Страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

684. Найдите от числа 36:

1) $\$ \frac{1}{3} \$$;

2) $\$ \frac{3}{4} \$$;

3) $\$ \frac{5}{6} \$$;

4) $\$ \frac{4}{9} \$$;

5) $\$ \frac{5}{12} \$$;

6) $\$ \frac{11}{18} \$$.

Чтобы найти дробь от числа, необходимо это число умножить на данную дробь. Проще говоря, нужно число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на числитель.

1) Найдём $\frac{1}{3}$ от числа 36:

$36 \cdot \frac{1}{3} = (36 \div 3) \cdot 1 = 12 \cdot 1 = 12$

Ответ: 12

2) Найдём $\frac{3}{4}$ от числа 36:

$36 \cdot \frac{3}{4} = (36 \div 4) \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$

Ответ: 27

3) Найдём $\frac{5}{6}$ от числа 36:

$36 \cdot \frac{5}{6} = (36 \div 6) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30

4) Найдём $\frac{4}{9}$ от числа 36:

$36 \cdot \frac{4}{9} = (36 \div 9) \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16$

Ответ: 16

5) Найдём $\frac{5}{12}$ от числа 36:

$36 \cdot \frac{5}{12} = (36 \div 12) \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15

6) Найдём $\frac{11}{18}$ от числа 36:

$36 \cdot \frac{11}{18} = (36 \div 18) \cdot 11 = 2 \cdot 11 = 22$

Ответ: 22

685. Найдите от числа 28:

1) $\frac{1}{2}$;

2) $\frac{3}{7}$;

3) $\frac{9}{14}$;

4) $\frac{19}{28}$.

1) Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь. В данном случае, чтобы найти $\frac{1}{2}$ от числа 28, умножим 28 на $\frac{1}{2}$.
$28 \cdot \frac{1}{2} = \frac{28 \cdot 1}{2} = \frac{28}{2} = 14$
Ответ: 14

2) Чтобы найти $\frac{3}{7}$ от числа 28, умножим 28 на $\frac{3}{7}$.
$28 \cdot \frac{3}{7} = \frac{28 \cdot 3}{7}$
Сократим 28 и 7 на 7:
$\frac{^4\cancel{28} \cdot 3}{\cancel{7}_1} = 4 \cdot 3 = 12$
Ответ: 12

3) Чтобы найти $\frac{9}{14}$ от числа 28, умножим 28 на $\frac{9}{14}$.
$28 \cdot \frac{9}{14} = \frac{28 \cdot 9}{14}$
Сократим 28 и 14 на 14:
$\frac{^2\cancel{28} \cdot 9}{\cancel{14}_1} = 2 \cdot 9 = 18$
Ответ: 18

4) Чтобы найти $\frac{19}{28}$ от числа 28, умножим 28 на $\frac{19}{28}$.
$28 \cdot \frac{19}{28} = \frac{28 \cdot 19}{28}$
Сократим числитель и знаменатель на 28:
$\frac{^1\cancel{28} \cdot 19}{\cancel{28}_1} = 1 \cdot 19 = 19$
Ответ: 19

686. Андрей прочитал $ \frac{4}{9} $ книги, в которой 180 страниц. Сколько страниц прочитал Андрей?

Чтобы найти количество страниц, которое прочитал Андрей, нужно вычислить, чему равняется $\frac{4}{9}$ от общего количества страниц в книге, то есть от 180.

Для этого необходимо общее количество страниц умножить на дробь, соответствующую прочитанной части.

Решение:
Вычислим, сколько страниц составляет $\frac{4}{9}$ от 180. Сначала найдем, сколько страниц в $\frac{1}{9}$ части книги, разделив общее количество страниц на знаменатель дроби:
$180 \div 9 = 20$ (страниц).
Теперь умножим полученное значение на числитель дроби, чтобы найти, сколько страниц в $\frac{4}{9}$ частях:
$20 \times 4 = 80$ (страниц).
Таким образом, Андрей прочитал 80 страниц.
Можно записать вычисление в виде одного выражения:
$180 \times \frac{4}{9} = \frac{180 \times 4}{9} = \frac{720}{9} = 80$ (страниц).
Ответ: 80 страниц.

687. Золушка сделала 72 вареника с творогом и с картошкой, причём вареники с творогом составляли $ \frac{5}{8} $ всех вареников. Сколько вареников с творогом сделала Золушка?

Для решения задачи нужно найти, какую часть от общего количества вареников составляют вареники с творогом.

Всего было сделано 72 вареника.

Доля вареников с творогом составляет $ \frac{5}{8} $ от общего числа.

Чтобы найти количество вареников с творогом, нужно общее количество вареников умножить на долю, которую они составляют:

$ 72 \cdot \frac{5}{8} = \frac{72}{8} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45 $ (вареников)

Следовательно, Золушка сделала 45 вареников с творогом.

Ответ: 45.

688. Во время Северной войны (1700–1721) между Россией и Швецией у деревни Лесная 28 сентября 1708 г. русская армия разбила шестнадцатитысячное шведское войско. Численность русской армии составляла $\frac{7}{8}$ численности шведской. Какова была численность русской армии, сражавшейся у деревни Лесная?

Для решения задачи необходимо найти часть от числа. Из условия известно, что численность шведского войска составляла 16 000 человек. Численность русской армии была равна $ \frac{7}{8} $ от численности шведской.

