Страница 178 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

708. В детский санаторий завезли бананы, апельсины и мандарины.

Масса апельсинов составляет $\frac{12}{35}$ массы бананов, а масса мандаринов — $\frac{7}{12}$ массы апельсинов. Сколько килограммов апельсинов и мандаринов вместе завезли в санаторий, если бананов завезли 245 кг?

Для ответа на вопрос задачи необходимо выполнить три действия: найти массу апельсинов, затем массу мандаринов и, наконец, их общую массу.

1. Найдем массу апельсинов.

По условию, масса апельсинов составляет $\frac{12}{35}$ от массы бананов. Масса бананов равна 245 кг. Чтобы найти массу апельсинов, умножим массу бананов на дробь:

$245 \cdot \frac{12}{35} = \frac{245 \cdot 12}{35}$

Сократим дробь, разделив 245 на 35:

$\frac{245}{35} = 7$

Теперь умножим полученный результат на 12:

$7 \cdot 12 = 84$ (кг)

Таким образом, масса апельсинов составляет 84 кг.

Ответ: 84 кг.

2. Найдем массу мандаринов.

Масса мандаринов составляет $\frac{7}{12}$ от массы апельсинов. Мы уже знаем, что масса апельсинов — 84 кг. Вычислим массу мандаринов:

$84 \cdot \frac{7}{12} = \frac{84 \cdot 7}{12}$

Сократим дробь, разделив 84 на 12:

$\frac{84}{12} = 7$

Теперь умножим результат на 7:

$7 \cdot 7 = 49$ (кг)

Следовательно, масса мандаринов равна 49 кг.

Ответ: 49 кг.

3. Найдем, сколько килограммов апельсинов и мандаринов вместе завезли в санаторий.

Для этого нужно сложить массу апельсинов и массу мандаринов:

$84 \text{ кг} + 49 \text{ кг} = 133 \text{ кг}$

Общая масса апельсинов и мандаринов составляет 133 кг.

Ответ: 133 кг.

709. Путешествуя на катере по Волге, турист в первый день проплыл 72 км, во второй день $-$ ${7 \over 8}$ того, что проплыл в первый день, а в третий $-$ ${8 \over 9}$ того, что проплыл во второй. На сколько километров меньше проплыл турист в третий день, чем во второй?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, найдем последовательно расстояние, пройденное туристом во второй и третий дни.

Сначала вычислим расстояние, которое турист проплыл во второй день. По условию, оно составляет $\frac{7}{8}$ от расстояния, пройденного в первый день (72 км).

$72 \cdot \frac{7}{8} = \frac{72 \cdot 7}{8} = 9 \cdot 7 = 63$ км.

Таким образом, во второй день турист проплыл 63 км.

Далее вычислим расстояние, которое турист проплыл в третий день. Оно составляет $\frac{8}{9}$ от расстояния, пройденного во второй день (63 км).

$63 \cdot \frac{8}{9} = \frac{63 \cdot 8}{9} = 7 \cdot 8 = 56$ км.

Таким образом, в третий день турист проплыл 56 км.

Теперь, чтобы узнать, на сколько километров меньше турист проплыл в третий день, чем во второй, найдем разницу между этими двумя расстояниями.

$63 - 56 = 7$ км.

Ответ: на 7 километров.

710. Из двух портов, расстояние между которыми равно 576 миль, одновременно навстречу друг другу вышли яхта капитана Врунгеля и корабль юнги Солнышкина. Яхта капитана Врунгеля проходила за день 42 мили, что составляет $\frac{7}{9}$ того, что проходил за день корабль Солнышкина. Через сколько дней после начала движения встретятся мореплаватели?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость корабля юнги Солнышкина.

По условию, скорость яхты капитана Врунгеля составляет 42 мили в день, и это $\frac{7}{9}$ от скорости корабля юнги Солнышкина. Чтобы найти целое число по его части, нужно эту часть (42) разделить на дробь ($\frac{7}{9}$).

$42 \div \frac{7}{9} = 42 \times \frac{9}{7} = \frac{42 \times 9}{7} = 6 \times 9 = 54$ (мили/день) – скорость корабля юнги Солнышкина.

2. Найдем скорость сближения.

Так как яхта и корабль движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей.

$42 + 54 = 96$ (миль/день) – скорость сближения.

3. Найдем время, через которое мореплаватели встретятся.

Чтобы найти время до встречи, нужно общее расстояние разделить на скорость сближения.

$t = \frac{S}{v_{сближения}}$

$576 \div 96 = 6$ (дней).

Ответ: мореплаватели встретятся через 6 дней.

