Номер 718, страница 179 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

718. К пяти разным замкам есть пять ключей, причём неизвестно, какой ключ к какому замку подходит. Барон Мюнхаузен утверждает, что можно не более чем за десять попыток подобрать ключ к каждому замку. Прав ли барон Мюнхаузен?

Чтобы определить, прав ли барон Мюнхаузен, нужно найти максимальное количество попыток, которое гарантированно позволит подобрать ключ к каждому замку. Для этого рассмотрим наихудший из возможных сценариев. Будем подбирать ключи к замкам последовательно.

Подбор ключа к первому замку.Берем первый замок и начинаем пробовать к нему ключи один за другим. В худшем случае первые 4 ключа из 5 имеющихся не подойдут. После четвертой неудачной попытки мы будем точно знать, что оставшийся пятый ключ — правильный, и проверять его уже не нужно. Таким образом, для первого замка потребуется максимум 4 попытки. После этого у нас останется 4 неопределенных замка и 4 ключа к ним.

Подбор ключа ко второму замку.Теперь у нас 4 замка и 4 ключа. Берем второй замок и пробуем к нему оставшиеся ключи. В худшем случае первые 3 ключа не подойдут. Это значит, что четвертый, последний из оставшихся, и есть верный ключ. На это уйдет максимум 3 попытки. Останется 3 замка и 3 ключа.

Подбор ключа к третьему замку.Аналогично, для третьего замка из 3 оставшихся ключей в худшем случае придется сделать 2 попытки, чтобы найти правильный.

Подбор ключа к четвертому замку.Когда осталось 2 замка и 2 ключа, достаточно сделать всего 1 попытку. Если ключ подошел — отлично. Если не подошел — значит, он от пятого замка, а оставшийся ключ — от четвертого.

Подбор ключа к пятому замку.Когда остался последний замок и последний ключ, они гарантированно составляют пару. Дополнительные попытки не требуются (0 попыток).

Теперь сложим максимальное количество попыток для каждого замка, чтобы найти общее число проб в наихудшем случае:

$4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10$

Таким образом, максимальное число попыток, которого всегда будет достаточно, чтобы подобрать все ключи, равно 10. Утверждение барона Мюнхаузена, что можно справиться не более чем за десять попыток, является верным.

Ответ: Барон Мюнхаузен прав.