Номер 739, страница 186 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

739. Найдите все натуральные значения $a$, при которых:

1) обе дроби $\frac{a}{8}$ и $\frac{9}{a}$ будут неправильными;

2) обе дроби $\frac{a}{10}$ и $\frac{15}{a}$ будут неправильными, а дробь $\frac{a}{13}$ пра-вильной.

1) обе дроби $\frac{a}{8}$ и $\frac{9}{a}$ будут неправильными;

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По условию, $a$ является натуральным числом, то есть $a \in \{1, 2, 3, ...\}$.
1. Дробь $\frac{a}{8}$ будет неправильной, если ее числитель $a$ не меньше знаменателя 8. Это записывается в виде неравенства: $a \ge 8$.
2. Дробь $\frac{9}{a}$ будет неправильной, если ее числитель 9 не меньше знаменателя $a$. Это записывается в виде неравенства: $9 \ge a$, или $a \le 9$.
Чтобы оба условия выполнялись одновременно, значение $a$ должно удовлетворять обоим неравенствам. Таким образом, мы ищем натуральные числа $a$, для которых выполняется двойное неравенство: $8 \le a \le 9$.
Этому условию удовлетворяют натуральные числа 8 и 9.
Проверим:
- при $a=8$: дроби $\frac{8}{8}$ и $\frac{9}{8}$. Обе неправильные.
- при $a=9$: дроби $\frac{9}{8}$ и $\frac{9}{9}$. Обе неправильные.
Ответ: 8, 9.

2) обе дроби $\frac{a}{10}$ и $\frac{15}{a}$ будут неправильными, а дробь $\frac{a}{13}$ — правильной.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Рассмотрим все три условия для натурального числа $a$:
1. Дробь $\frac{a}{10}$ является неправильной, что означает $a \ge 10$.
2. Дробь $\frac{15}{a}$ является неправильной, что означает $15 \ge a$ (или $a \le 15$).
3. Дробь $\frac{a}{13}$ является правильной, что означает $a < 13$.
Нам необходимо найти натуральные числа $a$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $a \ge 10$, $a \le 15$ и $a < 13$.
Объединяя первое и третье неравенства, получаем $10 \le a < 13$.
Второе неравенство, $a \le 15$, также должно выполняться, но оно уже учтено, так как любое число, меньшее 13, автоматически меньше 15.
Следовательно, искомые значения $a$ должны быть натуральными числами в промежутке от 10 (включительно) до 13 (не включительно).
Такими числами являются 10, 11 и 12.
Ответ: 10, 11, 12.