7}$ от общего количества.

3. Найдём количество вареников с вишней.

Теперь вычислим, сколько вареников составляет эта доля от общего числа 42.

$42 \cdot \frac{2}{7} = \frac{42 \cdot 2}{7} = 6 \cdot 2 = 12$ (вареников).

Ответ: 12 вареников.

769. Преобразуйте неправильную дробь в смешанное число:

1) $\frac{9}{4}$;

2) $\frac{16}{7}$;

3) $\frac{29}{8}$;

4) $\frac{55}{9}$;

5) $\frac{83}{24}$;

6) $\frac{96}{19}$.

1) Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{9}{4}$ в смешанное число, необходимо разделить числитель 9 на знаменатель 4 с остатком.
$9 \div 4 = 2$ (остаток 1).
Неполное частное, равное 2, будет целой частью смешанного числа.
Остаток от деления, равный 1, будет числителем дробной части.
Знаменатель 4 остается без изменений.
В результате получаем: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$.

2) Для преобразования неправильной дроби $\frac{16}{7}$ в смешанное число, разделим ее числитель на знаменатель.
$16 \div 7 = 2$ (остаток 2).
Целая часть смешанного числа равна 2.
Числитель дробной части равен остатку 2.
Знаменатель 7 остается прежним.
В результате получаем: $\frac{16}{7} = 2\frac{2}{7}$.
Ответ: $2\frac{2}{7}$.

3) Преобразуем неправильную дробь $\frac{29}{8}$ в смешанное число. Для этого разделим 29 на 8 с остатком.
$29 \div 8 = 3$ (остаток 5).
Целая часть равна неполному частному, то есть 3.
Числитель дробной части равен остатку, то есть 5.
Знаменатель 8 не меняется.
В результате получаем: $\frac{29}{8} = 3\frac{5}{8}$.
Ответ: $3\frac{5}{8}$.

4) Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{55}{9}$ в смешанное число, выполним деление числителя 55 на знаменатель 9.
$55 \div 9 = 6$ (остаток 1).
Целая часть равна 6.
Числитель дробной части равен 1.
Знаменатель 9 остается без изменений.
В результате получаем: $\frac{55}{9} = 6\frac{1}{9}$.
Ответ: $6\frac{1}{9}$.

5) Преобразуем неправильную дробь $\frac{83}{24}$ в смешанное число. Разделим 83 на 24 с остатком.
$83 \div 24 = 3$ (остаток 11), так как $3 \times 24 = 72$ и $83 - 72 = 11$.
Целая часть смешанного числа равна 3.
Числитель дробной части равен 11.
Знаменатель 24 остается прежним.
В результате получаем: $\frac{83}{24} = 3\frac{11}{24}$.
Ответ: $3\frac{11}{24}$.

6) Для преобразования дроби $\frac{96}{19}$ в смешанное число, разделим числитель 96 на знаменатель 19.
$96 \div 19 = 5$ (остаток 1), так как $5 \times 19 = 95$ и $96 - 95 = 1$.
Целая часть равна 5.
Числитель дробной части равен 1.
Знаменатель 19 не меняется.
В результате получаем: $\frac{96}{19} = 5\frac{1}{19}$.
Ответ: $5\frac{1}{19}$.

770. Преобразуйте неправильную дробь в смешанное число:

1) $\frac{13}{5}$;

2) $\frac{18}{11}$;

3) $\frac{37}{12}$;

4) $\frac{68}{23}$;

5) $\frac{79}{12}$;

6) $\frac{83}{18}$.

1) Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{13}{5}$ в смешанное число, необходимо разделить числитель (13) на знаменатель (5) с остатком.
$13 \div 5 = 2$ (остаток $3$).
Результат деления (неполное частное) 2 становится целой частью смешанного числа. Остаток от деления 3 становится числителем дробной части, а знаменатель остается прежним — 5.
Таким образом, получаем: $\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$.
Ответ: $2\frac{3}{5}$.

2) Преобразуем неправильную дробь $\frac{18}{11}$ в смешанное число.
Разделим числитель 18 на знаменатель 11 с остатком:
$18 \div 11 = 1$ (остаток $7$).
Целая часть равна 1, остаток (новый числитель) равен 7, а знаменатель остается 11.
В результате получаем: $\frac{18}{11} = 1\frac{7}{11}$.
Ответ: $1\frac{7}{11}$.

