Страница 176 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

692. Найдите число, если:

1) $\frac{1}{9}$;

2) $\frac{2}{5}$;

3) $\frac{2}{9}$;

4) $\frac{3}{10}$;

5) $\frac{5}{6}$;

6) $\frac{18}{19}$ его равняется 90.

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно значение этой части разделить на данную дробь. В данной задаче значение части числа всегда равно 90.

1) Найдём число, если $\frac{1}{9}$ его равна 90.
$90 \div \frac{1}{9} = 90 \cdot \frac{9}{1} = 810$.
Ответ: 810.

2) Найдём число, если $\frac{2}{5}$ его равняется 90.
$90 \div \frac{2}{5} = 90 \cdot \frac{5}{2} = \frac{90 \cdot 5}{2} = 45 \cdot 5 = 225$.
Ответ: 225.

3) Найдём число, если $\frac{2}{9}$ его равняется 90.
$90 \div \frac{2}{9} = 90 \cdot \frac{9}{2} = \frac{90 \cdot 9}{2} = 45 \cdot 9 = 405$.
Ответ: 405.

4) Найдём число, если $\frac{3}{10}$ его равняется 90.
$90 \div \frac{3}{10} = 90 \cdot \frac{10}{3} = \frac{90 \cdot 10}{3} = 30 \cdot 10 = 300$.
Ответ: 300.

5) Найдём число, если $\frac{5}{6}$ его равняется 90.
$90 \div \frac{5}{6} = 90 \cdot \frac{6}{5} = \frac{90 \cdot 6}{5} = 18 \cdot 6 = 108$.
Ответ: 108.

6) Найдём число, если $\frac{18}{19}$ его равняется 90.
$90 \div \frac{18}{19} = 90 \cdot \frac{19}{18} = \frac{90 \cdot 19}{18} = 5 \cdot 19 = 95$.
Ответ: 95.

693. Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен

9 см. Отметьте на нём точки: $A(\frac{1}{9})$; $B(\frac{2}{9})$; $C(\frac{4}{9})$; $D(\frac{5}{9})$; $E(\frac{8}{9})$.

Для выполнения задания необходимо начертить координатный луч и рассчитать положение каждой точки на нем. Координатный луч начинается в точке 0 (начало отсчета). Единичный отрезок — это расстояние от 0 до 1, которое по условию равно 9 см.

Чтобы найти физическое расстояние от начала отсчета до любой точки на луче, нужно координату этой точки умножить на длину единичного отрезка.

Длина единичного отрезка = $9$ см.

Точка A($\frac{1}{9}$)

Расстояние от начала луча (точки 0) до точки A равно:
$d_A = \frac{1}{9} \times 9 \text{ см} = 1 \text{ см}$.
Ответ: Точка А должна быть отмечена на расстоянии 1 см от начала луча.

Точка B($\frac{2}{9}$)

Расстояние от начала луча до точки B равно:
$d_B = \frac{2}{9} \times 9 \text{ см} = 2 \text{ см}$.
Ответ: Точка B должна быть отмечена на расстоянии 2 см от начала луча.

Точка C($\frac{4}{9}$)

Расстояние от начала луча до точки C равно:
$d_C = \frac{4}{9} \times 9 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Ответ: Точка C должна быть отмечена на расстоянии 4 см от начала луча.

Точка D($\frac{5}{9}$)

Расстояние от начала луча до точки D равно:
$d_D = \frac{5}{9} \times 9 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Ответ: Точка D должна быть отмечена на расстоянии 5 см от начала луча.

Точка E($\frac{8}{9}$)

Расстояние от начала луча до точки E равно:
$d_E = \frac{8}{9} \times 9 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Ответ: Точка E должна быть отмечена на расстоянии 8 см от начала луча.

Инструкция по построению:

1. Возьмите линейку и карандаш. Начертите горизонтальный луч, идущий слева направо. Начальную точку луча обозначьте буквой О и подпишите под ней число 0.
2. От точки О отложите вправо 9 см и поставьте отметку. Под этой отметкой подпишите число 1. Отрезок от 0 до 1 является единичным.
3. Используя вычисленные выше расстояния, отметьте на луче точки:
- Отложите 1 см от точки О и отметьте точку A.
- Отложите 2 см от точки О и отметьте точку B.
- Отложите 4 см от точки О и отметьте точку C.
- Отложите 5 см от точки О и отметьте точку D.
- Отложите 8 см от точки О и отметьте точку E.
Таким образом, вы получите координатный луч с отмеченными на нем точками в соответствии с условием задачи.

694. Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 12 см. Отметьте на нём точки, соответствующие дробям: $\frac{1}{12}$; $\frac{2}{12}$; $\frac{5}{12}$; $\frac{6}{12}$; $\frac{8}{12}$; $\frac{11}{12}$.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить координатный луч. Это луч, у которого есть начало (точка O, соответствующая числу 0), направление и выбран единичный отрезок.

2. Выбрать единичный отрезок. По условию, его длина равна 12 см. Откладываем от начала луча, точки 0, отрезок длиной 12 см и отмечаем его конец как точку 1. Это будет отрезок [0; 1].

3. Разделить единичный отрезок на необходимое количество частей. Все дроби в задании имеют знаменатель 12. Это означает, что единичный отрезок [0; 1] нужно разделить на 12 равных частей.

4. Рассчитать длину одной такой части. Поскольку длина всего единичного отрезка составляет 12 см, а мы делим его на 12 частей, то длина каждой части будет равна:

   $12 \text{ см} \div 12 = 1 \text{ см}$

5. Отметить на луче точки, соответствующие заданным дробям. Числитель дроби показывает, сколько таких частей (по 1 см) нужно отложить от начала координат (точки 0).

   • Точка для дроби $\frac{1}{12}$ находится на расстоянии $1 \times 1 = 1$ см от начала.

   • Точка для дроби $\frac{2}{12}$ находится на расстоянии $2 \times 1 = 2$ см от начала.

   • Точка для дроби $\frac{5}{12}$ находится на расстоянии $5 \times 1 = 5$ см от начала.

   • Точка для дроби $\frac{6}{12}$ находится на расстоянии $6 \times 1 = 6$ см от начала.

   • Точка для дроби $\frac{8}{12}$ находится на расстоянии $8 \times 1 = 8$ см от начала.

   • Точка для дроби $\frac{11}{12}$ находится на расстоянии $11 \times 1 = 11$ см от начала.

В результате получится следующий координатный луч (масштаб на рисунке условный):

Ответ: Начерчен координатный луч с началом в точке 0. На расстоянии 12 см от начала отмечена точка 1. Единичный отрезок [0; 1] разделен на 12 равных частей по 1 см каждая. На луче отмечены точки, соответствующие дробям $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{8}{12}, \frac{11}{12}$, которые находятся на расстоянии 1 см, 2 см, 5 см, 6 см, 8 см и 11 см от точки 0 соответственно.

695. В саду росло 24 вишни, что составляло $\frac{2}{9}$ всех деревьев сада. Сколько всего деревьев росло в саду?

Для решения этой задачи нужно найти целое число по его части. Нам известно, что 24 вишни составляют $\frac{2}{9}$ от всех деревьев в саду.

Способ 1: Решение по действиям

1. Сначала найдем, сколько деревьев составляет одна девятая часть ($\frac{1}{9}$) сада. Если 2 части ($\frac{2}{9}$) — это 24 дерева, то одна часть будет в два раза меньше:

$24 \div 2 = 12$ (деревьев) — это $\frac{1}{9}$ всех деревьев.

2. Теперь, зная, сколько деревьев в одной части, мы можем найти общее количество деревьев. Всего в саду 9 таких частей. Умножим количество деревьев в одной части на 9:

$12 \cdot 9 = 108$ (деревьев).

Способ 2: Решение через уравнение

Пусть $x$ — общее количество деревьев в саду. Тогда, согласно условию, $\frac{2}{9}$ от $x$ равно 24. Составим уравнение:

$\frac{2}{9} \cdot x = 24$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 24 на дробь $\frac{2}{9}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 24 \div \frac{2}{9} = 24 \cdot \frac{9}{2}$

$x = \frac{24 \cdot 9}{2} = 12 \cdot 9 = 108$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 108 деревьев.

696. За контрольную работу по математике оценку «4» получили 12 учащихся, что составляло $ \frac{4}{11} $ учащихся класса. Сколько учащихся в этом классе?

По условию, 12 учащихся получили оценку «4», и это количество составляет $\frac{4}{11}$ от всех учащихся класса. Чтобы найти общее число учащихся, нужно найти целое по его части.

Для этого можно разделить известное количество учащихся (12) на соответствующую ему долю ($\frac{4}{11}$).

Пусть $x$ — общее количество учащихся в классе. Составим уравнение:

$\frac{4}{11} \cdot x = 12$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{4}{11}$:

$x = 12 \div \frac{4}{11}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 12 \cdot \frac{11}{4}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{12 \cdot 11}{4} = \frac{132}{4} = 33$

Таким образом, общее количество учащихся в классе равно 33.

Ответ: 33 учащихся.

697. Какую часть площадь закрашенного треугольника (рис. 192) составляет от площади:

1) треугольника $ABD$;

2) четырёхугольника $ABCD$;

3) четырёхугольника $ABCE$?

