Страница 185 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

725. Расположите дроби в порядке убывания: $\frac{4}{27}; \frac{9}{27}; \frac{8}{27}; \frac{5}{27}; \frac{24}{27}; \frac{20}{27}.$

Для того чтобы расположить дроби в порядке убывания, необходимо сравнить их между собой. Все предложенные дроби ($ \frac{4}{27}, \frac{9}{27}, \frac{8}{27}, \frac{5}{27}, \frac{24}{27}, \frac{20}{27} $) имеют одинаковый знаменатель, равный 27.

Согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, большей является та дробь, у которой числитель больше. Следовательно, чтобы расположить дроби в порядке убывания (от большей к меньшей), необходимо расположить их числители в порядке убывания.

Сравним числители данных дробей: 4, 9, 8, 5, 24, 20. Расположив их в порядке убывания, получаем следующий ряд: $ 24 > 20 > 9 > 8 > 5 > 4 $.

Таким образом, соответствующий порядок дробей будет таким же.

Ответ: $ \frac{24}{27}; \frac{20}{27}; \frac{9}{27}; \frac{8}{27}; \frac{5}{27}; \frac{4}{27} $.

726. Расположите дроби в порядке возрастания: $ \frac{3}{20} $; $ \frac{1}{20} $; $ \frac{7}{20} $; $ \frac{9}{20} $; $ \frac{17}{20} $; $ \frac{6}{20} $.

Чтобы расположить дроби в порядке возрастания, необходимо их сравнить. В данном наборе все дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 20: $ \frac{3}{20}, \frac{1}{20}, \frac{7}{20}, \frac{9}{20}, \frac{17}{20}, \frac{6}{20} $.

Когда дроби имеют одинаковые знаменатели, их сравнение сводится к сравнению их числителей. Меньшей будет та дробь, у которой числитель меньше, а большей — та, у которой числитель больше.

Выпишем числители данных дробей: 3, 1, 7, 9, 17, 6.

Теперь расположим эти числители в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему): 1, 3, 6, 7, 9, 17.

Соответственно, дроби в порядке возрастания будут выглядеть так:

$ \frac{1}{20}, \frac{3}{20}, \frac{6}{20}, \frac{7}{20}, \frac{9}{20}, \frac{17}{20} $.

Ответ: $ \frac{1}{20}, \frac{3}{20}, \frac{6}{20}, \frac{7}{20}, \frac{9}{20}, \frac{17}{20} $.

727. Масса осколка Царь-колокола равна 11 500 кг.Масса царь-колокола составляет $\frac{400}{23}$ массы этого осколка. Найдите массу Царь-колокола.

Для того чтобы найти массу Царь-колокола, необходимо массу его осколка умножить на дробь, показывающую, какую часть масса колокола составляет от массы осколка.

Масса осколка: $11\ 500$ кг.
Отношение массы колокола к массе осколка: $\frac{400}{23}$.

Вычислим массу Царь-колокола:
$11\ 500 \cdot \frac{400}{23}$

Для удобства вычислений сначала разделим $11\ 500$ на знаменатель дроби $23$:
$11\ 500 \div 23 = 500$

Теперь умножим полученный результат на числитель дроби $400$:
$500 \cdot 400 = 200\ 000$ (кг)

Таким образом, масса Царь-колокола равна $200\ 000$ кг.
Ответ: $200\ 000$ кг.

728. Порция пельменей в кафе «Пампушечка» состоит из 18 пельменей. Иван Гурманов съедает за обедом $\frac{20}{9}$ порции. Сколько пельменей съедает за обедом Иван? На сколько пельменей больше одной порции он съедает?

Сколько пельменей съедает за обедом Иван?

Для того чтобы узнать, сколько всего пельменей съедает Иван, необходимо умножить количество пельменей в одной порции на количество съеденных им порций. Одна порция состоит из 18 пельменей, а Иван съедает $\frac{20}{9}$ порции.

Выполним вычисление:

$18 \times \frac{20}{9} = \frac{18 \times 20}{9}$

Сократим 18 и 9 на 9:

$\frac{18^{2} \times 20}{9^{1}} = 2 \times 20 = 40$ (пельменей).

Ответ: за обедом Иван съедает 40 пельменей.

На сколько пельменей больше одной порции он съедает?

