Страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равна дробь, у которой числитель равен знаменателю?

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, всегда равна единице (1). Это правило действует при условии, что числитель и знаменатель не равны нулю, так как на ноль делить нельзя.

Давайте разберемся, почему это так. Дробь представляет собой деление числителя на знаменатель. Обозначим числитель и знаменатель буквой $a$. Тогда наша дробь будет иметь вид:

$$ \frac{a}{a} $$

Это выражение означает, что мы делим число $a$ само на себя. Любое число (кроме нуля), разделенное само на себя, в результате дает 1.

Например:

• Если взять пиццу, разрезать ее на 4 равные части и взять все 4 части, мы получим целую пиццу. В виде дроби это будет $ \frac{4}{4} = 1 $.
• $ \frac{7}{7} = 7 \div 7 = 1 $
• $ \frac{100}{100} = 100 \div 100 = 1 $

Таким образом, если числитель дроби равен ее знаменателю, значение такой дроби всегда равно 1.

Ответ: 1.

2. Какую дробь называют правильной?

2. Какую дробь называют правильной?
Правильной называют обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Такая дробь всегда обозначает часть целого, поэтому её значение всегда меньше единицы.
Если дробь записана в виде $\frac{a}{b}$, где $a$ – числитель, а $b$ – знаменатель, то условием того, что дробь является правильной, будет неравенство:
$a < b$
Примеры правильных дробей:
$\frac{4}{7}$ (так как числитель $4$ меньше знаменателя $7$)
$\frac{1}{2}$ (так как $1 < 2$)
$\frac{99}{100}$ (так как $99 < 100$)

Ответ: Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

3. Какую дробь называют неправильной?

Неправильной дробью называют обыкновенную дробь, у которой числитель (число, стоящее над дробной чертой) больше или равен знаменателю (числу, стоящему под дробной чертой).

Если представить дробь в общем виде как $\frac{a}{b}$, где $a$ — это числитель, а $b$ — знаменатель, то дробь считается неправильной, если выполняется неравенство $a \ge b$.

Ключевая особенность неправильной дроби в том, что её значение всегда больше или равно единице ($1$). Такие дроби можно представить в виде смешанного числа (если числитель больше знаменателя) или целого числа (если числитель равен знаменателю).

Примеры неправильных дробей:

• $\frac{8}{5}$ (так как числитель $8$ больше знаменателя $5$)
• $\frac{7}{7}$ (так как числитель $7$ равен знаменателю $7$, значение дроби равно $1$)
• $\frac{10}{3}$ (так как числитель $10$ больше знаменателя $3$)

В противоположность неправильным дробям, дроби, у которых числитель меньше знаменателя (например, $\frac{3}{4}$), называются правильными, и их значение всегда меньше единицы.

Ответ: Неправильной называют дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

4. Какая из двух дробей с равными знаменателями больше? Меньше?

Чтобы сравнить две дроби с равными знаменателями, нужно сравнить их числители. Знаменатель (число под чертой) показывает, на сколько равных частей разделено целое. Числитель (число над чертой) показывает, сколько таких частей взято. Если знаменатели одинаковы, значит, мы сравниваем части одного и того же размера.

Больше

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Это логично: если взять больше одинаковых по размеру частей, то и итоговая величина будет больше.

Рассмотрим две дроби: $ \frac{a}{c} $ и $ \frac{b}{c} $. Если числитель $ a $ больше числителя $ b $ (т.е. $ a > b $), то и вся дробь будет больше: $ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $.

Пример: Сравним дроби $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{3}{8} $.
Знаменатели равны (8). Сравниваем числители: $ 5 > 3 $.
Следовательно, $ \frac{5}{8} > \frac{3}{8} $.

Ответ: из двух дробей с равными знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Меньше

Соответственно, из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой числитель меньше. Если взять меньшее количество одинаковых частей, то и итоговая величина будет меньше.

Рассмотрим те же дроби: $ \frac{a}{c} $ и $ \frac{b}{c} $. Если числитель $ a $ меньше числителя $ b $ (т.е. $ a < b $), то и вся дробь будет меньше: $ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $.

Пример: Сравним дроби $ \frac{2}{9} $ и $ \frac{7}{9} $.
Знаменатели равны (9). Сравниваем числители: $ 2 < 7 $.
Следовательно, $ \frac{2}{9} < \frac{7}{9} $.

Ответ: из двух дробей с равными знаменателями меньше та, у которой числитель меньше.

5. Сравните с единицей любую правильную дробь; любую неправильную дробь.

Любая правильная дробь

Правильной называется дробь, у которой числитель (число над чертой) меньше знаменателя (число под чертой). Пусть дана произвольная правильная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению правильной дроби, числитель $a$ меньше знаменателя $b$, то есть $a < b$.

Чтобы сравнить дробь с единицей, представим единицу в виде дроби с таким же знаменателем, как у нашей дроби, то есть со знаменателем $b$. Единицу можно представить как дробь, у которой числитель и знаменатель равны:

$1 = \frac{b}{b}$

Теперь нам нужно сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{b}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Так как по условию $a < b$, то и дробь $\frac{a}{b}$ меньше дроби $\frac{b}{b}$.

Таким образом, мы получаем неравенство:

$\frac{a}{b} < \frac{b}{b}$

А поскольку $\frac{b}{b} = 1$, то:

$\frac{a}{b} < 1$

Например: сравним дробь $\frac{4}{9}$ с единицей. Так как числитель $4$ меньше знаменателя $9$, это правильная дробь. $1 = \frac{9}{9}$. Поскольку $4 < 9$, то $\frac{4}{9} < \frac{9}{9}$, следовательно, $\frac{4}{9} < 1$.

