Страница 186 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

737. Найдите все натуральные значения $b$, при которых дробь $\frac{42}{10+4b}$ будет неправильной.

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен ее знаменателю. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.

В данном случае дана дробь $\frac{42}{10+4b}$. Для того чтобы она была неправильной, должно выполняться следующее неравенство:

$42 \ge 10 + 4b$

По условию задачи, $b$ является натуральным числом, то есть $b \in \{1, 2, 3, ...\}$. При любом натуральном значении $b$ знаменатель $10 + 4b$ будет положительным числом, а значит, он не равен нулю.

Решим неравенство, чтобы найти возможные значения $b$:

Вычтем 10 из обеих частей неравенства:

$42 - 10 \ge 4b$

$32 \ge 4b$

Разделим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется, так как 4 — положительное число):

$\frac{32}{4} \ge b$

$8 \ge b$

Это неравенство можно записать как $b \le 8$.

Так как $b$ — натуральное число, оно должно быть больше или равно 1. Следовательно, искомые значения $b$ должны удовлетворять двум условиям: $b \ge 1$ и $b \le 8$.

Этим условиям удовлетворяют следующие натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

738. Найдите все натуральные значения a, при которых:

1) обе дроби $\frac{a}{12}$ и $\frac{7}{a}$ будут правильными;

2) дробь $\frac{3}{a}$ будет правильной, а дробь $\frac{6}{a}$ — неправильной.

1) По условию, $a$ — натуральное число, и обе дроби $ \frac{a}{12} $ и $ \frac{7}{a} $ являются правильными.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Следовательно, для дроби $ \frac{a}{12} $ должно выполняться условие $ a < 12 $. Поскольку $a$ — натуральное число, возможные значения $a$ лежат в диапазоне от 1 до 11.
Для дроби $ \frac{7}{a} $ должно выполняться условие $ 7 < a $.
Нам нужно найти все натуральные значения $ a $, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, то есть $ 7 < a $ и $ a < 12 $.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $ 7 < a < 12 $.
Натуральные значения $ a $, которые удовлетворяют этому неравенству, — это числа, которые больше 7 и меньше 12.
Такими числами являются: 8, 9, 10, 11.
Ответ: 8, 9, 10, 11.

2) По условию, $ a $ — натуральное число, дробь $ \frac{3}{a} $ является правильной, а дробь $ \frac{6}{a} $ — неправильной.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.
Условие, что дробь $ \frac{3}{a} $ правильная, означает, что $ 3 < a $.
Условие, что дробь $ \frac{6}{a} $ неправильная, означает, что $ 6 \ge a $.
Мы ищем все натуральные значения $ a $, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $ 3 < a $ и $ a \le 6 $.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $ 3 < a \le 6 $.
Натуральные значения $ a $, которые удовлетворяют этому неравенству, — это числа, которые строго больше 3 и меньше или равны 6.
Такими числами являются: 4, 5, 6.
Ответ: 4, 5, 6.

739. Найдите все натуральные значения $a$, при которых:

1) обе дроби $\frac{a}{8}$ и $\frac{9}{a}$ будут неправильными;

2) обе дроби $\frac{a}{10}$ и $\frac{15}{a}$ будут неправильными, а дробь $\frac{a}{13}$ пра-вильной.

1) обе дроби $\frac{a}{8}$ и $\frac{9}{a}$ будут неправильными;

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По условию, $a$ является натуральным числом, то есть $a \in \{1, 2, 3, ...\}$.
1. Дробь $\frac{a}{8}$ будет неправильной, если ее числитель $a$ не меньше знаменателя 8. Это записывается в виде неравенства: $a \ge 8$.
2. Дробь $\frac{9}{a}$ будет неправильной, если ее числитель 9 не меньше знаменателя $a$. Это записывается в виде неравенства: $9 \ge a$, или $a \le 9$.
Чтобы оба условия выполнялись одновременно, значение $a$ должно удовлетворять обоим неравенствам. Таким образом, мы ищем натуральные числа $a$, для которых выполняется двойное неравенство: $8 \le a \le 9$.
Этому условию удовлетворяют натуральные числа 8 и 9.
Проверим:
- при $a=8$: дроби $\frac{8}{8}$ и $\frac{9}{8}$. Обе неправильные.
- при $a=9$: дроби $\frac{9}{8}$ и $\frac{9}{9}$. Обе неправильные.
Ответ: 8, 9.

