Номер 742, страница 186 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

742. Мартышка, Удав, Слонёнок и Попугай съели вместе 70 бананов, причём каждый из них съел хотя бы один банан. Мартышка съела больше, чем кто-либо из них, Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел Удав?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество бананов, съеденных каждым животным:

• $М$ – количество бананов, которые съела Мартышка.
• $У$ – количество бананов, которые съел Удав.
• $С$ – количество бананов, которые съел Слонёнок.
• $П$ – количество бананов, которые съел Попугай.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений и неравенств:

1. Всего съели 70 бананов: $М + У + С + П = 70$.
2. Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов: $С + П = 45$.
3. Мартышка съела больше, чем кто-либо из них: $М > У$, $М > С$, $М > П$.
4. Каждый съел хотя бы один банан, то есть $М, У, С, П$ являются натуральными числами ($ \geq 1 $).

1. Найдём, сколько бананов съели Мартышка и Удав вместе.

Мы знаем общее количество бананов и сколько съели Слонёнок и Попугай. Вычтем из общего количества бананов те, что съели Слонёнок и Попугай, чтобы найти, сколько съели Мартышка и Удав:

$М + У = (М + У + С + П) - (С + П)$

$М + У = 70 - 45 = 25$

Итак, Мартышка и Удав вместе съели 25 бананов.

2. Используем условие, что Мартышка съела больше всех.

Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов. Поскольку оба съели хотя бы по одному банану, то кто-то из них должен был съесть больше половины от 22,5, то есть как минимум 23 банана. Если бы оба съели меньше 23 (например, 22 и 22), то их сумма была бы $22+22=44$, что меньше 45. Значит, по крайней мере один из них съел 23 или более бананов.

По условию, Мартышка ($М$) съела больше, чем Попугай ($П$) и больше, чем Слонёнок ($С$). Следовательно, количество съеденных Мартышкой бананов должно быть больше, чем максимальное количество, которое мог съесть Попугай или Слонёнок. Так как один из них съел не менее 23 бананов, то Мартышка съела как минимум на один банан больше.

$М > \max(С, П) \geq 23$

Это означает, что Мартышка съела по меньшей мере 24 банана ($М \geq 24$).

3. Определим, сколько бананов съел Удав.

Из предыдущих шагов мы знаем, что $М + У = 25$ и $М \geq 24$. Также по условию Удав съел хотя бы один банан ($У \geq 1$).

Рассмотрим возможные целые значения для $М$ и $У$:

• Если Мартышка съела 24 банана ($М=24$), то Удав съел: $У = 25 - 24 = 1$ банан. Этот вариант удовлетворяет всем условиям: $М=24$, $У=1$. $М>У$ (24>1). Можно подобрать значения для Слонёнка и Попугая, например, 23 и 22 банана. Тогда $М > 23$ и $М > 22$. Все условия выполнены.
• Если Мартышка съела 25 бананов ($М=25$), то Удав съел: $У = 25 - 25 = 0$ бананов. Это противоречит условию, что каждый съел хотя бы один банан.
• Если Мартышка съела больше 25 бананов, то количество бананов, съеденных Удавом, стало бы отрицательным, что невозможно.

Таким образом, единственно возможный вариант — Удав съел 1 банан.

Ответ: 1 банан.