Страница 193 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Возраст внучки составляет $\frac{3}{8}$ возраста бабушки. Сколько лет бабушке, если внучке 27 лет?

Для решения задачи нам нужно найти целое число (возраст бабушки), зная его часть (возраст внучки).

Пусть $x$ — это возраст бабушки.

Согласно условию задачи, возраст внучки, который составляет 27 лет, — это $\frac{3}{8}$ от возраста бабушки. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{3}{8} \cdot x = 27$

Чтобы найти $x$ (полный возраст бабушки), нужно известную часть (27) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{3}{8}$).

$x = 27 \div \frac{3}{8}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь (перевернутую):

$x = 27 \cdot \frac{8}{3}$

Теперь выполним вычисление. Можно сначала 27 умножить на 8, а затем разделить на 3, но удобнее сначала 27 разделить на 3, а потом умножить на 8:

$x = \frac{27 \cdot 8}{3} = (27 \div 3) \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$

Таким образом, возраст бабушки — 72 года.

Ответ: 72 года.

4. Все дроби $\frac{3}{7}$; $\frac{6}{4}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{9}{11}$; $\frac{2}{8}$; $\frac{4}{6}$, кроме одной, имеют общее свойство. Какое это свойство? Какая из дробей этим свойством не обладает?

Какое это свойство?

Для того чтобы найти общее свойство, проанализируем каждую из предложенных дробей: $\frac{3}{7}, \frac{6}{4}, \frac{4}{5}, \frac{3}{8}, \frac{9}{11}, \frac{2}{8}, \frac{4}{6}$.

Вспомним определение правильных и неправильных дробей. Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя. Если числитель больше или равен знаменателю, дробь называется неправильной.

Сравним числитель и знаменатель для каждой дроби в списке:

• Для дроби $\frac{3}{7}$ числитель $3$ меньше знаменателя $7$, значит, это правильная дробь.
• Для дроби $\frac{6}{4}$ числитель $6$ больше знаменателя $4$, значит, это неправильная дробь.
• Для дроби $\frac{4}{5}$ числитель $4$ меньше знаменателя $5$, значит, это правильная дробь.
• Для дроби $\frac{3}{8}$ числитель $3$ меньше знаменателя $8$, значит, это правильная дробь.
• Для дроби $\frac{9}{11}$ числитель $9$ меньше знаменателя $11$, значит, это правильная дробь.
• Для дроби $\frac{2}{8}$ числитель $2$ меньше знаменателя $8$, значит, это правильная дробь.
• Для дроби $\frac{4}{6}$ числитель $4$ меньше знаменателя $6$, значит, это правильная дробь.

Из анализа видно, что шесть из семи дробей являются правильными. Это и есть их общее свойство.

Ответ: Общее свойство – все эти дроби, кроме одной, являются правильными (их числитель меньше знаменателя).

Какая из дробей этим свойством не обладает?

Как было показано выше, единственная дробь в списке, которая не является правильной, – это дробь $\frac{6}{4}$, так как её числитель ($6$) больше знаменателя ($4$).

Ответ: Дробь $\frac{6}{4}$ не обладает этим свойством.

758. Запишите в виде дроби частное:

1) $\frac{4}{12};$

2) $\frac{6}{25};$

3) $\frac{16}{8};$

4) $\frac{14}{23};$

5) $\frac{12}{23};$

6) $\frac{17}{11}.$

1) Чтобы записать частное $4:12$ в виде дроби, нужно делимое (4) поставить в числитель, а делитель (12) — в знаменатель. Получаем дробь $\frac{4}{12}$. Эту дробь можно сократить, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Наибольший общий делитель для 4 и 12 — это 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $ \frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $

2) Чтобы записать частное $6:25$ в виде дроби, нужно делимое (6) поставить в числитель, а делитель (25) — в знаменатель. Получаем дробь $\frac{6}{25}$. Проверим, можно ли сократить эту дробь. Делители числа 6: 1, 2, 3, 6. Делители числа 25: 1, 5, 25. Общий делитель только 1, значит, дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{6}{25} $

