Страница 188 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте правило сложения двух дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Если полученная в результате дробь является сократимой, её следует сократить.

В виде формулы это правило можно записать следующим образом:
Пусть у нас есть две дроби $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$. Их сумма вычисляется так:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

Пример:

Найдем сумму дробей $\frac{5}{12}$ и $\frac{3}{12}$.
Знаменатели у дробей одинаковые и равны 12.
1. Складываем числители: $5 + 3 = 8$.
2. Знаменатель оставляем прежним: 12.
3. Записываем результат: $\frac{5}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5+3}{12} = \frac{8}{12}$.
4. Полученную дробь $\frac{8}{12}$ можно сократить, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 4.
$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

2. Сформулируйте правило вычитания двух дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило вычитания двух дробей с одинаковыми знаменателями формулируется следующим образом: чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений.

В общем виде это правило можно записать с помощью формулы:

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$, где $a$ и $b$ – числители, а $c$ – их общий знаменатель.

Например, найдем разность дробей $\frac{7}{10}$ и $\frac{3}{10}$:

$\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7-3}{10} = \frac{4}{10}$

В данном примере мы вычитаем числитель 3 из числителя 7, получая в результате 4, а общий знаменатель 10 оставляем прежним. Полученную дробь $\frac{4}{10}$ можно сократить до $\frac{2}{5}$.

Ответ: Чтобы вычесть дробь из дроби с таким же знаменателем, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Формула: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$.

1. Сравните:

1) $\frac{18}{29}$ и $\frac{15}{29}$;

2) $\frac{14}{33}$ и $\frac{14}{35}$;

3) $\frac{9}{10}$ и 1;

4) $\frac{10}{9}$ и 1;

5) $\frac{9}{9}$ и 1;

6) $\frac{9}{10}$ и $\frac{10}{9}$.

1) Сравнить дроби $\frac{18}{29}$ и $\frac{15}{29}$.

Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сравнить их числители. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Сравниваем числители: $18 > 15$.

Следовательно, $\frac{18}{29} > \frac{15}{29}$.

Ответ: $\frac{18}{29} > \frac{15}{29}$.

2) Сравнить дроби $\frac{14}{33}$ и $\frac{14}{35}$.

Для сравнения дробей с одинаковыми числителями необходимо сравнить их знаменатели. Большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше, так как одно и то же число делится на меньшее количество частей.

Сравниваем знаменатели: $33 < 35$.

Следовательно, $\frac{14}{33} > \frac{14}{35}$.

Ответ: $\frac{14}{33} > \frac{14}{35}$.

3) Сравнить дробь $\frac{9}{10}$ и 1.

Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя. Любая правильная дробь меньше единицы.

В дроби $\frac{9}{10}$ числитель $9$ меньше знаменателя $10$, поэтому это правильная дробь.

Следовательно, $\frac{9}{10} < 1$.

Также можно представить 1 в виде дроби со знаменателем 10: $1 = \frac{10}{10}$. Сравнивая $\frac{9}{10}$ и $\frac{10}{10}$, видим, что $9 < 10$, поэтому $\frac{9}{10} < \frac{10}{10}$.

Ответ: $\frac{9}{10} < 1$.

4) Сравнить дробь $\frac{10}{9}$ и 1.

Дробь называется неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю. Если числитель строго больше знаменателя, то такая дробь всегда больше единицы.

В дроби $\frac{10}{9}$ числитель $10$ больше знаменателя $9$, поэтому это неправильная дробь.

Следовательно, $\frac{10}{9} > 1$.

Также можно представить 1 в виде дроби со знаменателем 9: $1 = \frac{9}{9}$. Сравнивая $\frac{10}{9}$ и $\frac{9}{9}$, видим, что $10 > 9$, поэтому $\frac{10}{9} > \frac{9}{9}$.

Ответ: $\frac{10}{9} > 1$.

5) Сравнить дробь $\frac{9}{9}$ и 1.