Ответ: любая правильная дробь меньше единицы.

Любая неправильная дробь

Неправильной называется дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Пусть дана произвольная неправильная дробь $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа. По определению неправильной дроби, числитель $c$ больше или равен знаменателю $d$, то есть $c \ge d$.

Чтобы сравнить эту дробь с единицей, мы так же представим единицу в виде дроби со знаменателем $d$:

$1 = \frac{d}{d}$

Теперь сравним дроби $\frac{c}{d}$ и $\frac{d}{d}$. Для этого рассмотрим два возможных случая:

1. Числитель больше знаменателя ($c > d$).
В этом случае, поскольку $c > d$, дробь $\frac{c}{d}$ будет больше дроби $\frac{d}{d}$. Следовательно, $\frac{c}{d} > 1$.
Например: в дроби $\frac{7}{2}$ числитель $7$ больше знаменателя $2$. Сравниваем ее с $1 = \frac{2}{2}$. Так как $7 > 2$, то $\frac{7}{2} > \frac{2}{2}$, а значит $\frac{7}{2} > 1$.

2. Числитель равен знаменателю ($c = d$).
В этом случае дробь $\frac{c}{d}$ равна дроби $\frac{d}{d}$, так как их числители равны. Следовательно, $\frac{c}{d} = 1$.
Например: дробь $\frac{5}{5}$. Здесь числитель равен знаменателю, поэтому $\frac{5}{5} = 1$.

Объединяя оба случая ($c > d$ и $c = d$), мы приходим к выводу, что для любой неправильной дроби $\frac{c}{d}$ выполняется условие $c \ge d$, а значит $\frac{c}{d} \ge 1$.

Ответ: любая неправильная дробь больше или равна единице.

6. Сравните любую неправильную дробь с любой правильной дробью.

Для того чтобы сравнить любую неправильную дробь с любой правильной дробью, необходимо вспомнить определения этих дробей и их отношение к числу 1.

1. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим правильную дробь как $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению, для правильной дроби выполняется условие $a < b$. Если разделить меньшее натуральное число на большее, результат всегда будет меньше единицы. Таким образом, любая правильная дробь меньше 1.

Например: $\frac{3}{4} < 1$, $\frac{8}{15} < 1$, $\frac{99}{100} < 1$.

2. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Обозначим неправильную дробь как $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа. По определению, для неправильной дроби выполняется условие $c \ge d$. Если разделить натуральное число на меньшее или равное ему натуральное число, результат всегда будет больше или равен единице. Таким образом, любая неправильная дробь больше или равна 1.

Например: $\frac{5}{2} > 1$, $\frac{12}{7} > 1$, $\frac{6}{6} = 1$.

3. Сравнение. Сопоставим полученные выводы:

• Значение любой правильной дроби ($\frac{a}{b}$) всегда меньше 1: $\frac{a}{b} < 1$.
• Значение любой неправильной дроби ($\frac{c}{d}$) всегда больше или равно 1: $\frac{c}{d} \ge 1$.

Из этих двух утверждений следует, что $\frac{a}{b} < 1 \le \frac{c}{d}$. Следовательно, любая правильная дробь всегда меньше любой неправильной дроби.

Ответ: любая неправильная дробь всегда больше любой правильной дроби.

7. Какая из двух дробей с одинаковыми числителями больше? Меньше?

Больше?

При сравнении двух дробей с одинаковыми положительными числителями, большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше.

Это правило можно объяснить на простом примере. Представьте, что у вас есть два одинаковых торта. Первый торт вы разрезали на 4 равные части, а второй — на 8 равных частей. Очевидно, что кусок от первого торта (одна четвертая) будет больше, чем кусок от второго торта (одна восьмая).

Теперь, если вы возьмете одинаковое количество кусков, например, 3 куска от первого торта и 3 куска от второго, то 3 больших куска будут составлять большую часть торта, чем 3 маленьких.

Математически это выглядит так:
Сравниваем дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{3}{8} $.
Числители одинаковы (равны 3).
Сравниваем знаменатели: $4 < 8$.
Поскольку мы делим на меньшее число частей в первой дроби, каждая часть получается больше. Следовательно, $ \frac{3}{4} > \frac{3}{8} $.

В общем виде: для двух дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a}{c} $, где $a, b, c$ - положительные числа, если $b < c$, то $ \frac{a}{b} > \frac{a}{c} $.

Ответ: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Меньше?

Соответственно, из двух дробей с одинаковыми положительными числителями, меньшей будет та дробь, у которой знаменатель больше.

Возвращаясь к нашему примеру с тортами: если знаменатель больше, значит, целое разделено на большее количество частей, и каждая такая часть меньше по размеру. Взяв одинаковое количество (числитель) таких маленьких частей, мы получим меньшую итоговую величину.

Сравнивая дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{3}{8} $, мы видим, что знаменатель второй дроби больше ($8 > 4$). Это означает, что целое разделено на большее количество частей, и каждая часть меньше. Поэтому $ \frac{3}{8} $ будет меньше, чем $ \frac{3}{4} $.

В общем виде: для двух дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a}{c} $, где $a, b, c$ - положительные числа, если $b > c$, то $ \frac{a}{b} < \frac{a}{c} $.

Ответ: из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше.