Номер 756, страница 191 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

756. Найдите все натуральные числа, при делении которых на 7 неполное частное будет равно остатку.

Пусть $n$ – искомое натуральное число. При делении числа $n$ на делитель $d$ с остатком, мы получаем неполное частное $q$ и остаток $r$. Это можно записать в виде формулы: $n = d \cdot q + r$, где остаток всегда должен быть меньше делителя, то есть $0 \le r < d$.

В данной задаче делитель $d=7$. По условию, неполное частное равно остатку, то есть $q = r$. Подставим эти условия в общую формулу: $n = 7 \cdot q + r$ Поскольку $q = r$, мы можем заменить $r$ на $q$: $n = 7 \cdot q + q$ $n = 8q$

Теперь определим возможные значения для $q$. Мы знаем, что остаток $r$ при делении на 7 должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 7$. Так как $q=r$, то и для $q$ справедливо то же неравенство: $0 \le q < 7$. Таким образом, $q$ может быть одним из следующих целых чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Задача требует найти все натуральные числа $n$. Натуральные числа – это числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Следовательно, $n$ должно быть больше нуля. Рассмотрим $q=0$. В этом случае $n = 8 \cdot 0 = 0$. Ноль не является натуральным числом, поэтому это значение нам не подходит. Значит, $q$ может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Найдем соответствующие значения $n$ для каждого возможного значения $q$:
- при $q = 1$, $n = 8 \cdot 1 = 8$. (Проверка: $8:7=1$ (ост. 1), частное равно остатку).
- при $q = 2$, $n = 8 \cdot 2 = 16$. (Проверка: $16:7=2$ (ост. 2), частное равно остатку).
- при $q = 3$, $n = 8 \cdot 3 = 24$. (Проверка: $24:7=3$ (ост. 3), частное равно остатку).
- при $q = 4$, $n = 8 \cdot 4 = 32$. (Проверка: $32:7=4$ (ост. 4), частное равно остатку).
- при $q = 5$, $n = 8 \cdot 5 = 40$. (Проверка: $40:7=5$ (ост. 5), частное равно остатку).
- при $q = 6$, $n = 8 \cdot 6 = 48$. (Проверка: $48:7=6$ (ост. 6), частное равно остатку).

Таким образом, мы нашли все натуральные числа, удовлетворяющие заданному условию.

Ответ: 8, 16, 24, 32, 40, 48.