3) Преобразуем неправильную дробь $\frac{37}{12}$ в смешанное число.
Разделим 37 на 12 с остатком:
$37 \div 12 = 3$ (остаток $1$), так как $12 \times 3 = 36$ и $37 - 36 = 1$.
Целая часть равна 3, числитель дробной части — 1, а знаменатель — 12.
В результате получаем: $\frac{37}{12} = 3\frac{1}{12}$.
Ответ: $3\frac{1}{12}$.

4) Преобразуем неправильную дробь $\frac{68}{23}$ в смешанное число.
Разделим 68 на 23 с остатком:
$68 \div 23 = 2$ (остаток $22$), так как $23 \times 2 = 46$ и $68 - 46 = 22$.
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 22, а знаменатель — 23.
В результате получаем: $\frac{68}{23} = 2\frac{22}{23}$.
Ответ: $2\frac{22}{23}$.

5) Преобразуем неправильную дробь $\frac{79}{12}$ в смешанное число.
Разделим 79 на 12 с остатком:
$79 \div 12 = 6$ (остаток $7$), так как $12 \times 6 = 72$ и $79 - 72 = 7$.
Целая часть равна 6, числитель дробной части — 7, а знаменатель — 12.
В результате получаем: $\frac{79}{12} = 6\frac{7}{12}$.
Ответ: $6\frac{7}{12}$.

6) Преобразуем неправильную дробь $\frac{83}{18}$ в смешанное число.
Разделим 83 на 18 с остатком:
$83 \div 18 = 4$ (остаток $11$), так как $18 \times 4 = 72$ и $83 - 72 = 11$.
Целая часть равна 4, числитель дробной части — 11, а знаменатель — 18.
В результате получаем: $\frac{83}{18} = 4\frac{11}{18}$.
Ответ: $4\frac{11}{18}$.

771. Запишите частное в виде дроби и выделите из полученной дроби целую и дробную части:

1) $\frac{10}{6}$;

2) $\frac{18}{5}$;

3) $\frac{23}{11}$;

4) $\frac{19}{6}$;

5) $\frac{425}{50}$;

6) $\frac{55}{6}$.

1) Запишем частное $10 : 6$ в виде дроби. Делимое $10$ становится числителем, а делитель $6$ — знаменателем. Получается дробь $\frac{10}{6}$.
Это неправильная дробь, так как ее числитель больше знаменателя. Чтобы выделить из нее целую и дробную части, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком.
$10 \div 6 = 1$ (остаток $4$).
Неполное частное ($1$) становится целой частью смешанного числа. Остаток от деления ($4$) становится числителем дробной части, а знаменатель ($6$) остается прежним. Получаем $1\frac{4}{6}$.
Дробную часть $\frac{4}{6}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2.
$\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$.
Итоговый результат: $1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$.

2) Запишем частное $18 : 5$ в виде дроби: $\frac{18}{5}$.
Выделим целую часть, разделив $18$ на $5$ с остатком:
$18 \div 5 = 3$ (остаток $3$).
Целая часть равна $3$, остаток $3$ становится числителем, а знаменатель $5$ не меняется. Получаем смешанное число $3\frac{3}{5}$. Дробь $\frac{3}{5}$ является несократимой.
Ответ: $3\frac{3}{5}$.

3) Запишем частное $23 : 11$ в виде дроби: $\frac{23}{11}$.
Выделим целую часть, разделив $23$ на $11$ с остатком:
$23 \div 11 = 2$ (остаток $1$).
Целая часть равна $2$, остаток $1$ становится числителем, а знаменатель $11$ не меняется. Получаем смешанное число $2\frac{1}{11}$. Дробь $\frac{1}{11}$ является несократимой.
Ответ: $2\frac{1}{11}$.

4) Запишем частное $19 : 6$ в виде дроби: $\frac{19}{6}$.
Выделим целую часть, разделив $19$ на $6$ с остатком:
$19 \div 6 = 3$ (остаток $1$).
Целая часть равна $3$, остаток $1$ становится числителем, а знаменатель $6$ не меняется. Получаем смешанное число $3\frac{1}{6}$. Дробь $\frac{1}{6}$ является несократимой.
Ответ: $3\frac{1}{6}$.

5) Запишем частное $425 : 50$ в виде дроби: $\frac{425}{50}$.
Выделим целую часть, разделив $425$ на $50$ с остатком:
$425 \div 50 = 8$ (остаток $25$), так как $8 \times 50 = 400$, и $425 - 400 = 25$.
Целая часть равна $8$, остаток $25$ становится числителем, а знаменатель $50$ не меняется. Получаем смешанное число $8\frac{25}{50}$.
Дробную часть $\frac{25}{50}$ можно сократить на $25$.
$\frac{25}{50} = \frac{25 \div 25}{50 \div 25} = \frac{1}{2}$.
Итоговый результат: $8\frac{1}{2}$.
Ответ: $8\frac{1}{2}$.