Чтобы найти численность русской армии, нужно умножить общее количество шведских солдат на дробь $ \frac{7}{8} $.

Выполним вычисление:

$16000 \times \frac{7}{8} = \frac{16000 \times 7}{8}$

Сначала разделим 16 000 на 8, а затем умножим результат на 7:

$16000 \div 8 = 2000$

$2000 \times 7 = 14000$

Таким образом, численность русской армии составляла 14 000 человек.

Ответ: 14 000 человек.

689. Длина минутной стрелки курантов на Спасской башне Московского Кремля равна 328 см. Высота цифр на циферблате курантов составляет $\frac{9}{41}$ длины минутной стрелки. Вычислите высоту цифр на циферблате.

Для решения этой задачи необходимо найти часть от числа. Известно, что длина минутной стрелки составляет 328 см, а высота цифр составляет $\frac{9}{41}$ от этой длины. Чтобы найти высоту цифр, нужно умножить длину стрелки на эту дробь.

Выполним вычисление:

$328 \cdot \frac{9}{41}$

Сначала разделим 328 на знаменатель дроби, то есть на 41:

$328 \div 41 = 8$

Теперь умножим полученный результат на числитель дроби, то есть на 9:

$8 \cdot 9 = 72$

Таким образом, высота цифр на циферблате курантов составляет 72 см.

Ответ: 72 см.

690. Колокольня Ивана Великого на территории Московского Кремля стоит на небольшом фундаменте, сложенном из глыб белого камня в виде пирамиды, расширяющейся в глубину. Каменный фундамент колокольни для прочности опирается на свайное основание, образованное большим количеством вбитых в землю брёвен. Глубина фундамента составляет $ \frac{2}{27} $ высоты колокольни, а длина брёвен свайного основания — $ \frac{2}{3} $ глубины фундамента. Вычислите глубину фундамента колокольни (в метрах) и длину свай (в сантиметрах), если высота колокольни равна 81 м.

Для решения задачи выполним вычисления поочередно.

1. Вычисление глубины фундамента колокольни (в метрах)

Из условия известно, что высота колокольни Ивана Великого равна 81 м, а глубина её фундамента составляет $\frac{2}{27}$ от высоты. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь.

Вычислим глубину фундамента:

$81 \text{ м} \times \frac{2}{27} = \frac{81 \times 2}{27}$

Сократим 81 и 27 (так как $81 = 3 \times 27$):

$\frac{3 \times 27 \times 2}{27} = 3 \times 2 = 6 \text{ м}$

Таким образом, глубина фундамента колокольни составляет 6 метров.

Ответ: 6 м.

2. Вычисление длины свай (в сантиметрах)

Длина брёвен свайного основания составляет $\frac{2}{3}$ от глубины фундамента. Мы уже вычислили, что глубина фундамента равна 6 м.

Вычислим длину свай в метрах:

$6 \text{ м} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{3} = \frac{12}{3} = 4 \text{ м}$

По условию задачи, ответ необходимо дать в сантиметрах. В одном метре содержится 100 сантиметров, поэтому для перевода метров в сантиметры нужно умножить полученное значение на 100.

$4 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 400 \text{ см}$

Следовательно, длина свай равна 400 сантиметров.

Ответ: 400 см.

691. Найдите число, если:

1) $ \frac{1}{2} $;

2) $ \frac{1}{5} $;

3) $ \frac{2}{3} $;

4) $ \frac{3}{7} $;

5) $ \frac{7}{11} $;

6) $ \frac{21}{23} $ его равняется 42.

Для решения данной задачи необходимо найти целое число, зная его часть. Общее правило гласит: чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой части разделить на саму дробь. Если нам известно, что часть числа, равная $c$, составляет дробь $\frac{a}{b}$ от всего числа $x$, то для нахождения $x$ мы используем формулу:

$x = c \div \frac{a}{b} = c \times \frac{b}{a}$

Во всех пунктах этой задачи известная часть числа равна 42.

1) Находим число, если $\frac{1}{2}$ его равна 42.
Искомое число: $42 \div \frac{1}{2} = 42 \times \frac{2}{1} = 84$.
Ответ: 84.

2) Находим число, если $\frac{1}{5}$ его равна 42.
Искомое число: $42 \div \frac{1}{5} = 42 \times \frac{5}{1} = 210$.
Ответ: 210.

3) Находим число, если $\frac{2}{3}$ его равны 42.
Искомое число: $42 \div \frac{2}{3} = 42 \times \frac{3}{2} = \frac{42 \times 3}{2} = 21 \times 3 = 63$.
Ответ: 63.

4) Находим число, если $\frac{3}{7}$ его равны 42.
Искомое число: $42 \div \frac{3}{7} = 42 \times \frac{7}{3} = \frac{42 \times 7}{3} = 14 \times 7 = 98$.
Ответ: 98.

5) Находим число, если $\frac{7}{11}$ его равны 42.
Искомое число: $42 \div \frac{7}{11} = 42 \times \frac{11}{7} = \frac{42 \times 11}{7} = 6 \times 11 = 66$.
Ответ: 66.

6) Находим число, если $\frac{21}{23}$ его равны 42.
Искомое число: $42 \div \frac{21}{23} = 42 \times \frac{23}{21} = \frac{42 \times 23}{21} = 2 \times 23 = 46$.
Ответ: 46.