2) обе дроби $\frac{a}{10}$ и $\frac{15}{a}$ будут неправильными, а дробь $\frac{a}{13}$ — правильной.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Рассмотрим все три условия для натурального числа $a$:
1. Дробь $\frac{a}{10}$ является неправильной, что означает $a \ge 10$.
2. Дробь $\frac{15}{a}$ является неправильной, что означает $15 \ge a$ (или $a \le 15$).
3. Дробь $\frac{a}{13}$ является правильной, что означает $a < 13$.
Нам необходимо найти натуральные числа $a$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $a \ge 10$, $a \le 15$ и $a < 13$.
Объединяя первое и третье неравенства, получаем $10 \le a < 13$.
Второе неравенство, $a \le 15$, также должно выполняться, но оно уже учтено, так как любое число, меньшее 13, автоматически меньше 15.
Следовательно, искомые значения $a$ должны быть натуральными числами в промежутке от 10 (включительно) до 13 (не включительно).
Такими числами являются 10, 11 и 12.
Ответ: 10, 11, 12.

740. Объём прямоугольного параллелепипеда равен $180 \text{ дм}^3$, а два его измерения — 6 дм и 15 дм. Найдите сумму длин всех рёбер параллелепипеда.

Обозначим три измерения прямоугольного параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, объём параллелепипеда $V = 180 \text{ дм}^3$, а два его измерения равны $a = 6 \text{ дм}$ и $b = 15 \text{ дм}$.

1. Найдём третье измерение параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Для того чтобы найти неизвестное третье измерение $c$, мы можем выразить его из этой формулы: $c = \frac{V}{a \cdot b}$.

Подставим известные значения в формулу:
$c = \frac{180}{6 \cdot 15}$

Сначала вычислим произведение в знаменателе:
$6 \cdot 15 = 90$

Теперь найдём значение $c$:
$c = \frac{180}{90} = 2 \text{ дм}$

Таким образом, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 15 дм и 2 дм.

2. Найдём сумму длин всех рёбер.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер. При этом у него есть 3 группы по 4 равных ребра в каждой. Сумма длин всех рёбер $L$ вычисляется по формуле:
$L = 4 \cdot (a + b + c)$

Подставим в формулу найденные значения всех трёх измерений:
$L = 4 \cdot (6 + 15 + 2)$

Вычислим сумму в скобках:
$6 + 15 + 2 = 23$

Теперь умножим полученную сумму на 4:
$L = 4 \cdot 23 = 92 \text{ дм}$

Ответ: 92 дм.

741. Из двух городов, расстояние между которыми равно 392 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Скорость одного автомобиля равна 48 км/ч, что составляет $\frac{6}{7}$ скорости второго. Какое расстояние будет между автомобилями через 5 ч после начала движения?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдём скорость второго автомобиля.

По условию, скорость первого автомобиля ($v_1$) равна 48 км/ч, и это составляет $\frac{6}{7}$ от скорости второго автомобиля ($v_2$). Чтобы найти скорость второго автомобиля, нужно разделить скорость первого на дробь $\frac{6}{7}$:

$v_2 = 48 \div \frac{6}{7} = 48 \cdot \frac{7}{6} = \frac{48 \cdot 7}{6} = 8 \cdot 7 = 56$ (км/ч).

2. Определим скорость сближения автомобилей.

Поскольку автомобили едут навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения ($v_{сбл}$) будет равна сумме скоростей первого и второго автомобилей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 48 + 56 = 104$ (км/ч).

3. Вычислим общее расстояние, которое проехали автомобили за 5 часов.