3) Чтобы записать частное $16:8$ в виде дроби, нужно делимое (16) поставить в числитель, а делитель (8) — в знаменатель. Получаем дробь $\frac{16}{8}$. Эта дробь неправильная, так как числитель больше знаменателя. В данном случае числитель делится на знаменатель нацело. $ \frac{16}{8} = 16 \div 8 = 2 $
Ответ: $ 2 $

4) Чтобы записать частное $14:23$ в виде дроби, нужно делимое (14) поставить в числитель, а делитель (23) — в знаменатель. Получаем дробь $\frac{14}{23}$. Проверим, можно ли сократить эту дробь. Число 23 — простое, его делители только 1 и 23. Число 14 не делится на 23. Значит, дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{14}{23} $

5) Чтобы записать частное $12:23$ в виде дроби, нужно делимое (12) поставить в числитель, а делитель (23) — в знаменатель. Получаем дробь $\frac{12}{23}$. Проверим, можно ли сократить эту дробь. Число 23 — простое. Число 12 не делится на 23. Значит, дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{12}{23} $

6) Чтобы записать частное $17:11$ в виде дроби, нужно делимое (17) поставить в числитель, а делитель (11) — в знаменатель. Получаем дробь $\frac{17}{11}$. Эта дробь неправильная. Проверим, можно ли ее сократить. Числа 17 и 11 — простые, их единственный общий делитель это 1. Значит, дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{17}{11} $

759. Запишите в виде дроби частное:

1) $5 : 7$;

2) $19 : 4$;

3) $1 : 6$;

4) $30 : 4$;

5) $6 : 1$;

6) $12 : 39.$

1) Частное $5 : 7$ представляет собой операцию деления числа 5 на 7. В виде дроби это записывается так: делимое (5) становится числителем, а делитель (7) — знаменателем. Таким образом, получаем дробь $\frac{5}{7}$. Ответ: $\frac{5}{7}$.

2) Частное $19 : 4$ записывается в виде дроби, где 19 — числитель, а 4 — знаменатель. Получаем неправильную дробь $\frac{19}{4}$, так как её числитель больше знаменателя. Ответ: $\frac{19}{4}$.

3) Частное $1 : 6$ соответствует дроби, в которой числитель равен 1, а знаменатель равен 6. Таким образом, частное записывается как $\frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$.

4) Частное $30 : 4$ записывается в виде дроби $\frac{30}{4}$. Эту дробь можно сократить. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. НОД(30, 4) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2: $ \frac{30 \div 2}{4 \div 2} = \frac{15}{2} $. Ответ: $\frac{15}{2}$.

5) Частное $6 : 1$ в виде дроби записывается как $\frac{6}{1}$. Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Значение этой дроби равно 6. Ответ: $\frac{6}{1}$.

6) Частное $12 : 39$ записывается в виде дроби $\frac{12}{39}$. Эту дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 12 и 39 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3: $ \frac{12 \div 3}{39 \div 3} = \frac{4}{13} $. Ответ: $\frac{4}{13}$.

760. Запишите дробь в виде частного:

1) $\frac{7}{12}$

2) $\frac{17}{584}$

3) $\frac{11}{7}$

1) Чтобы записать дробь в виде частного, необходимо ее числитель (число над дробной чертой) разделить на ее знаменатель (число под дробной чертой). Для дроби $\frac{7}{12}$ числителем является число 7, а знаменателем — число 12. Следовательно, частное будет выглядеть как деление числителя на знаменатель.
$\frac{7}{12} = 7 : 12$
Ответ: $7 : 12$.

2) Аналогично предыдущему пункту, для дроби $\frac{17}{584}$ числителем является число 17, а знаменателем — число 584. Представим эту дробь в виде частного, разделив числитель на знаменатель.
$\frac{17}{584} = 17 : 584$
Ответ: $17 : 584$.

3) Для дроби $\frac{11}{7}$ числителем является число 11, а знаменателем — число 7. Запишем эту дробь в виде частного, выполнив деление числителя на знаменатель.
$\frac{11}{7} = 11 : 7$
Ответ: $11 : 7$.

761. Запишите дробь в виде частного:

1) $\frac{5}{7}$;

2) $\frac{3}{10}$;

3) $\frac{29}{5}$.

