Страница 184 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую часть составляет:

1) длина стороны квадрата от его периметра;

2) секунда от часа;

3) угол, градусная мера которого равна $15^\circ$, от прямого угла;

4) угол, градусная мера которого равна $20^\circ$, от развёрнутого угла?

1) длина стороны квадрата от его периметра
Пусть длина стороны квадрата равна $a$. Периметр квадрата $P$ — это сумма длин всех его четырех сторон. Так как у квадрата все стороны равны, его периметр вычисляется по формуле: $P = a + a + a + a = 4a$. Чтобы найти, какую часть длина стороны составляет от периметра, нужно разделить длину стороны на периметр: $\frac{a}{P} = \frac{a}{4a} = \frac{1}{4}$. Таким образом, длина стороны квадрата составляет $\frac{1}{4}$ его периметра.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) секунда от часа
Чтобы найти, какую часть секунда составляет от часа, нужно выразить обе величины в одних и тех же единицах измерения, например, в секундах. В одном часе 60 минут. В одной минуте 60 секунд. Следовательно, в одном часе $60 \times 60 = 3600$ секунд. Теперь найдём отношение одной секунды к одному часу (3600 секунд): $\frac{1 \text{ секунда}}{1 \text{ час}} = \frac{1}{3600}$. Таким образом, секунда составляет $\frac{1}{3600}$ часть от часа.
Ответ: $\frac{1}{3600}$.

3) угол, градусная мера которого равна 15°, от прямого угла
Прямой угол равен $90°$. Чтобы найти, какую часть угол в $15°$ составляет от прямого угла, нужно разделить $15°$ на $90°$: $\frac{15°}{90°} = \frac{15}{90}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 15: $\frac{15 \div 15}{90 \div 15} = \frac{1}{6}$. Таким образом, угол в $15°$ составляет $\frac{1}{6}$ от прямого угла.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

4) угол, градусная мера которого равна 20°, от развёрнутого угла
Развёрнутый угол равен $180°$. Чтобы найти, какую часть угол в $20°$ составляет от развёрнутого угла, нужно разделить $20°$ на $180°$: $\frac{20°}{180°} = \frac{20}{180}$. Сократим дробь, сначала убрав нули (разделив на 10), а затем разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{20}{180} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$. Таким образом, угол в $20°$ составляет $\frac{1}{9}$ от развёрнутого угла.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

2. Дима находится в школе с 8 ч 30 мин до 14 ч 30 мин. Какую часть суток Дима проводит в школе?

Для того чтобы определить, какую часть суток Дима проводит в школе, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти общую продолжительность пребывания Димы в школе. Для этого нужно из времени окончания вычесть время начала:

$14 \text{ ч } 30 \text{ мин } - 8 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 6 \text{ часов}$

2. Узнать общее количество часов в сутках. В одних сутках 24 часа.

3. Составить дробь, где в числителе будет время, которое Дима проводит в школе, а в знаменателе — общее количество часов в сутках.

$\frac{6}{24}$

4. Сократить полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$\frac{6 \div 6}{24 \div 6} = \frac{1}{4}$

Следовательно, Дима проводит в школе $\frac{1}{4}$ часть суток.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

3. Ваня собрал 35 грибов, из которых $4/7$ составляют белые. Сколько белых грибов собрал Ваня?

По условию задачи, общее количество собранных грибов — 35. Белые грибы составляют $\frac{4}{7}$ от этого количества. Чтобы найти, сколько белых грибов собрал Ваня, необходимо найти $\frac{4}{7}$ от числа 35.

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь.

Выполним вычисление:

$35 \cdot \frac{4}{7}$

Для удобства вычисления можно сначала разделить число 35 на знаменатель дроби 7, а затем полученный результат умножить на числитель 4.

1. Находим, сколько грибов составляет одна седьмая часть:

$35 \div 7 = 5$ (грибов)

2. Находим, сколько грибов составляют четыре седьмых части:

$5 \cdot 4 = 20$ (грибов)

Таким образом, Ваня собрал 20 белых грибов.

Ответ: 20

4. В саду растёт 36 вишнёвых деревьев, что составляет $\frac{4}{9}$ всех деревьев. Сколько деревьев растёт в саду?