6) Запишем частное $55 : 6$ в виде дроби: $\frac{55}{6}$.
Выделим целую часть, разделив $55$ на $6$ с остатком:
$55 \div 6 = 9$ (остаток $1$), так как $9 \times 6 = 54$, и $55 - 54 = 1$.
Целая часть равна $9$, остаток $1$ становится числителем, а знаменатель $6$ не меняется. Получаем смешанное число $9\frac{1}{6}$. Дробь $\frac{1}{6}$ является несократимой.
Ответ: $9\frac{1}{6}$.

772. Запишите частное в виде дроби и выделите из полученной дроби целую и дробную части:

1) $7 : 2 = 7/2 = 3 \frac{1}{2}$;

2) $9 : 4 = 9/4 = 2 \frac{1}{4}$;

3) $25 : 8 = 25/8 = 3 \frac{1}{8}$;

4) $110 : 20 = 110/20 = 5 \frac{1}{2}$;

5) $327 : 10 = 327/10 = 32 \frac{7}{10}$;

6) $812 : 81 = 812/81 = 10 \frac{2}{81}$.

1) Запишем частное $7 : 2$ в виде дроби: $\frac{7}{2}$.

Чтобы выделить целую и дробную части из неправильной дроби $\frac{7}{2}$, разделим числитель $7$ на знаменатель $2$ с остатком.

$7 \div 2 = 3$ (остаток $1$).

Неполное частное $3$ является целой частью смешанного числа. Остаток $1$ является числителем дробной части, а знаменатель $2$ остается прежним.

Таким образом, $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.

Ответ: $3\frac{1}{2}$.

2) Запишем частное $9 : 4$ в виде дроби: $\frac{9}{4}$.

Чтобы выделить целую и дробную части, разделим числитель $9$ на знаменатель $4$ с остатком.

$9 \div 4 = 2$ (остаток $1$).

Целая часть – $2$, числитель дробной части – $1$, знаменатель – $4$.

Таким образом, $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Ответ: $2\frac{1}{4}$.

3) Запишем частное $25 : 8$ в виде дроби: $\frac{25}{8}$.

Разделим $25$ на $8$ с остатком.

$25 \div 8 = 3$ (остаток $1$), так как $3 \times 8 + 1 = 25$.

Целая часть – $3$, числитель дробной части – $1$, знаменатель – $8$.

Таким образом, $\frac{25}{8} = 3\frac{1}{8}$.

Ответ: $3\frac{1}{8}$.

4) Запишем частное $110 : 20$ в виде дроби: $\frac{110}{20}$.

Разделим $110$ на $20$ с остатком.

$110 \div 20 = 5$ (остаток $10$), так как $5 \times 20 + 10 = 110$.

Получаем смешанное число $5\frac{10}{20}$.

Дробную часть $\frac{10}{20}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на $10$.

$\frac{10}{20} = \frac{10 \div 10}{20 \div 10} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\frac{110}{20} = 5\frac{1}{2}$.

Ответ: $5\frac{1}{2}$.

5) Запишем частное $327 : 10$ в виде дроби: $\frac{327}{10}$.

Разделим $327$ на $10$ с остатком.

$327 \div 10 = 32$ (остаток $7$).

Целая часть – $32$, числитель дробной части – $7$, знаменатель – $10$.

Таким образом, $\frac{327}{10} = 32\frac{7}{10}$.

Ответ: $32\frac{7}{10}$.

6) Запишем частное $812 : 81$ в виде дроби: $\frac{812}{81}$.

Разделим $812$ на $81$ с остатком.

$812 \div 81 = 10$ (остаток $2$), так как $10 \times 81 + 2 = 812$.

Целая часть – $10$, числитель дробной части – $2$, знаменатель – $81$.

Таким образом, $\frac{812}{81} = 10\frac{2}{81}$.

Ответ: $10\frac{2}{81}$.

773. Запишите число в виде неправильной дроби:

1) $2 \frac{4}{7}$;

2) $3 \frac{5}{12}$;

3) $4 \frac{7}{20}$;

4) $6 \frac{11}{24}$;

5) $7 \frac{23}{100}$;

6) $10 \frac{16}{27}$.

1) Чтобы преобразовать смешанное число $2\frac{4}{7}$ в неправильную дробь, нужно умножить его целую часть (2) на знаменатель (7) и к результату прибавить числитель (4). Полученное число будет новым числителем, а знаменатель останется прежним (7).