Дробная черта в записи обыкновенной дроби означает действие деления. Числитель дроби является делимым, а знаменатель — делителем. Чтобы записать дробь в виде частного, необходимо записать выражение, в котором числитель делится на знаменатель.

1) Запишем дробь $ \frac{5}{7} $ в виде частного. В данной дроби числитель равен 5 (делимое), а знаменатель равен 7 (делитель).
Следовательно, частное будет выглядеть как $ 5 \div 7 $.
Ответ: $ 5 \div 7 $.

2) Запишем дробь $ \frac{3}{10} $ в виде частного. В данной дроби числитель равен 3 (делимое), а знаменатель равен 10 (делитель).
Следовательно, частное будет выглядеть как $ 3 \div 10 $.
Ответ: $ 3 \div 10 $.

3) Запишем дробь $ \frac{29}{5} $ в виде частного. В данной дроби числитель равен 29 (делимое), а знаменатель равен 5 (делитель).
Следовательно, частное будет выглядеть как $ 29 \div 5 $.
Ответ: $ 29 \div 5 $.

762. Запишите число 6 в виде дроби со знаменателем:

1) 1;

2) 4;

3) 19.

Чтобы представить целое число в виде дроби с заданным знаменателем, нужно умножить это число на заданный знаменатель. Полученное произведение будет числителем искомой дроби.

1) Запишем число 6 в виде дроби со знаменателем 1. Для этого найдем числитель, умножив 6 на 1:
$6 = \frac{6 \cdot 1}{1} = \frac{6}{1}$.
Ответ: $\frac{6}{1}$

2) Запишем число 6 в виде дроби со знаменателем 4. Для этого найдем числитель, умножив 6 на 4:
$6 = \frac{6 \cdot 4}{4} = \frac{24}{4}$.
Ответ: $\frac{24}{4}$

3) Запишем число 6 в виде дроби со знаменателем 19. Для этого найдем числитель, умножив 6 на 19:
$6 = \frac{6 \cdot 19}{19} = \frac{114}{19}$.
Ответ: $\frac{114}{19}$

763. Запишите число 12 в виде дроби со знаменателем:

Чтобы представить целое число в виде дроби с определенным знаменателем, необходимо умножить это число на заданный знаменатель. Полученное произведение будет числителем новой дроби, а знаменатель останется тот же, который был задан. То есть, для числа $a$ и знаменателя $b$ ($b \ne 0$), мы можем записать: $a = \frac{a \cdot b}{b}$.

В данном задании нам нужно представить число 12 в виде дроби.

1)

Запишем число 12 в виде дроби со знаменателем 1. Для этого найдем числитель, умножив 12 на 1:

$12 = \frac{12 \cdot 1}{1} = \frac{12}{1}$

Ответ: $\frac{12}{1}$

2)

Запишем число 12 в виде дроби со знаменателем 5. Для этого найдем числитель, умножив 12 на 5:

$12 \cdot 5 = 60$

Таким образом, получаем дробь:

$12 = \frac{60}{5}$

Ответ: $\frac{60}{5}$

3)

Запишем число 12 в виде дроби со знаменателем 23. Для этого найдем числитель, умножив 12 на 23:

$12 \cdot 23 = 276$

Таким образом, получаем дробь:

$12 = \frac{276}{23}$

Ответ: $\frac{276}{23}$

764. Решите уравнение:

1) $\frac{b}{7} = 12;$

2) $\frac{169}{m} = 13;$

3) $\frac{126}{8 - y} = 21.$

1) $\frac{b}{7} = 12$

В данном уравнении $b$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.

$b = 12 \cdot 7$

$b = 84$

Проверка: подставим найденное значение $b$ в исходное уравнение.

$\frac{84}{7} = 12$

$12 = 12$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 84

2) $\frac{169}{m} = 13$

В этом уравнении $m$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное. Важно отметить, что делитель не может быть равен нулю ($m \ne 0$).

$m = \frac{169}{13}$

$m = 13$

Проверка: подставим найденное значение $m$ в исходное уравнение.

$\frac{169}{13} = 13$

$13 = 13$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 13

3) $\frac{126}{8 - y} = 21$

В данном уравнении неизвестная переменная $y$ находится в выражении, которое является делителем. Сначала найдем значение всего делителя $(8 - y)$. Для этого разделим делимое на частное. При этом знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $8 - y \ne 0$, то есть $y \ne 8$.