По условию задачи нам известно, что 36 вишнёвых деревьев – это $ \frac{4}{9} $ от общего количества деревьев в саду. Чтобы найти общее количество деревьев (целое), зная его часть, нужно выполнить следующие действия.

1. Найдём, сколько деревьев составляет одна часть из девяти ($ \frac{1}{9} $). Для этого разделим известное количество вишнёвых деревьев на числитель дроби:

$ 36 \div 4 = 9 $ (деревьев) — это $ \frac{1}{9} $ всех деревьев.

2. Теперь, зная, сколько деревьев в одной части, найдём общее количество деревьев. Поскольку всего частей 9 (так как знаменатель дроби равен 9), умножим количество деревьев в одной части на 9:

$ 9 \times 9 = 81 $ (дерево).

Другой способ — это разделить число на дробь, которую оно составляет:

$ 36 \div \frac{4}{9} = 36 \times \frac{9}{4} = \frac{36 \times 9}{4} = 9 \times 9 = 81 $ (дерево).

Ответ: 81 дерево.

5. Пешеход и велосипедист отправились навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми равно 28 км. Пешеход до встречи прошёл $\frac{2}{7}$ пути. Сколько километров проехал до встречи велосипедист?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Через вычисление расстояния, пройденного пешеходом

1. Сначала найдём, какое расстояние прошёл пешеход до встречи. По условию, это составляет $ \frac{2}{7} $ от общего расстояния в 28 км.
$28 \cdot \frac{2}{7} = \frac{28 \cdot 2}{7} = 4 \cdot 2 = 8$ (км) – прошёл пешеход.

2. Так как пешеход и велосипедист двигались навстречу друг другу, то общее расстояние равно сумме расстояний, которые они преодолели до встречи. Чтобы найти расстояние, которое проехал велосипедист, нужно из общего расстояния вычесть расстояние, которое прошёл пешеход.
$28 - 8 = 20$ (км) – проехал велосипедист.

Способ 2: Через вычисление части пути, пройденной велосипедистом

1. Весь путь примем за 1 (единицу). Если пешеход прошёл $ \frac{2}{7} $ пути, то велосипедист проехал оставшуюся часть пути.
$1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ – часть пути, которую проехал велосипедист.

2. Теперь найдём, сколько километров составляет эта часть от общего расстояния.
$28 \cdot \frac{5}{7} = \frac{28 \cdot 5}{7} = 4 \cdot 5 = 20$ (км) – проехал велосипедист.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 20 км.

719. Запишите все правильные дроби со знаменателем 8.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В общем виде правильная дробь выглядит как $\frac{a}{b}$, где $a < b$ и $a$, $b$ — натуральные числа.

В условии задачи дан знаменатель, равный 8. Это означает, что $b = 8$.

Чтобы дробь была правильной, ее числитель $a$ должен быть натуральным числом (то есть, целым положительным числом) и строго меньше знаменателя 8. Математически это можно записать так: $a \in \mathbb{N}$ и $a < 8$.

Перечислим все натуральные числа, которые меньше 8: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Теперь запишем все правильные дроби, подставляя эти значения в числитель, а в знаменатель ставя 8:

$\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}$.

720. Запишите все правильные дроби со знаменателем 11.

Правильной дробью называется такая обыкновенная дробь, числитель которой меньше её знаменателя. Также числитель должен быть натуральным числом, то есть целым положительным числом.

По условию задачи, знаменатель дроби равен 11. Обозначим искомую дробь в виде $\frac{a}{11}$, где $a$ – это числитель.

Чтобы дробь была правильной, числитель $a$ должен быть натуральным числом и удовлетворять неравенству $a < 11$.

Найдём все натуральные числа, которые меньше 11. Это числа: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Следовательно, искомые правильные дроби со знаменателем 11 будут иметь эти числа в качестве числителей. Запишем их все:
$\frac{1}{11}, \frac{2}{11}, \frac{3}{11}, \frac{4}{11}, \frac{5}{11}, \frac{6}{11}, \frac{7}{11}, \frac{8}{11}, \frac{9}{11}, \frac{10}{11}$.

Ответ: $\frac{1}{11}, \frac{2}{11}, \frac{3}{11}, \frac{4}{11}, \frac{5}{11}, \frac{6}{11}, \frac{7}{11}, \frac{8}{11}, \frac{9}{11}, \frac{10}{11}$.