Если числитель дроби равен её знаменателю, то такая дробь равна единице.

В дроби $\frac{9}{9}$ числитель $9$ равен знаменателю $9$.

Следовательно, $\frac{9}{9} = 1$.

Ответ: $\frac{9}{9} = 1$.

6) Сравнить дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{10}{9}$.

Дробь $\frac{9}{10}$ является правильной, так как её числитель ($9$) меньше знаменателя ($10$). Следовательно, $\frac{9}{10} < 1$.

Дробь $\frac{10}{9}$ является неправильной, так как её числитель ($10$) больше знаменателя ($9$). Следовательно, $\frac{10}{9} > 1$.

Так как одна дробь меньше единицы, а другая больше единицы, то первая дробь меньше второй.

Следовательно, $\frac{9}{10} < \frac{10}{9}$.

Ответ: $\frac{9}{10} < \frac{10}{9}$.

2. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы дробь $\frac{372}{3\ast5}$ была правильной?

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В задаче дана дробь $ \frac{372}{3*5} $. Числитель равен 372, а знаменатель — это трёхзначное число, в котором неизвестна цифра десятков, обозначенная звёздочкой (*).

Чтобы дробь была правильной, должно выполняться следующее неравенство:

$ 372 < 3*5 $

Сравним числитель и знаменатель поразрядно, начиная со старшего разряда (сотни).

1. Цифры в разряде сотен у обоих чисел одинаковы и равны 3.

2. Чтобы знаменатель был больше числителя, нужно сравнить цифры в разряде десятков. У числителя (372) это цифра 7. У знаменателя ($3*5$) — это неизвестная цифра *.

Рассмотрим возможные значения для *:

• Если цифра * будет больше 7, то есть * примет значения 8 или 9, то знаменатель гарантированно будет больше числителя.

  • Если * = 8, получаем знаменатель 385. Неравенство $ 372 < 385 $ верно.

  • Если * = 9, получаем знаменатель 395. Неравенство $ 372 < 395 $ верно.

• Если цифра * будет равна 7, то цифры в разрядах сотен и десятков у числителя и знаменателя совпадут. В этом случае для сравнения чисел нужно посмотреть на разряд единиц.

  У числителя в разряде единиц стоит 2, а у знаменателя — 5. Так как $ 2 < 5 $, то и всё число $ 372 < 375 $. Неравенство верно, значит, цифра 7 тоже подходит.

• Если цифра * будет меньше 7 (например, 6, 5, 4 и т.д.), то знаменатель станет меньше числителя (например, $ 365 < 372 $). В этом случае дробь будет неправильной.

Следовательно, вместо звёздочки можно поставить цифры 7, 8 или 9, чтобы дробь была правильной.

Ответ: 7, 8, 9.

3. На шахматной доске стоят 14 фигур, из которых 5 — чёрные. Какую часть всех фигур составляют белые фигуры? Какую часть чёрных фигур составляют белые? Какую часть белых фигур составляют чёрные?

Для решения задачи сначала найдём количество белых фигур. Всего на доске 14 фигур, из которых 5 — чёрные. Следовательно, количество белых фигур равно:

$14 - 5 = 9$ (белых фигур)

Теперь, зная количество белых (9) и чёрных (5) фигур, а также их общее число (14), можно ответить на поставленные вопросы.

Какую часть всех фигур составляют белые фигуры?

Чтобы найти, какую часть от всех фигур составляют белые, нужно разделить количество белых фигур на общее количество фигур:

$\frac{9}{14}$

Ответ: $\frac{9}{14}$.

Какую часть чёрных фигур составляют белые?

Чтобы найти, какую часть от чёрных фигур составляют белые, нужно разделить количество белых фигур на количество чёрных фигур:

$\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{9}{5}$.

Какую часть белых фигур составляют чёрные?

Чтобы найти, какую часть от белых фигур составляют чёрные, нужно разделить количество чёрных фигур на количество белых фигур:

$\frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$.