Рис. 192

Для решения задачи введем обозначение. Пусть площадь закрашенного треугольника равна $S$. Из рисунка 192 видно, что большой треугольник ABD разделен на четыре маленьких треугольника, равных по площади закрашенному. Это происходит, когда треугольник делят его средние линии. Таким образом, площадь треугольника ABD в 4 раза больше площади закрашенного треугольника.

$S_{ABD} = 4S$.

Также из рисунка видно, что вся фигура состоит из трёх больших треугольников с равными площадями: $\triangle ABD$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDE$.

$S_{ABD} = S_{BDC} = S_{CDE} = 4S$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Нужно найти отношение площади закрашенного треугольника ($S$) к площади треугольника ABD ($S_{ABD}$).

$\frac{S}{S_{ABD}} = \frac{S}{4S} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Площадь четырёхугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABD и BDC.

$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BDC} = 4S + 4S = 8S$.

Найдём отношение площади закрашенного треугольника ($S$) к площади четырёхугольника ABCD ($S_{ABCD}$).

$\frac{S}{S_{ABCD}} = \frac{S}{8S} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

Площадь четырёхугольника ABCE равна сумме площадей трёх больших треугольников: ABD, BDC и CDE.

$S_{ABCE} = S_{ABD} + S_{BDC} + S_{CDE} = 4S + 4S + 4S = 12S$.

Найдём отношение площади закрашенного треугольника ($S$) к площади четырёхугольника ABCE ($S_{ABCE}$).

$\frac{S}{S_{ABCE}} = \frac{S}{12S} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

698. Сторона квадрата ABCD равна 8 см (рис. 193). Найдите общую площадь закрашенных частей квадрата.

Рис. 192

Рис. 193

а

б

Для решения задачи сначала найдем общую площадь квадрата $ABCD$. Сторона квадрата по условию равна 8 см. Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.

$S_{ABCD} = 8^2 = 64$ см$^2$.

На обоих рисунках (193а и 193б) квадрат разделен на 8 равных по площади треугольников. Это следует из симметрии фигуры: линии, которые делят квадрат, являются его диагоналями и линиями, соединяющими середины противоположных сторон, то есть осями симметрии. Следовательно, все 8 полученных треугольников конгруэнтны и имеют одинаковую площадь.

Площадь одного такого треугольника составляет $1/8$ от общей площади квадрата:

$S_{треугольника} = \frac{S_{ABCD}}{8} = \frac{64}{8} = 8$ см$^2$.

Теперь, зная площадь одного малого треугольника, мы можем найти общую площадь закрашенных частей для каждого случая.

На данном рисунке закрашено 2 треугольника. Чтобы найти общую площадь закрашенной части, нужно умножить площадь одного треугольника на их количество.

$S_{закрашенная} = 2 \times S_{треугольника} = 2 \times 8 = 16$ см$^2$.

Ответ: 16 см$^2$.

На этом рисунке закрашено 4 треугольника. Общая площадь закрашенной части вычисляется аналогично.

$S_{закрашенная} = 4 \times S_{треугольника} = 4 \times 8 = 32$ см$^2$.

Также можно заметить, что закрашена ровно половина всех треугольников ($4$ из $8$), следовательно, закрашенная площадь составляет половину площади всего квадрата: $S_{закрашенная} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 64 = 32$ см$^2$.

Ответ: 32 см$^2$.

699. Сторона квадрата ABCD равна 4 см (рис. 194). Найдите общую площадь закрашенных частей квадрата.

Рис. 194

a

б

Для решения задачи сначала найдем общую площадь квадрата $ABCD$. Сторона квадрата по условию равна 4 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – сторона квадрата.

$S_{ABCD} = 4^2 = 16$ см².

Теперь рассмотрим каждый случай, представленный на рисунках.

На рисунке 'а' квадрат разделен диагоналями и средними линиями на 8 равных по площади треугольников. Закрашенная область состоит из 4 таких треугольников. Это означает, что закрашена ровно половина площади всего квадрата.

Площадь закрашенной части равна:

$S_{закрашенная} = \frac{4}{8} \times S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 16 = 8$ см².

Ответ: 8 см².

На рисунке 'б' квадрат также разделен на 8 треугольников, равных по площади. Это достигается путем деления квадрата пополам горизонтальной линией, в результате чего получаются два одинаковых прямоугольника. Затем каждый из этих прямоугольников делится своими диагоналями на 4 треугольника с равной площадью.

Закрашенная область, как и в предыдущем случае, состоит из 4 таких треугольников. Следовательно, её площадь также составляет половину от общей площади квадрата:

$S_{закрашенная} = \frac{4}{8} \times S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 16 = 8$ см².

Ответ: 8 см².