721. Запишите все неправильные дроби с числителем 8.

$ \frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{3}, \frac{8}{4}, \frac{8}{5}, \frac{8}{6}, \frac{8}{7}, \frac{8}{8} $

Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель (число, стоящее над чертой) больше или равен знаменателю (числу, стоящему под чертой).

По условию задачи, числитель равен 8. Обозначим искомую дробь как $\frac{8}{n}$, где $n$ — это знаменатель.

Чтобы дробь $\frac{8}{n}$ была неправильной, должно выполняться неравенство: числитель $\ge$ знаменатель. В нашем случае это $8 \ge n$.

Также, по определению дроби, знаменатель должен быть натуральным числом, то есть целым положительным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Таким образом, нам нужно найти все натуральные числа $n$, которые удовлетворяют условию $n \le 8$.

Этими числами являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Подставив каждое из этих значений в знаменатель, мы получим все искомые неправильные дроби:

$\frac{8}{1}$, $\frac{8}{2}$, $\frac{8}{3}$, $\frac{8}{4}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{8}{6}$, $\frac{8}{7}$, $\frac{8}{8}$.

Ответ: $\frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{3}, \frac{8}{4}, \frac{8}{5}, \frac{8}{6}, \frac{8}{7}, \frac{8}{8}$.

722. Запишите все неправильные дроби с числителем 11.

Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Знаменатель дроби должен быть натуральным числом.

По условию задачи, числитель равен 11. Обозначим знаменатель буквой $b$. Дробь будет иметь вид $\frac{11}{b}$.

Чтобы дробь была неправильной, должно выполняться неравенство: числитель $\geq$ знаменатель, то есть $11 \geq b$.

Поскольку знаменатель $b$ должен быть натуральным числом, его возможные значения — это все натуральные числа от 1 до 11 включительно.

Перечислим эти значения для знаменателя: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$.

Теперь запишем все соответствующие неправильные дроби:

$\frac{11}{1}, \frac{11}{2}, \frac{11}{3}, \frac{11}{4}, \frac{11}{5}, \frac{11}{6}, \frac{11}{7}, \frac{11}{8}, \frac{11}{9}, \frac{11}{10}, \frac{11}{11}$.

Ответ: $\frac{11}{1}, \frac{11}{2}, \frac{11}{3}, \frac{11}{4}, \frac{11}{5}, \frac{11}{6}, \frac{11}{7}, \frac{11}{8}, \frac{11}{9}, \frac{11}{10}, \frac{11}{11}$.

723. Сравните числа:

1) $ \frac{5}{13} $ и $ \frac{7}{13} $;

2) $ \frac{37}{41} $ и $ \frac{34}{41} $;

3) $ \frac{9}{25} $ и $ \frac{4}{25} $;

4) $ \frac{11}{15} $ и $ \frac{11}{13} $;

5) $ \frac{29}{5} $ и $ \frac{29}{6} $;

6) $ \frac{5}{23} $ и $ \frac{5}{24} $;

7) $ \frac{7}{12} $ и $ 1 $;

8) $ \frac{16}{15} $ и $ 1 $;

9) $ \frac{34}{34} $ и $ 1 $;

10) $ \frac{3}{3} $ и $ \frac{19}{19} $;

11) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{4}{3} $;

12) $ \frac{32}{37} $ и $ \frac{5}{4} $.

1) Сравнить дроби $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{13}$.

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Большей будет та дробь, у которой числитель больше. В данном случае знаменатели равны 13. Сравниваем числители: $5 < 7$. Следовательно, $\frac{5}{13} < \frac{7}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13} < \frac{7}{13}$.

2) Сравнить дроби $\frac{37}{41}$ и $\frac{34}{41}$.

Данные дроби имеют одинаковые знаменатели, равные 41. Сравниваем их числители. Так как $37 > 34$, то и дробь $\frac{37}{41}$ больше дроби $\frac{34}{41}$.

Ответ: $\frac{37}{41} > \frac{34}{41}$.

3) Сравнить дроби $\frac{9}{25}$ и $\frac{4}{25}$.

Знаменатели дробей одинаковы и равны 25. Сравниваем числители: $9 > 4$. Значит, первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{9}{25} > \frac{4}{25}$.