Чтобы определить, на сколько больше пельменей съедает Иван, чем в одной порции, нужно из общего количества съеденных им пельменей вычесть количество пельменей в стандартной порции.

Иван съедает 40 пельменей, а одна порция составляет 18 пельменей.

Выполним вычитание:

$40 - 18 = 22$ (пельменя).

Ответ: он съедает на 22 пельменя больше одной порции.

729. Найдите все натуральные значения x, при которых дробь $\frac{x}{9}$ будет правильной.

По определению, обыкновенная дробь является правильной, если её числитель меньше её знаменателя. В нашем случае дана дробь $\frac{x}{9}$, где $x$ — числитель, а 9 — знаменатель.

Чтобы дробь $\frac{x}{9}$ была правильной, должно выполняться неравенство: $x < 9$.

Кроме того, по условию задачи, $x$ должен принимать натуральные значения. Натуральные числа — это числа, используемые при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, и так далее. Это означает, что $x$ должен быть целым положительным числом, то есть $x \ge 1$.

Таким образом, нам необходимо найти все натуральные числа $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям:

1. $x < 9$

2. $x$ — натуральное число ($x \ge 1$)

Объединив эти условия, мы получаем, что $x$ может быть любым целым числом от 1 до 8 включительно. Перечислим эти значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

730. Найдите все натуральные значения x, при которых дробь $\frac{x}{15}$ будет правильной.

По определению, правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В дроби $\frac{x}{15}$ числителем является $x$, а знаменателем — 15.

Для того чтобы дробь была правильной, должно выполняться условие: числитель < знаменатель. В нашем случае это неравенство $x < 15$.

Также по условию задачи $x$ является натуральным числом. Натуральные числа — это числа, используемые при счете: 1, 2, 3, 4 и так далее. Таким образом, $x$ должен быть целым положительным числом, то есть $x \geq 1$.

Объединим оба условия: $x$ должен быть натуральным числом и $x < 15$. Этим условиям удовлетворяют все натуральные числа от 1 до 14 включительно.

Следовательно, искомые значения $x$ это: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

правильной.

731. Найдите все натуральные значения $x$, при которых дробь $\frac{6}{x}$ будет неправильной.

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. В задаче дана дробь $\frac{6}{x}$.

Для того чтобы эта дробь была неправильной, должно выполняться условие: числитель $\ge$ знаменатель.Запишем это в виде неравенства:$6 \ge x$, или что то же самое, $x \le 6$.

По условию, $x$ должен принимать натуральные значения. Натуральные числа — это целые положительные числа: $1, 2, 3, 4, \dots$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, но так как $0$ не является натуральным числом, это условие уже выполняется.

Таким образом, нам нужно найти все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \le 6$.

Этому условию удовлетворяют следующие натуральные числа: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Ответ: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

неправильной.

732. Найдите все натуральные значения $x$, при которых дробь $\frac{13}{x}$ будет неправильной.

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен ее знаменателю.

В данном случае дана дробь $\frac{13}{x}$. Чтобы эта дробь была неправильной, ее числитель (13) должен быть больше или равен ее знаменателю ($x$). Запишем это в виде неравенства:

$13 \ge x$

В задаче требуется найти все натуральные значения $x$. Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые для счета (1, 2, 3, ...). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, что уже учтено в определении натуральных чисел.

Следовательно, нам нужно найти все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \le 13$.

Такими числами являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

неправильной.

733. Найдите все натуральные значения $x$, при которых выполняется неравенство:

1) $\frac{x}{14} < \frac{9}{14}$;

2) $\frac{9}{16} < \frac{9}{x}$.

1)

Дано неравенство $\frac{x}{14} < \frac{9}{14}$.

В этом неравенстве мы сравниваем две дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми положительными знаменателями меньше та, у которой числитель меньше.

Следовательно, неравенство $\frac{x}{14} < \frac{9}{14}$ будет верным, если числитель левой дроби будет меньше числителя правой дроби, то есть:

$x < 9$

По условию задачи, необходимо найти все натуральные значения $x$. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$).

Натуральными значениями $x$, удовлетворяющими условию $x < 9$, являются числа от 1 до 8 включительно.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

2)

Дано неравенство $\frac{9}{16} < \frac{9}{x}$.