711. Из Цветочного и Солнечного городов выехали одновременно навстречу друг другу Знайка и Незнайка. Знайка ехал со скоростью 56 км/ч, что составляло $ \frac{8}{11} $ скорости движения Незнайки. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между городами равно 532 км?

Для решения задачи выполним последовательно следующие действия:

1. Найдём скорость движения Незнайки.
По условию задачи, скорость Знайки составляет 56 км/ч, и это равно $\frac{8}{11}$ от скорости движения Незнайки. Чтобы найти всю величину (скорость Незнайки), зная её часть, нужно эту часть (56 км/ч) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{8}{11}$).
Пусть $V_Н$ — скорость Незнайки.
$V_Н = 56 \div \frac{8}{11} = 56 \cdot \frac{11}{8} = \frac{56 \cdot 11}{8} = 7 \cdot 11 = 77$ км/ч.

2. Найдём скорость сближения Знайки и Незнайки.
Поскольку Знайка и Незнайка движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей. Скорость Знайки $V_З = 56$ км/ч, а скорость Незнайки $V_Н = 77$ км/ч.
$V_{сбл} = V_З + V_Н = 56 + 77 = 133$ км/ч.

3. Найдём, через сколько часов они встретятся.
Чтобы найти время до встречи, необходимо общее расстояние между городами разделить на скорость сближения. Расстояние $S = 532$ км.
$t = \frac{S}{V_{сбл}} = \frac{532}{133} = 4$ часа.

Ответ: через 4 часа.

712. Найдите число, $\frac{2}{3}$ которого равны $\frac{3}{7}$ числа 210.

Данная задача решается в два действия. Сначала найдём значение, которому равны $\frac{2}{3}$ искомого числа, а затем найдём само число.

1. Вычислим $\frac{3}{7}$ от числа 210.

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно умножить это число на данную дробь. В нашем случае, нужно умножить 210 на $\frac{3}{7}$.

$210 \cdot \frac{3}{7} = \frac{210 \cdot 3}{7}$

Сократим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{210^{30} \cdot 3}{7_1} = 30 \cdot 3 = 90$

Таким образом, $\frac{3}{7}$ от числа 210 равны 90.

2. Найдём искомое число.

По условию, $\frac{2}{3}$ искомого числа равны 90. Чтобы найти целое число по его части, нужно значение этой части разделить на дробь, которую она составляет.

Пусть искомое число — это $x$. Тогда:

$\frac{2}{3}x = 90$

Найдём $x$:

$x = 90 \div \frac{2}{3}$

Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$x = 90 \cdot \frac{3}{2} = \frac{90 \cdot 3}{2}$

Сократим 90 и 2:

$x = \frac{90^{45} \cdot 3}{2_1} = 45 \cdot 3 = 135$

Итак, искомое число — 135.

Ответ: 135

713. Найдите $ \frac{5}{8} $ числа, $ \frac{5}{12} $ которого равны 160.

Данная задача решается в два действия. Сначала необходимо найти исходное число, а затем найти требуемую его часть.

1. Найдем исходное число. Обозначим это число переменной $x$. По условию, $\frac{5}{12}$ этого числа равны 160. Составим уравнение:

$\frac{5}{12} \cdot x = 160$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 160 на дробь $\frac{5}{12}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$x = 160 \div \frac{5}{12} = 160 \cdot \frac{12}{5}$

Сократим 160 и 5:

$x = \frac{160}{5} \cdot 12 = 32 \cdot 12 = 384$

Таким образом, исходное число равно 384.

2. Теперь найдем $\frac{5}{8}$ от найденного числа. Для этого умножим 384 на дробь $\frac{5}{8}$:

$384 \cdot \frac{5}{8} = \frac{384 \cdot 5}{8}$

Сократим 384 и 8:

$\frac{384}{8} \cdot 5 = 48 \cdot 5 = 240$

Следовательно, $\frac{5}{8}$ от искомого числа равны 240.

Ответ: 240

714. Одно из слагаемых равно 324, и оно составляет $\frac{12}{25}$ суммы. Найдите второе слагаемое.

Обозначим сумму двух слагаемых как $S$. Первое слагаемое равно 324.

По условию, первое слагаемое составляет $\frac{12}{25}$ от суммы. Запишем это в виде уравнения:
$324 = \frac{12}{25} \cdot S$

Чтобы найти сумму $S$, нужно известное число (часть) разделить на дробь, которую оно составляет от целого:
$S = 324 : \frac{12}{25}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$S = 324 \cdot \frac{25}{12}$

Выполним вычисления. Сначала сократим 324 и 12:
$S = \frac{324 \cdot 25}{12} = \frac{27 \cdot 12 \cdot 25}{12} = 27 \cdot 25$
$S = 675$
Таким образом, сумма двух слагаемых равна 675.