4) Сравнить дроби $\frac{11}{15}$ и $\frac{11}{13}$.

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше. В данном случае числители равны 11. Сравниваем знаменатели: $15 > 13$. Следовательно, дробь с меньшим знаменателем будет больше: $\frac{11}{15} < \frac{11}{13}$.

Ответ: $\frac{11}{15} < \frac{11}{13}$.

5) Сравнить дроби $\frac{29}{5}$ и $\frac{29}{6}$.

Данные дроби имеют одинаковые числители, равные 29. Сравниваем их знаменатели. Так как $5 < 6$, то дробь с меньшим знаменателем будет больше.

Ответ: $\frac{29}{5} > \frac{29}{6}$.

6) Сравнить дроби $\frac{5}{23}$ и $\frac{5}{24}$.

Числители дробей одинаковы и равны 5. Сравниваем знаменатели: $23 < 24$. Значит, дробь $\frac{5}{23}$ больше дроби $\frac{5}{24}$.

Ответ: $\frac{5}{23} > \frac{5}{24}$.

7) Сравнить $\frac{7}{12}$ и $1$.

Дробь $\frac{7}{12}$ является правильной, так как её числитель (7) меньше знаменателя (12). Любая правильная дробь меньше единицы. Можно также представить 1 в виде дроби со знаменателем 12: $1 = \frac{12}{12}$. Тогда сравнение сводится к $\frac{7}{12}$ и $\frac{12}{12}$. Так как $7 < 12$, то $\frac{7}{12} < \frac{12}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12} < 1$.

8) Сравнить $\frac{16}{15}$ и $1$.

Дробь $\frac{16}{15}$ является неправильной, так как её числитель (16) больше знаменателя (15). Любая неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, больше единицы. Представим 1 как $\frac{15}{15}$. Сравниваем $\frac{16}{15}$ и $\frac{15}{15}$. Так как $16 > 15$, то $\frac{16}{15} > \frac{15}{15}$.

Ответ: $\frac{16}{15} > 1$.

9) Сравнить $\frac{34}{34}$ и $1$.

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, всегда равна единице. В данном случае $34 = 34$, поэтому $\frac{34}{34} = 1$.

Ответ: $\frac{34}{34} = 1$.

10) Сравнить $\frac{3}{3}$ и $\frac{19}{19}$.

Обе дроби имеют равные числители и знаменатели. Первая дробь $\frac{3}{3} = 1$. Вторая дробь $\frac{19}{19} = 1$. Следовательно, дроби равны.

Ответ: $\frac{3}{3} = \frac{19}{19}$.

11) Сравнить $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$.

Дробь $\frac{3}{4}$ — правильная ($3 < 4$), поэтому она меньше 1. Дробь $\frac{4}{3}$ — неправильная ($4 > 3$), поэтому она больше 1. Число, которое меньше 1, всегда меньше числа, которое больше 1. Таким образом, $\frac{3}{4} < \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{3}{4} < \frac{4}{3}$.

12) Сравнить $\frac{32}{37}$ и $\frac{5}{4}$.

Дробь $\frac{32}{37}$ является правильной, так как $32 < 37$, значит $\frac{32}{37} < 1$. Дробь $\frac{5}{4}$ является неправильной, так как $5 > 4$, значит $\frac{5}{4} > 1$. Следовательно, правильная дробь меньше неправильной.

Ответ: $\frac{32}{37} < \frac{5}{4}$.

724. Сравните числа:

1) $\frac{16}{23}$ и $\frac{9}{23}$;

2) $\frac{29}{58}$ и $\frac{31}{58}$;

3) $\frac{17}{100}$ и $\frac{21}{100}$;

4) $\frac{17}{40}$ и $\frac{17}{45}$;

5) $\frac{9}{4}$ и $\frac{9}{2}$;

6) $\frac{3}{98}$ и $\frac{3}{94}$;

7) 1 и $\frac{11}{14}$;

8) 1 и $\frac{28}{25}$;

9) 1 и $\frac{68}{68}$;

10) $\frac{22}{22}$ и $\frac{4}{4}$;

11) $\frac{27}{28}$ и $\frac{28}{27}$;

12) $\frac{7}{6}$ и $\frac{57}{59}$.

