Страница 191 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

756. Найдите все натуральные числа, при делении которых на 7 неполное частное будет равно остатку.

Пусть $n$ – искомое натуральное число. При делении числа $n$ на делитель $d$ с остатком, мы получаем неполное частное $q$ и остаток $r$. Это можно записать в виде формулы: $n = d \cdot q + r$, где остаток всегда должен быть меньше делителя, то есть $0 \le r < d$.

В данной задаче делитель $d=7$. По условию, неполное частное равно остатку, то есть $q = r$. Подставим эти условия в общую формулу: $n = 7 \cdot q + r$ Поскольку $q = r$, мы можем заменить $r$ на $q$: $n = 7 \cdot q + q$ $n = 8q$

Теперь определим возможные значения для $q$. Мы знаем, что остаток $r$ при делении на 7 должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 7$. Так как $q=r$, то и для $q$ справедливо то же неравенство: $0 \le q < 7$. Таким образом, $q$ может быть одним из следующих целых чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Задача требует найти все натуральные числа $n$. Натуральные числа – это числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Следовательно, $n$ должно быть больше нуля. Рассмотрим $q=0$. В этом случае $n = 8 \cdot 0 = 0$. Ноль не является натуральным числом, поэтому это значение нам не подходит. Значит, $q$ может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Найдем соответствующие значения $n$ для каждого возможного значения $q$:
- при $q = 1$, $n = 8 \cdot 1 = 8$. (Проверка: $8:7=1$ (ост. 1), частное равно остатку).
- при $q = 2$, $n = 8 \cdot 2 = 16$. (Проверка: $16:7=2$ (ост. 2), частное равно остатку).
- при $q = 3$, $n = 8 \cdot 3 = 24$. (Проверка: $24:7=3$ (ост. 3), частное равно остатку).
- при $q = 4$, $n = 8 \cdot 4 = 32$. (Проверка: $32:7=4$ (ост. 4), частное равно остатку).
- при $q = 5$, $n = 8 \cdot 5 = 40$. (Проверка: $40:7=5$ (ост. 5), частное равно остатку).
- при $q = 6$, $n = 8 \cdot 6 = 48$. (Проверка: $48:7=6$ (ост. 6), частное равно остатку).

Таким образом, мы нашли все натуральные числа, удовлетворяющие заданному условию.

Ответ: 8, 16, 24, 32, 40, 48.

757. В коробке лежат 4 белых, 5 чёрных и 6 красных шаров. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть из коробки, чтобы среди них обязательно оказались:

1) 3 шара одного цвета;

2) шары всех трёх цветов?

1) 3 шара одного цвета

Для решения этой задачи применяется принцип Дирихле. Мы должны рассмотреть самый неблагоприятный (худший) случай. Худший случай — это когда мы достаём шары максимально разнообразных цветов, чтобы как можно дольше не выполнять условие.

Предположим, нам не везёт, и мы вынимаем сначала 2 белых шара, затем 2 чёрных и затем 2 красных. В этот момент мы вынули $2 + 2 + 2 = 6$ шаров. Среди них ещё нет трёх шаров одного цвета (у нас по паре каждого цвета).

Однако следующий, седьмой, шар, который мы вынем, обязательно будет либо белым, либо чёрным, либо красным.

• Если он будет белым, у нас станет $2+1=3$ белых шара.
• Если он будет чёрным, у нас станет $2+1=3$ чёрных шара.
• Если он будет красным, у нас станет $2+1=3$ красных шара.

Таким образом, после извлечения седьмого шара у нас гарантированно будет 3 шара одного цвета.

Ответ: 7.

2) шары всех трёх цветов

Снова рассмотрим наихудший сценарий. Худший случай для получения шаров всех трёх цветов — это когда мы сначала вынем все шары самых многочисленных цветов. В коробке 4 белых, 5 чёрных и 6 красных шаров. Самые многочисленные группы — это красные (6) и чёрные (5).

Предположим, нам не везёт, и мы вынимаем сначала все 6 красных шаров, а затем все 5 чёрных шаров. К этому моменту мы вынули $6 + 5 = 11$ шаров. Среди них есть шары только двух цветов (красные и чёрные).

В коробке остались только белые шары. Следовательно, следующий шар, который мы вынем (двенадцатый по счёту), гарантированно будет белым. После этого у нас на руках будут шары всех трёх цветов.

Ответ: 12.