В этом неравенстве мы сравниваем две дроби с одинаковыми числителями. По условию $x$ — натуральное число, значит $x > 0$, и обе дроби положительны. Из двух положительных дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Чтобы неравенство $\frac{9}{16} < \frac{9}{x}$ было верным, знаменатель левой дроби должен быть больше знаменателя правой дроби, то есть:

$16 > x$, или что то же самое, $x < 16$.

Нам нужно найти все натуральные значения $x$, которые удовлетворяют этому условию. Это все натуральные числа, которые меньше 16.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

734. Найдите все натуральные значения x, при которых выполняется неравенство:

1) $\frac{7}{17} > \frac{x}{17}$;

2) $\frac{12}{x} > \frac{12}{11}$.

1) В неравенстве $\frac{7}{17} > \frac{x}{17}$ знаменатели дробей равны. Из двух дробей с одинаковыми положительными знаменателями больше та, у которой числитель больше. Следовательно, неравенство будет верным, если $x < 7$.

По условию задачи $x$ является натуральным числом. Натуральные числа, которые меньше 7, это 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2) В неравенстве $\frac{12}{x} > \frac{12}{11}$ числители дробей равны. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку по условию $x$ является натуральным числом, то $x$ — положительное число. Следовательно, для выполнения неравенства должно соблюдаться условие $x < 11$.

Натуральными значениями $x$, которые меньше 11, являются числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

735. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы:

1) дробь $\frac{4*6}{476}$ была неправильной;

2) дробь $\frac{584}{5*6}$ была правильной?

1) дробь $\frac{4*6}{476}$ была неправильной;
Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Чтобы данная дробь была неправильной, должно выполняться неравенство: $4*6 \ge 476$.
Сравним числа $4*6$ и $476$. Так как цифры в разряде сотен у них одинаковы (4), то сравнение нужно проводить по разряду десятков. Чтобы число $4*6$ было больше или равно числу $476$, цифра, стоящая на месте звёздочки, должна быть больше или равна 7.
Проверим подходящие цифры:

• Если вместо звёздочки поставить 7, получим $476 \ge 476$. Неравенство верно.
• Если вместо звёздочки поставить 8, получим $486 \ge 476$. Неравенство верно.
• Если вместо звёздочки поставить 9, получим $496 \ge 476$. Неравенство верно.

Если подставить цифру меньше 7, то числитель станет меньше знаменателя, и дробь будет правильной. Таким образом, подходят цифры 7, 8, 9.
Ответ: 7, 8, 9.

2) дробь $\frac{584}{5*6}$ была правильной?
Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Для выполнения этого условия должно соблюдаться неравенство: $584 < 5*6$.
Сравним числа $584$ и $5*6$. Цифры в разряде сотен у них равны (5). Чтобы знаменатель $5*6$ был больше числителя $584$, цифра в разряде десятков знаменателя (на месте звёздочки) должна быть больше или равна цифре в разряде десятков числителя (8).
Рассмотрим возможные варианты:

• Если звёздочка равна 8, то знаменатель равен 586. Неравенство $584 < 586$ верно.
• Если звёздочка равна 9, то знаменатель равен 596. Неравенство $584 < 596$ верно.

Если подставить цифру меньше 8, то знаменатель станет меньше числителя, и дробь будет неправильной. Следовательно, подходят цифры 8 и 9.
Ответ: 8, 9.

736. Найдите все натуральные значения $b$, при которых дробь $\frac{3b+2}{16}$ будет правильной.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данном случае числитель равен $3b + 2$, а знаменатель — $16$. По условию, $b$ является натуральным числом, то есть $b$ может принимать значения $1, 2, 3, \dots$

Чтобы дробь $\frac{3b + 2}{16}$ была правильной, должно выполняться неравенство:
$3b + 2 < 16$

Решим это неравенство. Сначала вычтем 2 из обеих частей:
$3b < 16 - 2$
$3b < 14$

Теперь разделим обе части на 3:
$b < \frac{14}{3}$

Чтобы найти натуральные значения $b$, которые удовлетворяют этому неравенству, представим дробь $\frac{14}{3}$ в виде смешанного числа:
$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$

Итак, мы получили неравенство $b < 4\frac{2}{3}$. Нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше $4\frac{2}{3}$. Такими числами являются 1, 2, 3 и 4.
Ответ: 1, 2, 3, 4.