Номер 5, страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Сравните с единицей любую правильную дробь; любую неправильную дробь.

Любая правильная дробь

Правильной называется дробь, у которой числитель (число над чертой) меньше знаменателя (число под чертой). Пусть дана произвольная правильная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению правильной дроби, числитель $a$ меньше знаменателя $b$, то есть $a < b$.

Чтобы сравнить дробь с единицей, представим единицу в виде дроби с таким же знаменателем, как у нашей дроби, то есть со знаменателем $b$. Единицу можно представить как дробь, у которой числитель и знаменатель равны:

$1 = \frac{b}{b}$

Теперь нам нужно сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{b}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Так как по условию $a < b$, то и дробь $\frac{a}{b}$ меньше дроби $\frac{b}{b}$.

Таким образом, мы получаем неравенство:

$\frac{a}{b} < \frac{b}{b}$

А поскольку $\frac{b}{b} = 1$, то:

$\frac{a}{b} < 1$

Например: сравним дробь $\frac{4}{9}$ с единицей. Так как числитель $4$ меньше знаменателя $9$, это правильная дробь. $1 = \frac{9}{9}$. Поскольку $4 < 9$, то $\frac{4}{9} < \frac{9}{9}$, следовательно, $\frac{4}{9} < 1$.

Ответ: любая правильная дробь меньше единицы.

Любая неправильная дробь

Неправильной называется дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Пусть дана произвольная неправильная дробь $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа. По определению неправильной дроби, числитель $c$ больше или равен знаменателю $d$, то есть $c \ge d$.

Чтобы сравнить эту дробь с единицей, мы так же представим единицу в виде дроби со знаменателем $d$:

$1 = \frac{d}{d}$

Теперь сравним дроби $\frac{c}{d}$ и $\frac{d}{d}$. Для этого рассмотрим два возможных случая:

1. Числитель больше знаменателя ($c > d$).
В этом случае, поскольку $c > d$, дробь $\frac{c}{d}$ будет больше дроби $\frac{d}{d}$. Следовательно, $\frac{c}{d} > 1$.
Например: в дроби $\frac{7}{2}$ числитель $7$ больше знаменателя $2$. Сравниваем ее с $1 = \frac{2}{2}$. Так как $7 > 2$, то $\frac{7}{2} > \frac{2}{2}$, а значит $\frac{7}{2} > 1$.

2. Числитель равен знаменателю ($c = d$).
В этом случае дробь $\frac{c}{d}$ равна дроби $\frac{d}{d}$, так как их числители равны. Следовательно, $\frac{c}{d} = 1$.
Например: дробь $\frac{5}{5}$. Здесь числитель равен знаменателю, поэтому $\frac{5}{5} = 1$.

Объединяя оба случая ($c > d$ и $c = d$), мы приходим к выводу, что для любой неправильной дроби $\frac{c}{d}$ выполняется условие $c \ge d$, а значит $\frac{c}{d} \ge 1$.

Ответ: любая неправильная дробь больше или равна единице.