Теперь, чтобы найти второе слагаемое, нужно из суммы вычесть первое слагаемое:
Второе слагаемое = $675 - 324 = 351$

Ответ: 351

715. Найдите разность двух чисел, если вычитаемое равно 658 и оно составляет $\frac{7}{15}$ уменьшаемого.

Пусть уменьшаемое равно $x$, а вычитаемое равно $y$. Искомая разность будет равна $x - y$.

Согласно условию задачи, вычитаемое $y = 658$. Также известно, что вычитаемое составляет $\frac{7}{15}$ от уменьшаемого. Это можно записать в виде уравнения: $y = \frac{7}{15}x$

Для того чтобы найти разность, сначала определим значение уменьшаемого $x$. Подставим известное значение $y$ в уравнение: $658 = \frac{7}{15}x$

Чтобы найти $x$, нужно число 658 (которое является частью) разделить на соответствующую ему дробь $\frac{7}{15}$: $x = 658 : \frac{7}{15}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $x = 658 \cdot \frac{15}{7} = \frac{658 \cdot 15}{7}$

Сократим 658 и 7, так как $658 : 7 = 94$: $x = 94 \cdot 15 = 1410$

Итак, уменьшаемое равно 1410.

Теперь, зная уменьшаемое (1410) и вычитаемое (658), найдем их разность: $1410 - 658 = 752$

Альтернативный способ:

Если вычитаемое составляет $\frac{7}{15}$ от уменьшаемого, то разность составляет оставшуюся часть от целого (которое принимается за 1 или $\frac{15}{15}$): $1 - \frac{7}{15} = \frac{15}{15} - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$

Таким образом, разность составляет $\frac{8}{15}$ от уменьшаемого. Мы знаем, что $\frac{7}{15}$ от уменьшаемого равны 658. Сначала найдем, чему равна $\frac{1}{15}$ часть уменьшаемого: $658 : 7 = 94$

Теперь найдем разность, которая равна 8 таким частям: $94 \cdot 8 = 752$

Ответ: 752

716. Решите уравнение:

1) $9x - 4x + 39 = 94;$

2) $7y + 2y - 34 = 83.$

1) $9x - 4x + 39 = 94$

Для решения данного линейного уравнения сначала приведем подобные слагаемые в левой части. Подобными слагаемыми являются $9x$ и $-4x$.

$(9 - 4)x + 39 = 94$

$5x + 39 = 94$

Теперь изолируем слагаемое с переменной $x$. Для этого перенесем свободный член $39$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

$5x = 94 - 39$

$5x = 55$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на $5$.

$x = \frac{55}{5}$

$x = 11$

Проверка: $9(11) - 4(11) + 39 = 99 - 44 + 39 = 55 + 39 = 94$. $94 = 94$. Решение верное.

Ответ: $11$.

2) $7y + 2y - 34 = 83$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые с переменной $y$: $7y$ и $2y$.

$(7 + 2)y - 34 = 83$

$9y - 34 = 83$

Теперь перенесем свободный член $-34$ из левой части уравнения в правую, поменяв его знак на противоположный.

$9y = 83 + 34$

$9y = 117$

Чтобы найти значение $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на $9$.

$y = \frac{117}{9}$

$y = 13$

Проверка: $7(13) + 2(13) - 34 = 91 + 26 - 34 = 117 - 34 = 83$. $83 = 83$. Решение верное.

Ответ: $13$.

717. С двух яблонь садовник собрал 65 кг яблок, причём с одной яблони он собрал на 17 кг меньше, чем со второй. Сколько килограммов яблок он собрал с каждой яблони?

Для решения задачи можно составить уравнение. Пусть $x$ — это количество килограммов яблок, собранных со второй яблони (с которой собрали больше). Тогда с первой яблони собрали $(x - 17)$ кг.

Сумма яблок с двух яблонь равна 65 кг. Составим уравнение:

$x + (x - 17) = 65$

Теперь решим это уравнение:

$2x - 17 = 65$

Перенесем 17 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 65 + 17$

$2x = 82$

Найдем $x$:

$x = 82 / 2$

$x = 41$

Итак, со второй яблони собрали 41 кг яблок.

Теперь найдем, сколько собрали с первой яблони:

$41 - 17 = 24$ (кг).

Проверим, что общая масса яблок равна 65 кг: $41 + 24 = 65$ кг. Условие выполняется.

Ответ: с одной яблони садовник собрал 24 кг яблок, а со второй — 41 кг.