$2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{14 + 4}{7} = \frac{18}{7}$

Ответ: $\frac{18}{7}$

2) Для преобразования смешанного числа $3\frac{5}{12}$ в неправильную дробь, умножим целую часть (3) на знаменатель (12) и прибавим числитель (5). Знаменатель (12) не меняется.

$3\frac{5}{12} = \frac{3 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{36 + 5}{12} = \frac{41}{12}$

Ответ: $\frac{41}{12}$

3) Выполним преобразование для числа $4\frac{7}{20}$. Умножим 4 на 20 и прибавим 7. Это будет новый числитель. Знаменатель (20) остается тот же.

$4\frac{7}{20} = \frac{4 \cdot 20 + 7}{20} = \frac{80 + 7}{20} = \frac{87}{20}$

Ответ: $\frac{87}{20}$

4) Запишем число $6\frac{11}{24}$ в виде неправильной дроби. Умножаем целую часть (6) на знаменатель (24) и к произведению прибавляем числитель (11). Знаменатель (24) сохраняется.

$6\frac{11}{24} = \frac{6 \cdot 24 + 11}{24} = \frac{144 + 11}{24} = \frac{155}{24}$

Ответ: $\frac{155}{24}$

5) Преобразуем число $7\frac{23}{100}$. Новый числитель будет равен произведению целой части (7) и знаменателя (100), сложенному с числителем (23). Знаменатель (100) оставляем без изменений.

$7\frac{23}{100} = \frac{7 \cdot 100 + 23}{100} = \frac{700 + 23}{100} = \frac{723}{100}$

Ответ: $\frac{723}{100}$

6) Для числа $10\frac{16}{27}$ выполняем аналогичные действия. Умножаем целую часть (10) на знаменатель (27) и прибавляем числитель (16). Знаменатель (27) остается прежним.

$10\frac{16}{27} = \frac{10 \cdot 27 + 16}{27} = \frac{270 + 16}{27} = \frac{286}{27}$

Ответ: $\frac{286}{27}$

774. Запишите число в виде неправильной дроби:

1) $4\frac{3}{4}$;

2) $9\frac{6}{11}$;

3) $3\frac{9}{17}$;

4) $12\frac{5}{6}$;

5) $13\frac{49}{100}$;

6) $8\frac{3}{16}$.

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо умножить его целую часть на знаменатель дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части, и записать полученную сумму как числитель новой дроби, а знаменатель оставить без изменений. Общая формула выглядит так: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

1) Применим правило для числа $4 \frac{3}{4}$.
$4 \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}$.
Ответ: $\frac{19}{4}$.

2) Применим правило для числа $9 \frac{6}{11}$.
$9 \frac{6}{11} = \frac{9 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{99 + 6}{11} = \frac{105}{11}$.
Ответ: $\frac{105}{11}$.

3) Применим правило для числа $3 \frac{9}{17}$.
$3 \frac{9}{17} = \frac{3 \cdot 17 + 9}{17} = \frac{51 + 9}{17} = \frac{60}{17}$.
Ответ: $\frac{60}{17}$.

4) Применим правило для числа $12 \frac{5}{6}$.
$12 \frac{5}{6} = \frac{12 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{72 + 5}{6} = \frac{77}{6}$.
Ответ: $\frac{77}{6}$.

5) Применим правило для числа $13 \frac{49}{100}$.
$13 \frac{49}{100} = \frac{13 \cdot 100 + 49}{100} = \frac{1300 + 49}{100} = \frac{1349}{100}$.
Ответ: $\frac{1349}{100}$.

6) Применим правило для числа $8 \frac{3}{16}$.
$8 \frac{3}{16} = \frac{8 \cdot 16 + 3}{16} = \frac{128 + 3}{16} = \frac{131}{16}$.
Ответ: $\frac{131}{16}$.

775. Выполните действия:

1) $8 + \frac{4}{21}$;

2) $5\frac{16}{19} + 3\frac{5}{19}$;

3) $7\frac{7}{16} - 3\frac{3}{16}$;

4) $10\frac{12}{17} + 5\frac{4}{17} - 3\frac{3}{17}$.

1) Чтобы сложить целое число и правильную дробь, нужно просто записать их вместе в виде смешанного числа, где целое число становится целой частью, а дробь — дробной.

$8 + \frac{4}{21} = 8\frac{4}{21}$

Ответ: $8\frac{4}{21}$

2) Для сложения смешанных чисел с одинаковыми знаменателями нужно отдельно сложить их целые и дробные части. Если в результате сложения дробных частей получается неправильная дробь, необходимо выделить из нее целую часть и прибавить к результату сложения целых частей.