$8 - y = \frac{126}{21}$

$8 - y = 6$

Теперь мы получили более простое уравнение, в котором $y$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$y = 8 - 6$

$y = 2$

Проверка: подставим найденное значение $y$ в исходное уравнение.

$\frac{126}{8 - 2} = \frac{126}{6} = 21$

$21 = 21$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 2

765. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{4} = 5;$

2) $\frac{105}{y} = 7;$

3) $\frac{x+12}{6} = 14.$

1) В данном уравнении $\frac{x}{4} = 5$ неизвестное $x$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное (5) умножить на делитель (4).
$x = 5 \cdot 4$
$x = 20$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$\frac{20}{4} = 5$
$5 = 5$
Равенство верное.
Ответ: 20.

2) В уравнении $\frac{105}{y} = 7$ неизвестное $y$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое (105) разделить на частное (7).
$y = 105 : 7$
$y = 15$
Проверим решение, подставив найденное значение $y$ в исходное уравнение:
$\frac{105}{15} = 7$
$7 = 7$
Равенство верное.
Ответ: 15.

3) В уравнении $\frac{x+12}{6} = 14$ выражение $(x+12)$ является делимым. Чтобы найти это делимое, необходимо частное (14) умножить на делитель (6).
$x+12 = 14 \cdot 6$
$x+12 = 84$
Теперь мы получили простое уравнение, в котором неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (84) вычесть известное слагаемое (12).
$x = 84 - 12$
$x = 72$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$\frac{72+12}{6} = 14$
$\frac{84}{6} = 14$
$14 = 14$
Равенство верное.
Ответ: 72.

766. У фермера Петра Грушина есть участок земли прямоугольной формы. Длина участка равна 28 м, что составляет $\frac{7}{4}$ его ширины. На площади, равной $\frac{30}{56}$ всего участка, фермер разбил яблоневый сад.

Найдите площадь сада.

Для того чтобы найти площадь сада, необходимо сначала определить ширину участка, а затем его общую площадь.

1. Найдём ширину участка. По условию, длина участка равна 28 м, что составляет $ \frac{7}{4} $ его ширины. Обозначим ширину как $ W $. Составим и решим уравнение: $ 28 = \frac{7}{4} \cdot W $ $ W = 28 : \frac{7}{4} = 28 \cdot \frac{4}{7} = \frac{28 \cdot 4}{7} $ Сократив 28 и 7, получаем: $ W = 4 \cdot 4 = 16 $ м. Итак, ширина участка — 16 м.

2. Вычислим общую площадь участка. Так как участок прямоугольный, его площадь ($ S_{участка} $) равна произведению длины и ширины: $ S_{участка} = 28 \text{ м} \cdot 16 \text{ м} = 448 \text{ м}^2 $.

3. Найдём площадь яблоневого сада. Она составляет $ \frac{30}{56} $ от общей площади участка. $ S_{сада} = S_{участка} \cdot \frac{30}{56} = 448 \cdot \frac{30}{56} $ Для удобства вычислений сначала разделим 448 на 56: $ 448 : 56 = 8 $ Теперь умножим полученный результат на 30: $ S_{сада} = 8 \cdot 30 = 240 \text{ м}^2 $.

Ответ: 240 м².

767. На один грузовик можно погрузить 3 т груза. Сколько надо грузовиков, чтобы перевезти 28 т?

Для того чтобы определить, сколько грузовиков потребуется для перевозки 28 тонн груза, необходимо общую массу груза разделить на грузоподъемность одного грузовика.

Грузоподъемность одного грузовика составляет 3 тонны, а общая масса груза — 28 тонн.

Выполним деление общего веса груза на вместимость одного грузовика:
$28 \div 3 = 9$ (остаток 1)

Результат деления с остатком означает, что 9 грузовиков будут полностью загружены, но останется еще 1 тонна груза. Для перевозки этой оставшейся 1 тонны потребуется еще один грузовик.

Таким образом, общее количество необходимых грузовиков равно:
$9 + 1 = 10$

Ответ: 10 грузовиков.