Чтобы найти расстояние, которое автомобили преодолели вместе за 5 часов, умножим их скорость сближения на время ($t$):

$S_{пройденное} = v_{сбл} \cdot t = 104 \cdot 5 = 520$ (км).

4. Найдём расстояние между автомобилями через 5 часов.

Изначальное расстояние между городами составляло 392 км. За 5 часов автомобили вместе проехали 520 км. Так как пройденное ими расстояние (520 км) больше, чем начальное расстояние между ними (392 км), это означает, что они уже встретились и продолжили движение, разъезжаясь в разные стороны. Чтобы найти, на каком расстоянии друг от друга они оказались, нужно из общего пройденного ими пути вычесть первоначальное расстояние между городами:

$S_{между} = S_{пройденное} - S_{начальное} = 520 - 392 = 128$ (км).

Ответ: через 5 ч после начала движения расстояние между автомобилями будет 128 км.

742. Мартышка, Удав, Слонёнок и Попугай съели вместе 70 бананов, причём каждый из них съел хотя бы один банан. Мартышка съела больше, чем кто-либо из них, Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел Удав?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество бананов, съеденных каждым животным:

• $М$ – количество бананов, которые съела Мартышка.
• $У$ – количество бананов, которые съел Удав.
• $С$ – количество бананов, которые съел Слонёнок.
• $П$ – количество бананов, которые съел Попугай.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений и неравенств:

1. Всего съели 70 бананов: $М + У + С + П = 70$.
2. Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов: $С + П = 45$.
3. Мартышка съела больше, чем кто-либо из них: $М > У$, $М > С$, $М > П$.
4. Каждый съел хотя бы один банан, то есть $М, У, С, П$ являются натуральными числами ($ \geq 1 $).

1. Найдём, сколько бананов съели Мартышка и Удав вместе.

Мы знаем общее количество бананов и сколько съели Слонёнок и Попугай. Вычтем из общего количества бананов те, что съели Слонёнок и Попугай, чтобы найти, сколько съели Мартышка и Удав:

$М + У = (М + У + С + П) - (С + П)$

$М + У = 70 - 45 = 25$

Итак, Мартышка и Удав вместе съели 25 бананов.

2. Используем условие, что Мартышка съела больше всех.

Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов. Поскольку оба съели хотя бы по одному банану, то кто-то из них должен был съесть больше половины от 22,5, то есть как минимум 23 банана. Если бы оба съели меньше 23 (например, 22 и 22), то их сумма была бы $22+22=44$, что меньше 45. Значит, по крайней мере один из них съел 23 или более бананов.

По условию, Мартышка ($М$) съела больше, чем Попугай ($П$) и больше, чем Слонёнок ($С$). Следовательно, количество съеденных Мартышкой бананов должно быть больше, чем максимальное количество, которое мог съесть Попугай или Слонёнок. Так как один из них съел не менее 23 бананов, то Мартышка съела как минимум на один банан больше.

$М > \max(С, П) \geq 23$

Это означает, что Мартышка съела по меньшей мере 24 банана ($М \geq 24$).

3. Определим, сколько бананов съел Удав.

Из предыдущих шагов мы знаем, что $М + У = 25$ и $М \geq 24$. Также по условию Удав съел хотя бы один банан ($У \geq 1$).

Рассмотрим возможные целые значения для $М$ и $У$:

• Если Мартышка съела 24 банана ($М=24$), то Удав съел: $У = 25 - 24 = 1$ банан. Этот вариант удовлетворяет всем условиям: $М=24$, $У=1$. $М>У$ (24>1). Можно подобрать значения для Слонёнка и Попугая, например, 23 и 22 банана. Тогда $М > 23$ и $М > 22$. Все условия выполнены.
• Если Мартышка съела 25 бананов ($М=25$), то Удав съел: $У = 25 - 25 = 0$ бананов. Это противоречит условию, что каждый съел хотя бы один банан.
• Если Мартышка съела больше 25 бананов, то количество бананов, съеденных Удавом, стало бы отрицательным, что невозможно.

Таким образом, единственно возможный вариант — Удав съел 1 банан.

Ответ: 1 банан.