$5\frac{16}{19} + 3\frac{5}{19} = (5 + 3) + (\frac{16}{19} + \frac{5}{19}) = 8 + \frac{16+5}{19} = 8 + \frac{21}{19}$

Дробь $\frac{21}{19}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть:

$\frac{21}{19} = 1\frac{2}{19}$

Теперь добавим эту целую часть к уже имеющейся:

$8 + 1\frac{2}{19} = 9\frac{2}{19}$

Ответ: $9\frac{2}{19}$

3) Для вычитания смешанных чисел с одинаковыми знаменателями нужно отдельно вычесть их целые и дробные части. Это возможно, если дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого.

$7\frac{7}{16} - 3\frac{3}{16} = (7 - 3) + (\frac{7}{16} - \frac{3}{16}) = 4 + \frac{7-3}{16} = 4 + \frac{4}{16}$

Сократим полученную дробную часть $\frac{4}{16}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$

Таким образом, получаем итоговый результат:

$4\frac{1}{4}$

Ответ: $4\frac{1}{4}$

4) В данном выражении действия выполняются последовательно слева направо. Поскольку знаменатели у всех дробей одинаковые, можно сгруппировать действия с целыми и дробными частями.

$10\frac{12}{17} + 5\frac{4}{17} - 3\frac{3}{17} = (10 + 5 - 3) + (\frac{12}{17} + \frac{4}{17} - \frac{3}{17})$

Выполним действия с целыми частями:

$10 + 5 - 3 = 15 - 3 = 12$

Выполним действия с дробными частями:

$\frac{12}{17} + \frac{4}{17} - \frac{3}{17} = \frac{12 + 4 - 3}{17} = \frac{16 - 3}{17} = \frac{13}{17}$

Объединим целую и дробную части, чтобы получить окончательный ответ:

$12\frac{13}{17}$

Ответ: $12\frac{13}{17}$

776. Выполните действия:

1) $\frac{14}{93}+5$;

2) $6\frac{17}{41}+7\frac{19}{41}$;

3) $24\frac{9}{38}-17\frac{5}{38}$;

4) $15\frac{7}{10}-2\frac{4}{10}+6\frac{1}{10}$.

1) Чтобы сложить дробь и натуральное число, достаточно записать их в виде смешанного числа, где натуральное число является целой частью, а дробь — дробной.

$\frac{14}{93} + 5 = 5\frac{14}{93}$

Ответ: $5\frac{14}{93}$.

2) При сложении смешанных чисел с одинаковыми знаменателями, мы отдельно складываем целые части и отдельно — дробные части.

$6\frac{17}{41} + 7\frac{19}{41} = (6 + 7) + (\frac{17}{41} + \frac{19}{41}) = 13 + \frac{17 + 19}{41} = 13 + \frac{36}{41} = 13\frac{36}{41}$

Дробь $\frac{36}{41}$ является правильной и не сокращается, так как числа 36 и 41 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $13\frac{36}{41}$.

3) При вычитании смешанных чисел с одинаковыми знаменателями, мы отдельно вычитаем целые части и отдельно — дробные. Убедимся, что дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого: $\frac{9}{38} > \frac{5}{38}$, так как $9 > 5$.

$24\frac{9}{38} - 17\frac{5}{38} = (24 - 17) + (\frac{9}{38} - \frac{5}{38}) = 7 + \frac{9 - 5}{38} = 7 + \frac{4}{38} = 7\frac{4}{38}$

Теперь сократим дробную часть. Числитель и знаменатель делятся на 2.

$7\frac{4}{38} = 7\frac{4 \div 2}{38 \div 2} = 7\frac{2}{19}$

Ответ: $7\frac{2}{19}$.

4) В этом примере выполняем действия последовательно слева направо или группируем целые и дробные части. Сгруппируем целые и дробные части для удобства вычислений.

$15\frac{7}{10} - 2\frac{4}{10} + 6\frac{1}{10} = (15 - 2 + 6) + (\frac{7}{10} - \frac{4}{10} + \frac{1}{10})$

Вычисляем целую часть:

$15 - 2 + 6 = 13 + 6 = 19$

Вычисляем дробную часть:

$\frac{7}{10} - \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{7 - 4 + 1}{10} = \frac{3 + 1}{10} = \frac{4}{10}$

Собираем результат и сокращаем дробь:

$19 + \frac{4}{10} = 19\frac{4}{10} = 19\frac{4 \div 2}{10 \div 2} = 19\frac{2}{5}$

Ответ: $19\frac{2}{5}$.