4. Из суммы чисел 19 и 23 вычтите 34.

$(19 + 23) - 34$

4.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два последовательных арифметических действия. Сначала нужно найти сумму чисел 19 и 23, а затем из полученного результата вычесть 34.

1. Находим сумму чисел 19 и 23:

$19 + 23 = 42$

2. Из полученной суммы вычитаем 34:

$42 - 34 = 8$

Таким образом, итоговое выражение выглядит следующим образом:

$(19 + 23) - 34 = 42 - 34 = 8$

Ответ: 8

5. К сумме чисел $18$ и $16$ прибавьте их разность.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Находим сумму чисел 18 и 16. Сумма — это результат сложения.

$18 + 16 = 34$

2. Находим разность чисел 18 и 16. Разность — это результат вычитания.

$18 - 16 = 2$

3. К полученной сумме (34) прибавляем полученную разность (2).

$34 + 2 = 36$

Также можно записать всё решение одним математическим выражением:

$(18 + 16) + (18 - 16) = 34 + 2 = 36$

Ответ: 36

6. Удвойте сумму $37 + 100 + 63$.

Чтобы решить задачу, нужно выполнить два действия: сначала найти сумму чисел, а затем умножить полученный результат на 2 (удвоить).

1. Находим сумму чисел $37 + 100 + 63$. Для удобства вычислений можно сначала сложить $37$ и $63$, так как их сумма является круглым числом:

$37 + 63 = 100$

Теперь к полученному результату прибавим оставшееся число:

$100 + 100 = 200$

Таким образом, сумма чисел $37 + 100 + 63$ равна $200$.

2. Удваиваем полученную сумму. Для этого умножаем $200$ на $2$:

$200 \times 2 = 400$

Ответ: 400

7. Утройте разность $143 - 43$.

Чтобы утроить разность, необходимо сначала вычислить значение этой разности, а затем умножить результат на 3.

1. Вычислим разность чисел 143 и 43:

$143 - 43 = 100$

2. Теперь утроим полученный результат:

$100 \cdot 3 = 300$

Ответ: 300

8. Назовите в порядке убывания числа: $ \frac{9}{49} $; $ \frac{8}{49} $; $ 1 $; $ \frac{24}{49} $; $ \frac{50}{49} $; $ \frac{100}{49} $; $ \frac{1}{49} $; $ \frac{17}{49} $; $ \frac{40}{49} $.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо их сравнить между собой. В заданном списке большинство чисел являются дробями с одинаковым знаменателем 49, а также присутствует целое число 1.

Шаг 1: Приведение всех чисел к общему знаменателю
Чтобы упростить сравнение, представим число 1 в виде дроби со знаменателем 49.
$1 = \frac{49}{49}$
Теперь исходный набор чисел выглядит так:
$\frac{9}{49}$, $\frac{8}{49}$, $\frac{49}{49}$, $\frac{24}{49}$, $\frac{50}{49}$, $\frac{100}{49}$, $\frac{1}{49}$, $\frac{17}{49}$, $\frac{40}{49}$.

Шаг 2: Сравнение дробей
Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями гласит: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.
Сравним числители данных дробей и расположим их в порядке убывания (от большего к меньшему):
$100 > 50 > 49 > 40 > 24 > 17 > 9 > 8 > 1$.

Шаг 3: Запись чисел в порядке убывания
Теперь запишем исходные числа в соответствии с полученным порядком их числителей. Дробь $\frac{49}{49}$ запишем в её первоначальном виде, как 1.
$\frac{100}{49}$; $\frac{50}{49}$; $1$; $\frac{40}{49}$; $\frac{24}{49}$; $\frac{17}{49}$; $\frac{9}{49}$; $\frac{8}{49}$; $\frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{100}{49}$; $\frac{50}{49}$; $1$; $\frac{40}{49}$; $\frac{24}{49}$; $\frac{17}{49}$; $\frac{9}{49}$; $\frac{8}{49}$; $\frac{1}{49}$.