1) Для сравнения дробей $ \frac{16}{23} $ и $ \frac{9}{23} $ заметим, что у них одинаковые знаменатели. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Так как $ 16 > 9 $, то $ \frac{16}{23} > \frac{9}{23} $.
Ответ: $ \frac{16}{23} > \frac{9}{23} $.

2) У дробей $ \frac{29}{58} $ и $ \frac{31}{58} $ одинаковые знаменатели. Сравниваем их числители. Поскольку $ 29 < 31 $, то и дробь $ \frac{29}{58} $ меньше дроби $ \frac{31}{58} $.
Ответ: $ \frac{29}{58} < \frac{31}{58} $.

3) Знаменатели дробей $ \frac{17}{100} $ и $ \frac{21}{100} $ равны. Сравнивая числители, видим, что $ 17 < 21 $. Следовательно, $ \frac{17}{100} < \frac{21}{100} $.
Ответ: $ \frac{17}{100} < \frac{21}{100} $.

4) Для сравнения дробей $ \frac{17}{40} $ и $ \frac{17}{45} $ заметим, что у них одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $ 40 < 45 $, то $ \frac{17}{40} > \frac{17}{45} $.
Ответ: $ \frac{17}{40} > \frac{17}{45} $.

5) У дробей $ \frac{9}{4} $ и $ \frac{9}{2} $ одинаковые числители. Сравниваем их знаменатели. Поскольку $ 4 > 2 $, дробь с большим знаменателем будет меньше. Следовательно, $ \frac{9}{4} < \frac{9}{2} $.
Ответ: $ \frac{9}{4} < \frac{9}{2} $.

6) Числители дробей $ \frac{3}{98} $ и $ \frac{3}{94} $ равны. Знаменатель первой дроби $ 98 $, а второй $ 94 $. Так как $ 98 > 94 $, то дробь $ \frac{3}{98} $ будет меньше дроби $ \frac{3}{94} $.
Ответ: $ \frac{3}{98} < \frac{3}{94} $.

7) Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Правильная дробь всегда меньше 1. В дроби $ \frac{11}{14} $ числитель $ 11 $ меньше знаменателя $ 14 $, значит, это правильная дробь. Следовательно, $ 1 > \frac{11}{14} $.
Ответ: $ 1 > \frac{11}{14} $.

8) Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. Неправильная дробь (если числитель не равен знаменателю) всегда больше 1. В дроби $ \frac{28}{25} $ числитель $ 28 $ больше знаменателя $ 25 $, значит, это неправильная дробь. Следовательно, $ 1 < \frac{28}{25} $.
Ответ: $ 1 < \frac{28}{25} $.

9) Если числитель дроби равен ее знаменателю, то такая дробь равна 1. В дроби $ \frac{68}{68} $ числитель $ 68 $ равен знаменателю $ 68 $. Следовательно, $ 1 = \frac{68}{68} $.
Ответ: $ 1 = \frac{68}{68} $.

10) Если у дроби числитель равен знаменателю, то она равна 1. Дробь $ \frac{22}{22} = 1 $ и дробь $ \frac{4}{4} = 1 $. Так как оба числа равны 1, то они равны между собой.
Ответ: $ \frac{22}{22} = \frac{4}{4} $.

11) Дробь $ \frac{27}{28} $ является правильной, так как ее числитель $ 27 $ меньше знаменателя $ 28 $. Поэтому $ \frac{27}{28} < 1 $. Дробь $ \frac{28}{27} $ является неправильной, так как ее числитель $ 28 $ больше знаменателя $ 27 $. Поэтому $ \frac{28}{27} > 1 $. Число, которое меньше 1, всегда меньше числа, которое больше 1.
Ответ: $ \frac{27}{28} < \frac{28}{27} $.

12) Дробь $ \frac{7}{6} $ является неправильной, так как ее числитель $ 7 $ больше знаменателя $ 6 $. Это означает, что $ \frac{7}{6} > 1 $. Дробь $ \frac{57}{59} $ является правильной, так как ее числитель $ 57 $ меньше знаменателя $ 59 $. Это означает, что $ \frac{57}{59} < 1 $. Следовательно, число, которое больше 1, всегда больше числа, которое меньше 1.
Ответ: $ \frac{7}{6} > \frac{57}{59} $.